2023-2024学年度高一寒假第13讲：空间向量与立体几何（一）(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：空间中的向量表示
模块2：平面法向量
模块3：利用空间向量判定空间线、面位置关系
模块4：利用空间向量研究空间距离
【重要考点讲解】
模块1：空间中的向量表示
【知识精讲】
1．空间中的点的向量表示：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量．
2．直线的向量表示：空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个方向确定．
如图1, 是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数，使得，即．点和向量不仅可以确定的位置，还可以具体表示出上的任意一点．
如图2，取定空间中的任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是存在实数，使（ⅰ）,将代入，得到（ⅱ），（ⅰ）式和（ⅱ）式都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
3．平面的向量表示: 空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定，如图3，设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知存在唯一的有序实数对，使得.这样,点与向量，不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点．
如图4，取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使 式称为空间平面的向量表示式．
【典例精讲】
题型1：直线的方向向量
例题1．（1）若，0，，，1，在直线上，则直线的一个方向向量为
A．，2，B．，3，C．，1，D．，2，
（2）棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线的一个方向向量为 ．
题型2：共面向量的判断和应用
例题2．（1）已知，，，，4，，，7，，若，，共面，则实数 ．
（2），，，是空间四点，有以下条件：
①
②
③
④
能使，，，四点一定共面的条件是 ．
【能力提升】
例题3．（1）如图，在四棱锥中，底面，，，点在棱上，，点在棱上，，为的中点，．求证：，，，四点共面．
（2）如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点．若是直线与平面的交点，试确定的值．
模块2：平面法向量
【知识精讲】
1．平面法向量的概念：
如图5，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量．给定一个点与一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．
2．平面法向量的求法
要求一个平面的法向量，一般要建立空间直角坐标系，如果已有直线与平面垂直，能直接得到平面的法向量；如果没有明显的直线与平面垂直，一般用待定系数法求法向量，其步骤如下：
①设向量：设平面的法向量为；
②选向量：选取平面内两个不共线的向量，；
③列方程组：由列出方程组，并解除方程组；
④赋非零值：取中一个为非零值（常取）；
⑤得结论：得到平面的一个法向量．
【典例精讲】
题型3：平面法向量的求法
例题4．（1）已知点，1，，，2，，，1，，则平面的一个法向量的坐标为 ．
（2）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的一个法向量为
A．，1，B．，1，C．，1，D．，1，
例题5．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求平面的一个法向量；
（2）求平面的一个法向量．
模块3：利用空间向量判定空间线、面位置关系
【知识精讲】
空间线、面位置关系的判定：
设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、．
①线线平行：（为常数）；
②线面平行：；
③面面平行：（为常数）；
④线线垂直：；
⑤线面垂直：（为常数）；
⑥面面垂直：．
【典例精讲】
题型4：利用空间向量判定空间线、面位置关系
例题6．（多选）下列选项正确的是
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．两个不同的平面，的法向量分别是，则
例题7．（1）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，．证明：平面．
（2）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且．证明：平面．
（3）如图，正三棱柱中，，分别是棱，上的点，．证明：平面平面．
例题8．如图所示，在棱长为1的正方体中，为棱的中点．
（1）在棱上是否存在点，使平面？为什么？
（2）在正方体表面上是否存在点，使得平面？为什么？
【能力提升】
例题9．如图，在五面体中，四边形是边长为4的正方形，，平面平面，且，，点是的中点．
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
例题10．如图1，在边长为2的菱形中，，于点，将沿折起到△的位置，使，如图2．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
模块4：利用空间向量研究空间距离
【知识精讲】
1．直线外一点到直线的距离：如图，已知直线的单位方向向量为,是直线上的定点，是直线外一点，设，则向量在直线上的投影向量，则．
2．平面外一点到平面的距离：如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线,交平面于点,则是直线的方向向量,且点P到平商的距离就是在直线上的投影向量的长度．因此．
3．异面直线距离、线面距离、面面距离转化为点到平面距离求解．
【典例精讲】
例题11．（1）已知平面的一个法向量，点，3，在内，则平面外一点，1，到平面的距离为
A．4B．2C．D．3
（2）已知直线过定点，3，，且，1，为其一个方向向量，则点，3，到直线的距离为
A．B．C．D．
（3）如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，其中，则点到平面的距离为
A．B．C．D．
【能力提升】
例题12．（1）如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．若为上的一点，点到面的距离为，求的值．
【高考真题体验】
1．（2019•北京）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．
第13讲：空间向量与立体几何（一）课后巩固
模块1：空间中的向量表示
1．已知向量，，和，2，都是直线的方向向量，则实数的值为
A．B．C．D．
2．已知直线的一个方向向量，且直线过，，和，2，两点，则等于
A．0B．1C．2D．3
3．已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数
A．1B．2C．3D．4
4．对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是
A．B．
C．D．
5．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，且，，点，分别为，的中点．设直线与平面交于点，求点到平面的距离．
模块2：平面法向量课后演练
6．已知是平面的一个法向量，点，，，，，在平面内，则 ．
7．如图，在长方体，，，，是的中点．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求平面的法向量；
（2）求平面的法向量．
模块3：利用空间向量判定空间线、面位置关系课后演练
8．（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
9．如图，在四棱锥中，面，，在四边形中，，，，，点在上，．求证：
（1）面；
（2）面面．
10．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的动点．．证明：．
11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，．
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．
12．如图，三棱锥的底面为等腰直角三角形，，．，分别为，的中点，平面，，点在线段上．
（1）试确定的位置使得平面平面；
（2）在（1）的条件下，判断直线与平面的位置关系，并说明理由．
模块4：利用空间向量研究空间距离课后演练
13．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ．
14．在棱长为2的正方体中，点是的中点，是的中点，为的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离．
【思维拓展训练】
1．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．