吉林省长春市二道区2023-2024学年九年级上学期12月期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市二道区2023-2024学年九年级上学期12月期末数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
A．x≥2B．x≤2
C．x＞2D．x＜2
2．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A．B．C．3D．6
3．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如果在中，点、、分别为边、、的中点，，，，那么的面积为（ ）
A．B．15C．30D．60
6．教育部发布的统计数据显示，近年来越来越多的出国留学人员学成后选择回国发展，留学回国与出国留学人数“逆差”逐渐缩小．2021年各类留学回国人员总数为36.48万人，而2023年各类留学回国人员总数为43.25万人．如果设2021年到2023年各类留学回国人员总数的年平均增长率为x，那么根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．与相交于点，则图中的面积为（ ）
A．5B．6C．D．
二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）
9．比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）．
10．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
11．在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球共20个，这些小球除了颜色不同外其它特质均相同．欣欣同学进行了摸球试验，每次摸出一个小球记下颜色，然后放回袋中搅拌均匀，再从中摸出一个…如此重复，经大量的试验发现摸到红球的频率稳定在左右，由此可以估计袋中红球的个数为 个．
12．如图，在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明先用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）按图中方法测量零件的内孔直径．现如果，且量得，零件的外径为，则圆形容器的壁厚是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，是第一象限的点，其坐标为，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为 ．
14．如图①，一张正三角形纸片，，点在边上，，点是边上的一点．如图②，将沿翻折得到，与的边相交于点和点．若，，则的长度为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：．
16．解方程：．
17．为了进一步培养青少年对冰雪运动的兴趣，长春市多家滑雪场面向青少年优惠开放，有净月潭滑雪场、天定山滑雪场、庙香山滑雪场三个雪场可供学生选择．现有三张正面印有这三个滑雪场图案的不透明卡片，依次记为A、B、C，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后小亮再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法，求小张和小亮抽到同一雪场的概率．

18．已知关于的一元二次方程．求证：对于任意实数，原方程总有两个实数根．
19．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得．
(2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹）
(3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹）
20．某临街店铺在窗户上方安装如图①所示的遮阳棚，其侧面如图②所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚与墙面的夹角.，求遮阳棚前端到墙面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
21．如图，公园有一块正方形空地，现在从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（图中阴影部分），原空地边减少到点处，另一边减少到点处，若剩余空地是矩形且面积为．
(1)求原正方形空地的边长．
(2)实际建造时要求栽种鲜花的面积是原正方形空地面积的一半，且不改变的长度，求实际建造时的长度．
22．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
（ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如：的有理化因式是；的有理化因式是．
（ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
例如：；．
【知识运用】
（1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______．
（2）把下列各式的分母有理化：
①；
②．
（3）化简：．
23．【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：
小明发现，过点作交于，可证明，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：
解：如图①，过点作交于，则，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的一个三等分点，且，
∴，
∴，
∴
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
如图②，在中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为______．
【拓展提高】
如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，则的值为______．
24．如图，在矩形中，是对角线，，．动点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向点运动；与此同时，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动，以和为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒（）．
(1)用含的代数式表示线段的长为______．
(2)______．
(3)当与平行四边形重合部分是四边形时，求的取值范围．
(4)当直线将平行四边形分成两部分的面积比为时，直接写出的值．
参考答案与解析
1．A
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．
2．D
【分析】本题考查一元二次方程的根，根据定义“一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值”，将代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值．
【详解】解：将代入，
得：，
解得，
故选D．
3．C
【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．方程常数项移动右边，左右两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：方程，
移项得：
∴，
即．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题．设，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴可以假设
∴．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得到，求出的周长和面积，证明，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
的周长，
∴，
∴，
∴
∵点、、分别为边、、的中点，
∴
∴，且相似比为，
∴的周长，
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用增长率的计算，根据题意解题即可．
【详解】解：设2021年到2023年各类留学回国人员总数的年平均增长率为x，
则2022的留学回国人员总数为：，
2023的留学回国人员总数为：，
那么可得方程：
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，由锐角的余弦定义即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于，
设相邻两平行线间的距离为，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
8．C
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积．根据相似三角形的判定与性质求出，再根据三角形面积公式求出，，两式相减求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：C．
9．
【分析】先将两个无理数平方后比大小，进而可得两个无理数的大小．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数比大小．解题的关键在于熟练掌握无理数比大小的方法．
10．
【分析】根据二次项系数不为零，最高次项的次数为2，求解即可．
【详解】∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
11．12
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，在大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值得到摸到红球的概率为，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的数量．
【详解】解：∵经大量的试验发现摸到红球的频率稳定在左右，
∴摸到红球的概率为，
∴可以估计袋中红球的个数为个，
故答案为：12．
12．4
【分析】本题考查相似三角形的应用，只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比求出零件的内孔直径即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴圆形容器的壁厚是，
故答案为：4．
13．6
【分析】本题考查解直角三角形，过P作轴于H，由P的坐标，得到，，由锐角的正切等于求出，即可得到x的值为6．
【详解】解：过P作轴于H，
∵P的坐标是，
∴，，
∵，
∴，
∴x的值为6．
故答案为：6．
14．9
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得：，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9．
15．
【分析】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】原式
.
16．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
17．
【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况，利用概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况，其中小张和小亮抽到同一雪场的情况有3种，，
因此小张和小亮抽到同一雪场的概率为．
18．见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】证明：在一元二次方程中，∵，，，
∴．
∵无论为任意实数，．
∴对于任意实数，原方程总有两个实数根．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质；
（1）取的中点，连接即可；
（2）取BC的中点，的中点，连接交一点，点即为所求；
（3）取BC的中点，的中点，连接交一点，连接交于点，连接即可．
【详解】（1）如图①中，线段即为所求；
（2）如图②中，点即为所求；
（3）如图③中，线段即为所求．
20．遮阳棚前端到墙面的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于E，在中，根据列式计算是解题的关键．
【详解】过点作于点，则．
在中，，，，
∴．
∴遮阳棚前端到墙面的距离为．
21．(1)原正方形空地边长为6米
(2)实际建造时的长度为4.5米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设原正方形空地的边长为根据剩余空地是矩形且面积为．列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）根据实际建造时栽种鲜花的面积是原正方形空地面积的一半，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设原正方形空地的边长为
由题意得：，
解得，（舍）.
答：原正方形空地边长为6米.
（2）解：依题意，
答：实际建造时的长度为4.5米.
22．（1）；；（2）①；②；（3）2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化：
（1）根据有理化因式定义求解；
（2）①②利用分母有理化计算；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是.
故答案为：（答案不唯一）；；
（2）①.
②.
（3）
.
23．【感知】3，补全证明见详解；【尝试应用】；【拓展提高】
【感知】由得，可推导出，进而得出答案．
【尝试应用】取的中点H，连结，得，则，可证，得，可得，进而求得．
【拓展提高】作交于点L，得，由平行四边形得和，可证，得到，由，得到，进一步得，则有．
【详解】解：感知：如图①，过点作交于，则，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的一个三等分点，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
尝试应用：
取的中点H，连结，如下图：
则，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
拓展提高：
如图，作交于点L，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则，
那么，，
∴，
故．
故答案为∶．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是作辅助线并转化线段之间的关系．
24．(1)
(2)
(3)当时，与平行四边形重合部分是四边形
(4)t的值为1或或或
【分析】（1）根据题意易得先到达终点，所以，，即可得到答案；
（2）；
（3）分别讨论点在线段和上的两种情况即可，在线段上时需要点在线段以下，在线段上时需要点在点以上；
（4）分别讨论点在线段和上的重合部分分别为三角形和四边形的四种情况即可，①在线段上且重合部分为三角形时，令与交点为，则，，由，由，得；②在线段上且重合部分为四边形时，令与交点为，则，，由， ，由，得；③在线段上且重合部分为四边形时，令与交点为，则，，，，，由，得，故，由，得；④在线段上且重合部分为三角形时，则，，，，由，得．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∵动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点运动，
∴，
∴，
故答案为:．
（2）解：在中，，，，
∴，
故答案为：．
（3）解：∵，
∴，
∴，
当在线段上运动时，平行四边形为矩形，
当在线段上运动时，四边形为平行四边形，
当点在线段上时，如图：
则，
由题意知，，
∴，
解得：，
当点和点重合时，如图：
则，，
∴，即，
解得：，
∴当与平行四边形重合部分是四边形时，．
（4）解：由题意可知，被直线分成的两部分图形分别为梯形和三角形
故梯形的面积是三角形面积的2位
由三角形和梯形的在面积公式可得，，
而梯形和三角形的高相等，则可得，
由三角形和梯形的面积公式可得：
当点，即点在与线段重合之前时，如图，设交于点，
则，
由，得
∴
由，得
解得：；
当点，即点在与线段重合后，且点在线段上时，如图，设交于点，
则，，
由，得，
∴，
由，得，
解得：；
当点，即点在与线段重合后，且点与点重合前时，如图，设交于点，
则，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
假设，则，则，，
由，得，
解得：；
当点，即点在与线段上，且点与点重合后时，如图，设交于点，
则，，，
∴，
由，得，
解得：．
综上所述，当时，直线将平行四边形分成两部分的面积比为．
【点睛】本题考查四边形和动点问题，熟练掌握四边形的性质是解题的关键．
如图，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求的值．