河北省沧州市部分学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省沧州市部分学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．( )
A.B.3C.D.
3．已知某扇形的弧长为,半径为3,则该扇形的面积为( )
A.B.C.D.
4．“”是“”成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．函数①;
②;
③,中,奇函数的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
6．已知,,,则( )
A.B.C.D.
7．函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
8．已知函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列化简正确的是( )
A.B.
C.D.
10．下列函数中,最小值为2的是( )
A.B.
C.()D.
11．已知函数,若在区间内单调递增,则的可能取值是( )
A.B.C.D.
12．已知定义在R上的偶函数满足,当时,,则( )
A.的图像关于点对称B.
C.当时,D.在上单调递减
三、填空题
13．已知幂函数的图象关于原点对称,则______.
14．已知函数()在区间上的最大值为2,则实数的取值范围为______.
15．若不等式对一切恒成立,则实数a的取值范围是______.
16．设函数若恰有两个零点,则实数a的取值范围是______.
四、解答题
17．已知,为锐角,,.
（1）求的值;
（2）求的值.
18．已知,.
（1）若q是p的必要非充分条件,求实数a的取值范围;
（2）若,且p,q至少有一个成立,求x的取值范围.
19．已知定义在上的偶函数,当时,(),且.
（1）求a的值;
（2）求函数的解析式;
（3）解不等式:.
20．已知,t是函数(,,)的两个雾点,的最小值为,且.
（1）求的解析式;
（2）求在上的值域.
21．定义:将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度,单位是平方公里/小时,如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里.十一黄金周期间,黄山景区是中国最繁忙的景区之一.假设黄山上的游客游玩的扫码速度为v(单位:平方公里/小时),游客的密集度为x(单位:人/平方公里),当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时,景区道路拥堵,此时游客的步行速度为0;当游客密集度不超过50人/平方公里时,游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时,数据统计表明:当时,游客的扫码速度是游客密集度x的一次函数.
（1）当时,求函数的表达式;
（2）当游客密集度x为多少时,单位时间内通过的游客数量可以达到最大值?
22．设函数(且,),已知,.
（1）求的定义域;
（2）是否存在实数,使得在区间上的值域是?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析:因为集合,所以,.故选A.
2．答案：C
解析:原式.故选C.
3．答案：D
解析:扇形的面积.故选D.
4．答案：B
解析:由,可知,充分性不成立;由,必要性成立;即“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.
5．答案：B
解析:根据奇函数定义,②中违背了定义域要关于原点对称这一要求,所以排除②;
对于①,,是奇函数;
对于③,,是偶函数.故选B.
6．答案：C
解析:,,,则有,,又,故有.故选C.
7．答案：C
解析:函数的定义域为,且,则函数为奇函数,故排除D项;又因为当时,,故排除A项;当时,,故排除B项.故选C.
8．答案：D
解析:,因为,所以,因为,所以.正弦函数在一个周期内要满足上式,则,所以,,所以的取值范围是.故选D.
9．答案：AC
解析:,故A正确;,故B错误;
,故C正确;,故D错误.故选AC.
10．答案：CD
解析:对于A,,当时,,不符合要求,故A错误;
对于B,,当且仅当时取等号,由得显然不成立,所以等号取不到,即的最小值不是2,故B错误;
对于C,因为,所以,,当且仅当时取等号,最小值是2,故C正确;
对于D,,易知,,则,当即或时,有最小值4,即有最小值2,故D正确.故选CD.
11．答案：BC
解析:因为,,因为函数在区间内单调递增,所以,所以.故选BC.
12．答案：ABC
解析:对于A,由题设,可知的图象关于点对称,A正确;
对于B,在中,令,得,B正确;
对于C,当时,,所以,又,所以,即当时,,而为偶函数,所以当时,,综上可知,当时,,C正确;
对于D,由B的解析可知,故D错误.故选ABC.
13．答案：0
解析:由于函数是幂函数,所以,解得或.当时,,是奇函数,图像关于原点对称;当时,,是偶函数,图象不关于原点对称,所以的值为0.
14．答案：
解析:当时,,则,由题意可得,.
15．答案：
解析:因为不等式对一切恒成立,所以对一切恒成立,因为,所以,当且仅当,即时取等号,所以,即a的取值范围是.
16．答案：
解析:的零点为,当即时,在内有且仅有一个零点.可得,令,则与的图象在内只有一个交点.结合图象可得或,即或;当即时,在内恰有两个零点,则与的图象在内恰有两个交点,结合图象可得,即,这与矛盾.
综上,或.
17．答案：（1）
（2）
解析:（1）因为,,
所以,
所以.
（2）因为,,,
所以,,
所以.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）设,,
因为q是p的必要非充分条件,所以是的真子集,则,
所以实数a的取值范围为.
（2）当时,,,
考虑“p,q至少有一个成立”的否定:p,q均不成立,
此时,解得或.
故p,q至少有一个成立时,的取值范围为.
19．答案：（1）1
（2）见解析
（3）
解析:（1）因为是定义在R上的偶函数,且,
所以,即,解得.
（2）当时,,
设,则,则,
故.
（3）由题意,,
得,得,解得或,
故的解集是.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）设的最小正周期为T,
因为,是函数的两个零点,的最小值为,
所以,.
由得,
因为,所以,,
由,,可得,
所以.
（2）当时,,
因为在上单调递减,在上单调递增,
且,,,
所以,
所以在上的值域为.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）由题意知时,公里/小时;
当时,设(),
则,解得.
故.
（2）由（1）可得,
当时,,此时;
当时,,
当时,;
由于,故当游客密集度为125人/平方公里时,通过的游客数量可以达到最大值.
22．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）由,得,即,
由,得,即,
,解得,或(舍),,
.
,,故的定义域为.
（2）假设存在实数,,使得在区间上的值域是.
由（1）易知在上单调递增,
,即
令,,(,),
即,为方程的两个不等实数根且,
令,则,
解得.
即,,故存在实数符合条件,的取值范围是.