嘉兴市第一中学2023-2024学年高二上学期12月阶段测试数学试卷(含答案)

这是一份嘉兴市第一中学2023-2024学年高二上学期12月阶段测试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知直线l的方程为,则直线l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．若向量,,且,则实数的值为( )
A.1B.0C.-1D.-2
3．已知抛物线,则其焦点到准线的距离为( )
A.B.C.1D.4
4．四棱锥底面ABCD为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,,,设,,,则向量用基底表示为( )
A.B.C.D.
5．已知数列满足,且,为其前n项的和,则( )
A.B.C.D.
6．已知实数x,y满足,则的最大值是( )
A.B.4C.D.7
7．数列是公差不为零的等差数列,为其前n项和.若对任意的,都有,则的值不可能是( )
A.B.2C.D.3
8．已知双曲线的离心率为2,,分别是双曲线的左､右焦点,点,,点P为线段MN上的动点,当取得最小值和最大值时,的面积分别为,,则( )
A.4B.8C.D.
9．已知曲线,则( )
A.若,,则曲线C表示椭圆
B.若,则曲线C表示双曲线
C.若,,则曲线C表示双曲线,其渐近线方程为
D.若,,则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,其离心率
10．设等差数列的前n项和为,其公差,且,则( ).
A.B.C.D.
11．已知斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线C交,两点,则以下结论正确的是( )
A.若,则MN的中点到y轴的距离为6
B.对任意实数k,为定值
C.存在实数k,使得成立
D.若,则
12．数列中,,,,则下列结论中正确的是( )
A.B.是等比数列
C.D.
二、填空题
13．两直线和平行,则它们之间的距离为________.
14．已知圆,直线与圆C交于A,B两点,且,则______.
15．等差数列中,若,,数列的前n项和为,则__________.
16．如图,正方体的棱长为4,点P在正方形ABCD的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成,则四面体的体积的取值范围_________.
三、解答题
17．已知直线l过点,与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点.
（1）若的面积为,求直线l的方程;
（2）求的面积的最小值.
18．已知双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合.
（1）求抛物线E的标准方程;
（2）若过双曲线C的右顶点且斜率为2的直线l与抛物线E交于M,N两点,求线段MN的长度.
19．在柯桥古镇的开发中,为保护古桥OA,规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥,使新桥BC与河岸AB垂直,并设立一个以线段OA上一点M为圆心,与直线BC相切的圆形保护区（如图所示）,且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m,经测量,点A位于点O正南方向25m,,建立如图所示直角坐标系.
（1）求新桥BC的长度;
（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最小？
20．如图,在三棱柱中,,D为BC的中点,平面平面ABC.
（1）证明：;
（2）已知四边形是边长为2的菱形,且,问在线段上是否存在点E,使得平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为,若存在,求出CE的长度,若不存在,请说明理由.
21．已知等差数列的公差不为零,,且,,成等比数列,数列的前n项和为,满足.
（1）求数列和的通项公式;
（2）若数列满足：,,求使得成立的所有n值.
22．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率,且椭圆C上一点N到距离的最大值为4,过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设P为椭圆上一点,且满足（O为坐标原点）,当时,求实数t的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：将化为,则直线l的斜率为,
设直线l的倾斜角为,,则,得.
故选：C.
2．答案：D
解析：由向量,,可得,
因为,所以,解得.
故选：D.
3．答案：A
解析：抛物线方程化为,所以焦点到准线的距离.
故选：A.
4．答案：A
解析：因为M,N分别为棱BC,PD上的点,,,
则
,故.
故选：A.
5．答案：B
解析：由题可知是首项为2,公比为3的等比数列,则.
故选：B.
6．答案：C
解析：令,则,
代入原式化简得,
因为存在实数y,则,即,
化简得,解得,
故的最大值是,
故选：C.
7．答案：A
解析：因为数列是公差不为零的等差数列,为其前n项和.
对任意的,都有,
所以,即,解得,
则当时,,不成立;
当时,,成立;
当时,,成立;
当时,,成立;所以的值不可能是,
故选：A.
8．答案：A
解析：
由,得,,
故线段MN所在直线的方程为,
又点P在线段MN上,可设,其中,
由于,,即,,
得,,
所以.
由于,可知当时,取得最小值,此时,
当时,取得最大值,此时,则,
故选：A.
9．答案：BC
解析：对于A,若,,当时,则曲线C表示圆,故A错误;
对于B,若,当,时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线,当,时曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,所以若,则曲线C表示双曲线,故B正确;
对于C,若,,则,,
所以曲线C表示双曲线,方程为,
令,得,即,故其渐近线方程为,故C正确;
对于D,若,,则曲线C方程为,即,
因为,所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故D错误.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：对于A：因为,所以,解得.故A正确;
对于B：.故B正确;
对于C：因为,所以,所以.
因为,所以.故C正确;
对于D：因为,所以,所以.因为,所以.故D错误.
故选：ABC.
11．答案：BD
解析：抛物线的焦点,则直线l的方程为,,
由消去y并化简得,所以,,B选项正确.
所以,.当时,,此时MN的中点到y轴的距离为,A选项错误.
当时,即,此方程无解,所以C选项错误.
当时,,,由于,所以.
则,,,当时,,,
当时,,,所以当时,,D选项正确.
故选：BD
12．答案：ABD
解析：因为数列中,,,,
所以,即,
则是以1为首项,以为公比的等比数列,所以,故B正确;
由累加法得,
所以,当n为奇数时,是递增数列,所以,
当n为偶数时,是递减数列,所以,所以,故A正确;
又,,,所以,故C不正确,D正确,
故选：ABD.
13．答案：
解析：直线与直线平行,所以,
直线与直线的距离为.
故答案为：.
14．答案：-2
解析：将圆的方程化为标准方程可得,
圆心为,半径,圆C与直线l相交于A、B两点,且,
由垂径定理和勾股定理得圆心到直线l的距离为,
由点到直线距离公式得,所以,解得,
故答案为：-2.
15．答案：
解析：设等差数列公差为d,
因为,可得,所以,
又因为,所以,所以,
又由,
则.
故答案为：.
16．答案：
解析：连接AP,如图所示,
因为平面ABCD,AP平面ABCD,所以,
,由,,则;
所以P在以A为圆心2为半径的圆面上,由题意可知,,
所以当P在边AD上时,四面体的体积的最大值是.
所以当P在边AB的中点时,的面积取得最小值,此时,
所以四面体的体积的最小值是,所以,
故答案为：.
17．答案：（1）或
（2）4
解析：（1）设直线,则
解得或,所以直线或.
（2）,,,此时,.
面积的最小值为4,此时直线.
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,
由可得,,所以,解得,
所以双曲线C的右焦点为,所以可设抛物线E的标准方程为,
其焦点为,所以,即,所以抛物线E的标准方程为;
（2）
由,得双曲线C的右顶点为,
因为直线l过点且斜率为2,所以直线l的方程为,
设,,联立直线l与拋物线E的方程,
消去y,得,所以,,
所以.
19．答案：（1）80m;
（2）.
解析：（1）由题意,可知,,
直线BC方程：①,
同理可得：直线AB方程：②
由①②可知,,从而得
故新桥BC得长度为80m.
（2）设,则,圆心,
直线BC与圆M相切,半径,
又因为,
,所以当时,圆M的面积达到最小.
20．答案：（1）证明见解析
（2）存在,1
解析：（1）,且D为BC的中点,,
因为平面平面ABC,交线为BC, ,AD面ABC,所以AD⊥面,
因为面,所以.
（2）假设存在点E,满足题设要求连接,,
四边形为边长为2的菱形,且,为等边三角形,
D为BC的中点,
平面平面ABC,交线为BC,面,所以面ABC,
故以D为原点,DC,DA,分别为x,y,z轴的空间直角坐标系.
则,,,,.
设,,.
设面AED的一个法向量为,则,
令,则.
设面AEC的一个法向量为,则,
令,则.
设平面EAD与平面EAC的夹角为,则.
解得,故点E为中点,所以.
21．答案：（1）,
（2）2,3,4
解析：（1）,,
由得,在时,在时,作差得到,所以在时,,时满足,故.
（2）,所以,,,…,,
累加后得,
,
作差,
,时满足,.
22．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）椭圆C的半焦距c,,即,
则椭圆方程为,即,设,则,
当时,有最大值,即,解得,,
故椭圆方程是;
（2）设,,,直线AB的方程为,
由,整理得,
则,解得,,,
因且,则,
于是有,化简得,
则,即,所以,
由得,
则,,
而点P在椭圆上,即,化简得,
从而有,而,
于是得,解得或,