专题04 函数的概念及三要素（人教A版必修第一册）

这是一份专题04 函数的概念及三要素（人教A版必修第一册），共23页。试卷主要包含了已知函数的定义域为A，集合，等内容，欢迎下载使用。

函数的概念
1．（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）函数的解析式为，值域为，则符合要求的函数的个数为（ ）
A．16个B．945个C．2025个D．1个
【答案】B
【详解】满足解析式为，值域为，
①，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有15个；
②，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有7个；
③，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有3个；
④，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有3个；
要使值域为，则①②③④中的解组合后形成的定义域，即定义域为，因此的定义域的组合情况有：种，故符合要求的函数的个数为945.
故选：B
2．（2020上·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【详解】对于A选项，的定义域是，解得：，
所以的定义域是，
的定义域是，解得：，
所以的定义域是，
并且，所以两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是同一函数；
对于B选项，，，两个函数的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以是同一函数；
对于C选项，两个函数的定义域相同，当与时，，故两个函数对应法则也相同，所以是同一函数；
对于D选项，的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：D
（多选）3．（2023上·广东深圳·高一统考期末）下列是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，
因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.
故选：ABD.
具体函数定义域
1．（2022上·浙江·高一校联考期末）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】函数定义域需满足，解得且，即，
故选：C
2．（2023上·高一课时练习）函数的定义域为 .
【答案】
【详解】解不等式组，得且，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：
3．（2022上·山东烟台·高一校考阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 .
【答案】
【详解】设矩形另一边的长为m，
由三角形相似得：，（）,
所以,
所以矩形草坪的面积，
解得：.
故答案为：
4．（2022上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高级中学校联考期末）已知函数的定义域为A，集合，．
(1)求；
(2)若是的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）由得：，即，
∴，
解得：，即，
∴．
（2）由题意知，
由（1）知：，显然
所以有，解得：；
所以实数a的取值范围为．
常见函数的值域
1．（2023下·贵州黔西·高一统考期末）函数在上的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以函数在上的最小值是3.
故选：D
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数满足，则（ ）
A．的最小值为2B．
C．的最大值为2D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以.
所以，所以的最小值，无最大值，为故A，C错误.
对选项B，，
因为，所以，即，
故B正确.
对选项D，，
因为，所以，即，
故D错误.
故选：B
3．（2019上·江西·高一江西省信丰中学校考阶段练习）对于任意实数，，定义：，若函数，，则函数的最小值为（ ）．
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【详解】解：根据新定义可得：
当，即或时， ；
当，即时，，
故函数的最小值为1.
故选：B.
4．（2022上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知函数的值域是，则 ．
【答案】
【详解】，
故，解得．
故答案为：
求函数解析式
1．（2022下·广西北海·高一统考期末）若函数，且，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．3
【答案】B
【详解】令（或），，，，.
故选；B
2．（2020·浙江·高一期末）存在函数满足对于任意都有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：A.，一个对应两个，错误；
B.，
，一个对应两个，错误；
C. ，
，一个对应两个，错误；
D. ，则，正确.
故选：D.
3．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由可知函数的分段点为和，
而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和，
假设的根为，的根为，
分4种情况讨论：
（1）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（2）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（3）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（4）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
综上可得
故选：B
4．（2021上·四川甘孜·高一统考期末）已知函数，那么的表达式是 .
【答案】
【详解】，令，则，故，故，
故答案为：
5．（2019上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知函数为上的增函数，且对任意都有，则 .
【答案】
【详解】令，所以，
又因为，所以，
又因为是上的增函数且，所以，
所以，所以.
故答案为：.
分段函数
1．（2012下·浙江温州·高二统考期末）已知 则的值等于（ ）
A．-2B．4C．2D．-4
【答案】B
【详解】因为
所以.
故选：B
（多选）2．（2022上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若，则的值是2
【答案】BCD
【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误；
对B：当时，；当时，；
则的值域为，故B正确；
对C：当时，，故C正确；
对D：当时，，解得，不合题意；
当时，，解得或（舍去）；
综上所述：若，则的值是2，故D正确；
故选：BCD．
3．（2010上·江苏宿迁·高一统考期末）如图，已知底角为的等腰梯形，底边长为7，腰长为，当一条垂直于底边（垂足为点，不与，重合）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，试写出直线左边部分图形的面积关于的函数解析式．

【答案】
【详解】分别过点作，，垂足分别是点，．
因为四边形是等腰梯形，底角为，，所以．
又，所以．
（1）当点在上，即时，；

（2）当点在上，即时，；

（3）当点在上，即时，
．

故函数的解析式为.
4．（2021上·云南玉溪·高一校联考期末）已知函数
(1)求，，；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）；；
，.
（2）当时，，解得：，；
当时，，解得：，；
当时，，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.
抽象函数和复合函数定义域
1．（2017上·湖北襄阳·高一襄阳四中阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：A.
2．（2022上·河北邢台·高一统考期末）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，解得，即的定义域为，
若有意义，
则 解得，即的定义域为.
故选：A
（多选）3．（2021上·浙江金华·高一校联考期末）已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是D．函数的定义域和值域都是
【答案】BC
【详解】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，
故选项A不正确；
对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；
对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；
对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，
故选：BC
4．（2021上·陕西汉中·高一统考期末）设函数的定义域是，则的定义域是 ．
【答案】
【详解】∵函数的定义域是，
∴令，当时，，，即，
即的定义域是，
∴的定义域是，
∴令，得，即，
，解得或，
即的定义域是.
故答案为：.
复杂函数的值域问题
1．（2019上·浙江杭州·高一萧山中学校联考期末）已知函数，则它的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，函数
设，则，可得
故的值域为.
故选：D.
2．（2011·浙江杭州·高一统考期末）函数的值域是 ．
【答案】．
【详解】，且，
，
，
，
，
故函数的值域是．
故答案为：
3．（2020上·浙江宁波·高一效实中学校考期末）函数的值域为 .
【答案】
【详解】因为，所以，所以，
当，即时，此时；
当，即时，此时，所以，
综上可知：，所以的值域为，
故答案为：.
4．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）（1）求函数的值域；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1），，
当时，，当且仅当时等号成立；
当时，，当且仅当时等号成立.
故函数值域为；
（2）函数定义域为，令 ，则，故函数值域为.
5．（2022上·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）已知函数，若，则的值域是 ；若的值域是，则参数的取值范围是 .
【答案】 ； .
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
故的值域是；
若的值域是，
因为时，，
因为时，，故需满足 ，
又因为需满足 ，则，故参数的取值范围是，即，
故答案为：;.
函数图象的变换
1．（2020上·山东淄博·高一山东省淄博第一中学校考开学考试）将函数图象上的所有点向左移动一个单位，再向下移动两个单位得到的函数解析式为，则原函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】可设原函数为，
根据将函数图象上的所有点向左移动一个单位，再向下移动两个单位得到的图象，那么将函数的图象上所有点向上平移两个单位，再向右平移一个单位可得到的图象，
所以
化简可得
故选：C
2．（2023上·浙江·高一校联考期末）函数的图像如图所示，可以判断a，b，c分别满足（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【详解】函数的定义域为
①当时，，
当时，与同号，当时，与同号，
与图中信息矛盾；
②当时，，
由图可得，当时，，所以，
然后可验证当，时，图中信息都满足，
故选：A
3．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由图可知，函数为奇函数，且定义域不是.
对于B，的定义域为，故B错误；
对于D，，即该函数为偶函数，故D错误；
对于AC，两个函数的定义域都为，因为，所以A错误，C正确；
故选：C
（多选）4．（2020上·浙江·高一校联考期末）函数的定义域是R，值域为，则下列函数值域也为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】对于A选项，若函数的值域为，则函数的值域为；
对于B选项，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位而得到，值域依然是；
对于C选项，函数的图象与函数的图象关于轴对称，值域不变依然是；
对于D选项，函数的值域为.
故选：BC.
5．（2022上·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）已知函数，若函数的图象恒在函数图象的下方，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时，，，
两个函数的图象如图：
当时，，，
两个函数的图象如图：
要使函数的图象恒在函数图象的下方，由图可知，，
故答案为：.
根据分段函数求参
1．（2020上·福建厦门·高一校考期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
当在上单调递增时，，所以，
当在上单调递增时，，所以，
且，所以，
故选：A.
（多选）2．（2023上·河北保定·高一保定一中校考期末）若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】在上为单调减函数，，解得：，
的值可以为或.
故选：CD.
3．（2023上·浙江宁波·高一校联考期末）设函数，若函数的最小值为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】①当时，
，
即，如图所示：
由图知此时函数无最值，所以，
②当时，
，
即，
当时，，对称轴为，
所以在单调递减，在单调递增，
故，
当时，在上单调递增，
所以，
由函数的最小值为，
此时 ，
所以函数最小值为，
所以，即，
解得：或（舍去），
③当时，由时，
，此时在上单调递减，
所以最小值为，
由时，
，
此时函数在单调递减，在单调递增，
所以，
所以当时，函数最小值为满足题意，
综上所述，当函数最小值为时，
实数的取值范围为：，
故答案为：.
4．（2022上·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考阶段练习）已知是上的严格增函数，那么实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为是上的严格增函数，
当时，在上单调递增，所以，则；
当时，，
当时，，显然在上单调递减，不满足题意；
当时，开口向下，在上必有一段区间单调递减，不满足题意；
当时，开口向上，对称轴为，
因为在上单调递增，所以，则；
同时，当时，因为在上单调递增，
所以，得；
综上：，即.
故答案为：.