专题05 函数的性质（人教A版必修第一册）

这是一份专题05 函数的性质（人教A版必修第一册），共28页。试卷主要包含了已知 .，的最大值为 等内容，欢迎下载使用。

用定义判断函数单调性
（多选）1．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知，都是定义在上的增函数，则（ ）
A．函数一定是增函数B．函数有可能是减函数
C．函数一定是增函数D．函数有可能是减函数
【答案】ABD
【详解】对于A，设，设，则
又由都是定义在上的增函数，则且，
所以，故函数一定是增函数，A正确；
对于B，设，此时为减函数，B正确；
对于C，设，此时，在上为减函数，C错误；
对于D，当时，函数为减函数，D正确.
故选：ABD.
2．（2023上·上海松江·高一校考期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数在区间上是严格增函数，则任取，都有，
即，
由，有，，所以，
由，则，即实数的取值范围是.
故答案为：
3．（2014·高一课时练习）已知 .
(1)若，试证明在内单调递增；
(2)若且在内单调递减，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：设，
则.
∵，∴，，
∴，即，
∴在内单调递增.
（2）设，则
.
∵，，
∴，
∴要使，只需恒成立，
若，则当时，，
当时，，
∴.
综上所述，a的取值范围为.
根据单调性求函数最值
1．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）设函数，则的最小值和最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数，，开口向上，对称轴，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，.
故选：D.
2．（2023下·云南文山·高一统考期末）已知函数．
(1)当a=2时，试判断在上的单调性，并证明；
(2)若时，是减函数，时，是增函数，试求a的值及上的最小值．
【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析；
(2)a＝1，最小值6.
【详解】（1）当a=2时，函数，在区间上单调递增，
设时，则，，，
则，
所以，所以在区间上单调递增．
（2）由时，是减函数知：，恒成立，
而，则恒成立，显然，因此，
由时，是增函数知，，恒成立，
则恒成立，显然，因此，则有a＝1，
当时，函数在上单调递增，，
所以，上的最小值为6．
3．（2021上·北京·高一清华附中校考期末）已知函数，，且该函数的图象经过点，.
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）已知直线与x轴交于点T，且与函数的图像只有一个公共点.求的最大值.（其中O为坐标原点）
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）1.
【详解】（Ⅰ）由已知得，解得;
（Ⅱ）设,则直线方程可以写成,与函数联立，消去，并整理得
由已知得判别式,
当时，取得最大值1，所以.
4．（2023上·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）的最大值为 ．
【答案】
【详解】由，故，而，
所以，当时，即函数的最大值为.
故答案为：
根据单调性解不等式
1．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，
又在上单调递减，所以在上单调递增，
若，则，即，故.
故选：A
2．（2023上·山东菏泽·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．或C．D．
【答案】D
【详解】函数中，
在上单调递减，在上单调递减，且，
则函数在定义域上单调递减，
，
，解得：，
即不等式的解集为.
故选：D.
3．（2023下·云南保山·高一统考期末）已知函数，，若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】在上单调递减，．
又在上单调递增，，
由题意可知：．
故答案为：．
4．（2023上·浙江湖州·高一期末）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，函数定义域为R，，由于，得，
则，即，故在R上单调递减，
从而，有，得，即，
由于恒成立，故，从而．
故答案为：
5．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知函数，则 ，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意知单调递增，且在上恒成立，故在R上单调递增，
又，
故不等式对恒成立，
即对恒成立，
所以，即对恒成立，
又函数在R上单调递减，当时，，
故，即实数k的取值范围是，
故答案为：1；.
函数奇偶性的判断
1．（2019上·贵州安顺·高一统考期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】、是奇函数，不符合题意.
在上单调递减，不符合题意.
是偶函数，且，
所以在上单调递增.
故选：D
2．（2021下·陕西汉中·高一校考期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于A选项，令，则，，
所以，，故函数不是奇函数；
对于B选项，，则函数为奇函数；
对于C选项，令，
因为，，则，
故函数不是奇函数；
对于D选项，令，则，
，故函数不是奇函数.
故选：B.
（多选）3．（2023上·江西南昌·高一统考期末）已知，若“，使得”是假命题，则下列说法正确的是（ ）
A．是R上的非奇非偶函数，最大值为1
B．是R上的奇函数，无最值
C．是R上的奇函数，m有最小值1
D．是R上的偶函数，m有最小值
【答案】BC
【详解】由题意，函数的定义域为R，关于原点对称，
又由所以函数为定义域上的奇函数.
“，使得”是假命题，
所以，使得恒成立.则只需.
根据题意，函数，变形可得，
即函数的值域为.
所以，即m有最小值1.
故选：BC.
4．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）已知.
(1)求的解析式及定义域；
(2)求的值域，单调区间并判断奇偶性.（不要求写理由，只写结果）
【答案】(1)，定义域为；
(2)详见解析.
【详解】（1）因为，
所以.
函数有意义，则，
所以的定义域为.
（2）因为，任取，
所以，
由，可得，，
当时，；当时，，
所以当时，，，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，；
同理，在上单调递增，在上单调递减，；
所以值域为；
又，即，
，即，
所以为非奇非偶函数；
所以函数的值域为；单调增区间为，，单调减区间为，；为非奇非偶函数.
函数奇偶性的应用
1．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）若是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， .
【答案】
【详解】由题意可得：当时，则，
所以，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以，即，
所以当时，.
故答案为：.
2．（2023上·上海普陀·高一校考期末）函数，其中､､是常数，且，则 ．
【答案】
【详解】依题意，，
，
所以，
所以.
故答案为：
3．（2023上·山东泰安·高一泰山中学校考期末）若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】因为是偶函数，所以
所以，
又因为在上单调递增，
所以，
解得：，
故答案为：.
4．（2023上·陕西西安·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：设，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因函数是定义在上的奇函数，可得，
所以函数在上的解析式为.
（2）解：作出函数的图象，如图所示，
由函数图象可知，在上单调递增，
要使函数在区间上单调递增，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
5．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）∵为定义在上的奇函数，∴，则有
由得，∴，
又，∴，，；
（2）任取，，
∵，∴，，且，，
∴，∴，在上单调递增；
（3）由（2）知在上单调递增，∴，
．
令，则有
令，，，∴．
复合函数单调性求参数
1．（2018·内蒙古包头·统考一模）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
【答案】D
【详解】由可得：，
解得，
，
令，开口向下，对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可得在(一2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，
因为，
所以函数的图象关于x = 1对称，因此A,B,C正确，D错误，
故选：D
2．（2020上·安徽合肥·高一合肥一六八中学校考期末）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设函数
在上是增函数
，解得
故选：A
3．（2020上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知函数.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）设，函数.
（i）若，证明：；
（ii）若，求的最大值.
【答案】（1）或（2）（i）证明见解析（ii）
【详解】（1）当时，为递减函数，等价于，解得，
当时，为递增函数，等价于，解得，
综上所述：或.
（2）因为，所以为增函数，
（i）若，则，令，则，
所以，，
当，即时，，
当，即时，当时，，
所以.
（ii）若，则，令，则，
所以，，
因为，所以，
当，即时，，，，，此时的最大值为，
当，即时，在上单调递增，，，，
所以此时的最大值为，
综上所述：.
4．（2017上·湖北·高一华中师大一附中校考期中）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）增区间为；减区间为；（2）．
【详解】（1）当时，，
由，得，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则其在上单调递减，在上单调递增；
又是减函数；
根据复合函数单调性可得：函数的增区间为，减区间为．
（2）令，则函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
①当时，
要使函数在区间上是增函数，则在上单调递减，且，
即，此不等式组无解．
②当时，
要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，且，
即，解得，又， ∴，
综上可得．
所以实数的取值范围为．
5．（2020上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）若函数在上递减，则函数增区间 .
【答案】
【详解】设，则，在上递增，
函数在上递减，在上递减，可得
函数增区间，即的单调递减区间
令，解得或
函数增区间为
故答案为：
恒成立和能成立问题
1．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知函数.
(1)若，判断函数在区间上的单调性并用定义证明；
(2)，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)或.
【详解】（1）当时，，
在区间上单调递增.
证：，且，则
，
，
，即，
在区间上单调递增.
（2）由，
因为，所以有，
可得，
可得，
可得，
可得或，
因为，，
所以的最大值为1，的最小值为，
综上可知，的取值范围是或.
2．（2023上·广西玉林·高一统考期末）已知．
(1)若的解集为或，求的值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），若的解集为或，
则，是方程的根，即，
解得：．
（2）若对任意，恒成立，即若对任意，，
由已知得，
，，
当且仅当时取等号，
所以，
，
，即的取值范围为.
3．（2023上·江西南昌·高一统考期末）已知函数．
(1)分析的最值情况；
(2)若函数在区间上，恒成立，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数，则，
令，故

当时，即时，，当且仅当时等号成立；
当时，即时，，当且仅当时等号成立，
综上：当时，的最小值为，没有最大值；
当时，的最大值为，没有最小值．
（2）易知，因为，解得．
（i）当时，即当时，在上单调递增，
所以，当时，，
，解得，此时；
（ii）当时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，可得，，
因为，，则，
所以，，可得，此时．
综上所述，．
4．（2022上·安徽六安·高一六安二中校考期末）已知定义在区间上的函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数，，若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设且，则，可得或，
所以原不等式的解集为.
（2）令在上的值域为，
而在上的值域为，
要使对任意的，总存在，使得，
所以，则，可得.
5．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）已知函数对于任意，都有，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为对于任意，都有，即，即,
即，即恒成立，
因为，所以，
当时，不可能恒成立，
当时，化为不成立，
当时，恒成立，则，得，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
6．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）已知函数，，其中，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是
【答案】
【详解】由可得，化简得：，
因为，，，所以，即，
所以，，因为，且，
因为对任意的，总存在，有成立，
所以，，所以
所以，，即实数a的取值范围是
故答案为：
抽象函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性
（多选）1．（2023上·浙江衢州·高一统考期末）已知定义在上的非常数函数满足，则（ ）
A．B．为奇函数C．是增函数D．是周期函数
【答案】AB
【详解】对于A项，令得：，解得：，故A项正确；
对于B项，令得：，由A项知，，所以，所以为奇函数，故B项正确；
对于C项，当时，，，满足，但是减函数.故C项错误；
对于D项，当时，，，满足，但不是周期函数.故D项错误.
故选：AB.
（多选）2．（2022上·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期末）已知函数与的定义域均为，且，，为偶函数，则（ ）
A．函数的图像关于直线对称B．
C．函数的图像关于点对称D．
【答案】ACD
【详解】因为为偶函数，所以，故函数的图像关于直线对称，故A正确；
因为，所以，即①.
因为②，所以③.
①+③，得，故函数的图像关于点对称，故C正确，B错误；
因为函数的图像关于直线对称，所以.
①-②，得，所以.
所以，即函数的周期为.
所以.
在中，令，可得④，
在中，令，可得，即⑤.
⑤-④，得，故，故D正确.
故选:ACD.
（多选）3．（2022上·辽宁丹东·高一统考期末）函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】BCD
【详解】解： 因为为奇函数，为偶函数，
所以图像关于对称，同时关于直线对称；
所以，，故A选项错误；
所以，，故B选项正确；
所以，即函数为周期函数，周期为.
所以，即函数为偶函数，故C选项正确；
所以，故函数为奇函数，D选项正确；
故选：BCD
4．（2023上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵定义域为R，为偶函数，
∴，①即：的图象关于直线对称，
∵为奇函数，
∴，②即：的图象关于点对称，
∴在②中，以替换，得，
∴， ，③
∴，④即：是周期为4的周期函数，
在②中，令，得，解得：，
∴，
在④中，令，得，由于的值无法确定，所以、、的值无法确定.
故选：A.
5．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且，则 ．
【答案】2023
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，得①．
因为为奇函数，所以，得②．
由①，②得，所以．
由，得，得，
故
．
故答案为：2023．
6．（2022上·北京·高一北京师大附中校考期末）已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断的单调性，求在区间上的最大值；
(3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)奇函数；
(2)为上的减函数；在上的最大值为6；
(3)存在，实数a的取值范围为．
【详解】（1）取，则，
∴，
取，，则，
∴对任意恒成立，
∴为奇函数；
（2）任取且， 则，
因为，故，
令，则有，
即，
∵时，，
故时，，
∴，
∴．
故为上的减函数．
∴，，
∵，，
令，则，故，
因为
令，则，即，
由（1）知：为奇函数，故，
故，解得：，
故，
故在上的最大值为6；
（3）∵在上是减函数，
∴，
∵，对所有，恒成立．
∴，恒成立；
即，恒成立，
令，则，即，
解得：或．
∴实数a的取值范围为．
7．（2019上·福建南平·高一统考期末）已知定义域为的函数满足对任意都有．
(1)求证：是奇函数；
(2)设，且当x＞1时，，求不等式的解．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
故是奇函数.
（2）∵，则，即，
则，即，
令，则，，
∴，即，
故在上单调递减，
又∵，则是偶函数，
∴，即，
则，解得或，
故不等式的解集为.
构造函数解含参不等式问题
1．（2023上·广东肇庆·高一统考期末）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，
对任意的，，且，都有成立，
所以，
令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是上的奇函数可得是上的偶函数
所以在上单调递减，
当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即，所以；
当时，转化成，，所以，
综上所述，不等式的解集为
故选：D
2．（2023上·浙江杭州·高一校考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】令，因为函数是定义在R上的奇函数，
则，故为定义在R上偶函数，
由，得在为减函数，
由，可得，
即，故，
所以，即，
解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
3．（2023下·湖南·高一校联考阶段练习）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】令函数，因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，
故是定义在上的奇函数．因为是定义在上的增函数，
所以也是定义在上的增函数．由，
得，则，
则解得，
故原不等式的解集为．
故答案为：