1.2 特殊角的三角函数值（知识解读）-2023-2024学年九年级数学下册重点专题解读+训练（北师大版）

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1．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
2．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
【知识点梳理】
考点2 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
注意：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
考点3 锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，
；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
注意：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典例分析】
【考点1特殊角三角函数值】
【典例1】（2022•河西区二模）2tan30°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
【变式1-2】（2022•南开区一模）2cs60°的值等于（ ）
A．B．1C．D．
【变式1-3】（2021秋•渌口区期末）下列三角函数的值是的是（ ）
A．cs30°B．tan30°C．cs45°D．sin30°
【考点2 同角三角函数的关系】
【典例2】（2022春•巴东县期中）x为锐角，，则csx的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022•内黄县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2022•市南区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2021秋•泰山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sinA+csA的值是（ ）
A．大于1B．小于1C．等于1D．不能确定
【考点3 互余两角三角函数的关系】
【典例3】（2022•南岗区校级开学）已知tan（90°﹣α）＝，则锐角α的度数是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．75°
【变式3-1】（2021秋•江北区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2021秋•东湖区校级期末）若sin（70°﹣α）＝cs50°，则α的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【变式3-3】（2021秋•高新区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点4 三角函数的计算】
【典例4】（2022秋•南关区校级月考）计算：4sin30°cs60°﹣tan230°．
【变式4-1】（2022春•二道区校级期末）计算：
（1）tan45°﹣sin30℃s60°﹣cs245°；
（2）3tan30°﹣tan245°+2sin60°．
【变式4-2】（2022•通辽）计算：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．
【变式4-3】（2021秋•招远市期末）计算：
（1）；
（2）2tan60°+tan45°﹣4cs30°．
1.2 特殊角的三角函数值（知识解读）
【学习目标】
1．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
2．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
【知识点梳理】
考点2 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
注意：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
考点3 锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，
；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
注意：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典例分析】
【考点1特殊角三角函数值】
【典例1】（2022•河西区二模）2tan30°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：2tan30°＝2×＝．
故选：B．
【变式1-1】（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【解答】解：tan45°的值等于1，
故选：B．
【变式1-2】（2022•南开区一模）2cs60°的值等于（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解答】解：2cs60°＝2×＝1．
故选：B．
【变式1-3】（2021秋•渌口区期末）下列三角函数的值是的是（ ）
A．cs30°B．tan30°C．cs45°D．sin30°
【答案】A
【解答】解：A、cs30°＝，本选项符合题意；
B、tan30°＝，本选项不 符合题意；
C、cs45°＝，本选项不符合题意；
D、sin30°＝，本选项不符合题意；
故选：A．
【考点2 同角三角函数的关系】
【典例2】（2022春•巴东县期中）x为锐角，，则csx的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵sin2x+cs2x＝1，，
∴csx＝＝＝．
故选：B．
【变式2-1】（2022•内黄县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
∴设BC＝4a，AB＝5a，
∴AC＝＝＝3a，
∴tanA＝＝＝，
故选：B．
【变式2-2】（2022•市南区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：由题意得：
sin2A+cs2A＝1，
∴cs2A＝1﹣＝，
∴csA＝，
故选：C．
【变式2-3】（2021秋•泰山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sinA+csA的值是（ ）
A．大于1B．小于1C．等于1D．不能确定
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，csA＝，
∴sinA+csA＝+＝，
∵BC+AC＞AB，
∴＞1，
∴sinA+csA的值是：大于1，
故选：A．
【考点3 互余两角三角函数的关系】
【典例3】（2022•南岗区校级开学）已知tan（90°﹣α）＝，则锐角α的度数是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．75°
【答案】A
【解答】解：∵tan（90°﹣α）＝，α为锐角，
∴90°﹣α＝30°．
∴α＝60°．
故选：A．
【变式3-1】（2021秋•江北区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝＝，
∴sinB＝＝，
故选：B．
【变式3-2】（2021秋•东湖区校级期末）若sin（70°﹣α）＝cs50°，则α的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【答案】B
【解答】解：∵sin（70°﹣α）＝cs50°，
∴70°﹣α+50°＝90°，
解得α＝30°．
故选：B．
【变式3-3】（2021秋•高新区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，tanA＝，
∴＝，
设BC＝3x，AC＝4x，故AB＝5x，
则sinB＝＝＝．
故选：A．
【考点4 三角函数的计算】
【典例4】（2022秋•南关区校级月考）计算：4sin30°cs60°﹣tan230°．
【解答】解：4sin30°cs60°﹣tan230°
＝4××﹣（）2
＝1﹣
＝．
【变式4-1】（2022春•二道区校级期末）计算：
（1）tan45°﹣sin30℃s60°﹣cs245°；
（2）3tan30°﹣tan245°+2sin60°．
【解答】解：（1）tan45°﹣sin30°cs60°﹣cs245°
＝1﹣×﹣（）2
＝1﹣﹣
＝；
（2）3tan30°﹣tan245°+2sin60°
＝3×﹣12+2×
＝﹣1+
＝2﹣1．
【变式4-2】（2022•通辽）计算：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．
【解答】解：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1
＝2+4×（﹣1）×﹣2
＝2+2（﹣1）﹣2
＝2+6﹣2﹣2
＝4．
【变式4-3】（2021秋•招远市期末）计算：
（1）；
（2）2tan60°+tan45°﹣4cs30°．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝3+；
（2）2tan60°+tan45°﹣4cs30°
＝2×+1﹣4×
＝2+1﹣2
＝1．
锐角
30°
45°
1
60°
锐角
30°
45°
1
60°