北师大版九年级下册4 解直角三角形精品课时训练

这是一份北师大版九年级下册4 解直角三角形精品课时训练，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023春•上虞区期末）已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝（ ）
A．B．C．D．6
2．（2022•惠城区校级二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cs∠BDE的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022•宣州区二模）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋•上海期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（ ）
A．a•tanαB．a•ctαC．D．
5．（2022秋•靖江市期中）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA的值为（ ）
A．B．2C．D．
6．（2022秋•二道区校级月考）如图，∠AOB＝45°，点C在射线OB上．若OC＝3，则点C到OA的距离等于（ ）
A．3B．3C．3D．6
7．（2022•高新区校级三模）如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（ ）
A．5B．C．3D．
8．（2022•长春模拟）如图是小夏同学家的衣架示意图．已知AB＝AC＝18cm，∠B＝α，则衣架的宽BC为（ ）
A．36sinαcmB．36csαcmC．18tanαcmD．cm
9．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（ ）
A．B．2C．D．
10．（2022•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB＝，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为（ ）
A．+1B．2C．D．﹣
二、填空题。
11．（2022•仓山区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠PAB+tan∠PBA＝ ．
12．（2022•百色一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝14，AD＝12，BD＝AD，则sinC＝ ．
13．（2022•碑林区校级三模）如图，已知在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝3，过点A作直线l（l不经过线段BC），分别过点B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，则BD+CE的最大值为 ．
14．（2022秋•上海期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，那么BC的长是 ．
15．（2022秋•青州市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝3，则点C的坐标为 ．
16．（2022秋•新泰市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为 ．
17．（2022秋•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝ ．
18．（2022秋•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，点D为AB上一点，连接CD，过A作AE⊥CD于E，AE＝，连接BE，若S△BCE＝18，则BD的长为 ．
三、解答题。
19．（2022春•东城区期中）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝10，AC＝13，求BC的长．
20．（2021秋•淮阴区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，csB．
21．（2022秋•张店区校级月考）（1）求tan260°+4sin30°cs45°的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．
22．（2022秋•张店区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，点D在BC上，且BD＝AD．求AC的长和tan∠ADC的值．
23．（2021秋•包河区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，BC＝4，tanA＝，求AD的长．
24．（2022秋•西岗区校级月考）△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC边的长度．
25．（2022秋•工业园区校级月考）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角，如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且＝，则求∠A的正切值．
26．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
专题1.3 解直角三角形（能力提升）
一、选择题。
1．（2022春•上虞区期末）已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B。
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，∠B＝30°，
∴AB＝2AE，AE＝ED，
∵BC＝6，AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD＝3，
设AE＝DE＝x，则AB＝2x，
∴CE＝x﹣3，BE＝x+3，
在Rt△AEB中，根据勾股定理得，
（2x）2＝x2+（x+3）2，
∴2x2﹣6x＝9，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得，
AC2＝x2+（x﹣3）2，
∴AC2＝2x2﹣6x+9，
∴AC2＝18，
∴AC＝3（负值舍去）．
故选：B．
2．（2022•惠城区校级二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cs∠BDE的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：连接AD，如图，
∵AB＝AC＝6，BD＝CD＝＝4，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
AD＝＝＝2，
∵ED⊥AB，
∴AB•ED＝BD•AD，
∴ED＝＝＝，
在Rt△BED中，
cs∠BDE＝＝＝．
故选：B．
3．（2022•宣州区二模）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C。
【解答】解：∵小正方形的边长均为1，
∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝．
故选：C．
4．（2022秋•上海期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（ ）
A．a•tanαB．a•ctαC．D．
【答案】D。
【解答】解：如图：
在Rt△ABC中，AC＝＝．
故选：D．
5．（2022秋•靖江市期中）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C。
【解答】解：△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，
因此可将△ABC向右平移正方形边长的一半得到△A′B′C′，如图所示，则点A′、B′、C′在格点上，
过点C′作C′D⊥AB，垂足为D，则A′D＝3，C′D＝4，
∴A′C′＝＝5，
∴sinA＝sinA′＝＝，
故选：C．
6．（2022秋•二道区校级月考）如图，∠AOB＝45°，点C在射线OB上．若OC＝3，则点C到OA的距离等于（ ）
A．3B．3C．3D．6
【答案】A。
【解答】解：如图，过点C作CD⊥OA，垂足为D，
在Rt△COD中，∠COD＝45°，OC＝3，
∴CD＝OC＝3，
即点C到OA的距离为3，
故选：A．
7．（2022•高新区校级三模）如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】B。
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E．
∵DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，∠DCE＝∠DCB．
在△DCE和△DCB中，
，
∴△DCE≌△DCB（SAS）．
∴BD＝ED＝1．
∵∠ABD＝∠A，
∴AE＝BE＝2．
∵AC＝7，
∴CE＝AC﹣AE＝5．
∴CD＝＝＝2．
∴tan∠CBD＝＝＝2．
故选：B．
8．（2022•长春模拟）如图是小夏同学家的衣架示意图．已知AB＝AC＝18cm，∠B＝α，则衣架的宽BC为（ ）
A．36sinαcmB．36csαcmC．18tanαcmD．cm
【答案】B。
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD．
∵AD⊥BC，
∴BD＝ABcsα．
∴BC＝2BD＝2ABcsα＝36csα（cm）．
故选：B．
9．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A。
【解答】解：连接OD，
∵AD⊥BC，O是AB中点，
∴OD＝AB＝1，
∴OD＝OA＝OE＝OD，
∴点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，
∴∠ABC＝∠AED，
∴tan∠AED＝tan∠ABD＝，
故选：A．
10．（2022•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB＝，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为（ ）
A．+1B．2C．D．﹣
【答案】B。
【解答】解：如图，
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
在Rt△ABD中，
BD＝AD＝AB•sinB＝×＝，
在Rt△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠ACB＝30°，
CD＝AD•tan30°＝×＝1，
∴BC＝+1，
在Rt△BEF中，设BF＝EF＝x，
在Rt△EFC中，∠FEC＝90°﹣∠BCE＝60°，
CF＝EF•tan60°＝x，
由CF+BF＝BC得，
，
∴x＝1，
∴EC＝2EF＝2，
故答案为：B．
二、填空题。
11．（2022•仓山区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠PAB+tan∠PBA＝ ．
【答案】。
【解答】解：设小正方形的边长是a，
∵tan∠PAB＝＝＝，
tan∠PBA＝＝＝，
∴tan∠PAB+tan∠PBA＝+＝．
12．（2022•百色一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝14，AD＝12，BD＝AD，则sinC＝ ．
【答案】。
【解答】解：∵AD＝12，
∴BD＝AD＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
在Rt△ACD中，
AC＝＝，
∴sinC＝＝．
13．（2022•碑林区校级三模）如图，已知在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝3，过点A作直线l（l不经过线段BC），分别过点B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，则BD+CE的最大值为 4 ．
【答案】4。
【解答】解：如图，
作AH⊥BC于H，取BC的中点F，取DE的中点G，连接AF，连接FG，
∴FG是梯形BCED的中位线，
∴FG∥BD∥CE，BD+CE＝2FG，
∵BD⊥DE，
∴FG⊥DE，
∴∠AGF＝90°，
∴FG≤AF，
∵∠AHB＝∠AHC＝90°，∠ABC＝45°，
∴AH＝BH＝AB＝6，
∵tan∠ACB＝＝3，
∴CH＝＝2，
∴CH＝2，
∴BC＝BH+CH＝8，
∴CF＝BF＝，
∴FH＝CF﹣CH＝2，
∴AF＝＝＝2，
∴当点G和A点重合时，FG最大＝AF＝2，
∴BD+CE的最大值为：4，
故答案为：4．
14．（2022秋•上海期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，那么BC的长是 5 ．
【答案】5。
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵sinA＝＝，AB＝10，
∴BC＝5．
故答案为：5．
15．（2022秋•青州市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝3，则点C的坐标为 （﹣，） ．
【答案】（﹣，）。
【解答】解：作CD⊥AO于D，
∵OC2＝BC•AC，
∴OC：BC＝AC：OC，
∵∠BCO＝∠OCA，
∴△COB∽△CAO，
∴∠COB＝∠OAB，
∵∠COB+∠α＝∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠α，
∴tan∠ABO＝tanα＝3，
∴tan∠ABO＝＝3，
∵OB2+AO2＝AB2，
∴OB2+（3OB）2＝40，
∴OB＝2，OA＝6，
∵tanα＝＝3，
∴CD＝3DO，
∵OB∥CD，
∴△ABO∽△ACD，
∴AO：AD＝OB：CD，
∴6：（6+OD）＝2：（3OD），
∴OD＝，
∴CD＝3OD＝，
∴点C坐标为：（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
16．（2022秋•新泰市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为 ．
【答案】。
【解答】解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴BO＝3，AO＝4，
∴AB＝＝5，
∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，
∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，
∴sin∠C＝＝＝，
故答案为：．
17．（2022秋•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝ 10 ．
【答案】10。
【解答】解：∵CD⊥AB，tanB＝，
∴＝，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△ACD∽△CBD，
∴S△ACD：S△CBD＝1：4，
∵S△ACD＝2，
∴S△CBD＝8，
∴S△ABC＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10．
故答案为：10．
18．（2022秋•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，点D为AB上一点，连接CD，过A作AE⊥CD于E，AE＝，连接BE，若S△BCE＝18，则BD的长为 3 ．
【答案】3。
【解答】解：作BF⊥CD交CD延长线于F，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠BCF+∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF，
∵∠AEC＝∠F＝90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴＝＝，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝＝，
∴CF＝2AE＝8，
令CE＝x，则BF＝2x，
∵S△BCE＝CE•BF＝18，
∴x2＝18，
x＝3，
∴CE＝3，BF＝6，
∵AE∥BF，
∴＝＝＝，
∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝8﹣3＝5，
∴DF＝3，
∵BD2＝BF2+DF2，
∴DB2＝+，
∴BD＝3．
故答案为：3．
三、解答题。
19．（2022春•东城区期中）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝10，AC＝13，求BC的长．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图，
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，AB＝10，
∴AD＝＝＝5，csB＝＝，
∴＝，
∴BD＝5；
在Rt△ADC中，
∵AD＝5，AC＝14，
∴DC＝＝＝12，
∴BC＝BD+CD＝5．
20．（2021秋•淮阴区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，csB．
【解答】解：作AD⊥BC与D，
∵AB＝AC＝13，D是BC的中点，即BD＝5，
∴AD＝＝12，
∴sinB＝＝，
csB＝＝．
21．（2022秋•张店区校级月考）（1）求tan260°+4sin30°cs45°的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．
【解答】解：（1）tan260°+4sin30°cs45°
＝（）2+4××
＝3+；
（2）在Rt△ABC中，
∵c＝4，a＝2，
∴b＝
＝
＝
＝2．
∵sinB＝＝，sin30°＝，
∴∠B＝30°．
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°．
22．（2022秋•张店区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，点D在BC上，且BD＝AD．求AC的长和tan∠ADC的值．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，
∴＝tanB＝＝，
解得：AC＝4；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，
即（8﹣x）2＝x2+16，
解得：x＝3，
∴CD＝3，
则tan∠ADC＝＝．
23．（2021秋•包河区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，BC＝4，tanA＝，求AD的长．
【解答】解：如图，延长AD与BC交于点E．
在直角△ABE中，tanA＝＝，AB＝6，
∴BE＝8，
∴AE＝＝10，EC＝BE﹣BC＝8﹣4＝4．
在△ABE与△CDE中，
∠B＝∠CDE＝90°，∠E＝∠E，
∴∠DCE＝∠A．
∴tan∠DCE＝tanA＝＝，
∴设DE＝4x，则CD＝3x，
在直角△CDE中，EC2＝DE2+CD2，
∴42＝（4x）2+（3x）2，
解得：x＝（负值舍去），
∴DE＝，
∴AD＝AE﹣DE＝10﹣＝．
即AD的长为．
24．（2022秋•西岗区校级月考）△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC边的长度．
【解答】解：过点A作 AD⊥BC，交BC的延长线于点D．
∵∠B＝45°，∠BAC＝15°，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝60°，∠BAD＝45°．
在Rt△ACD中，
∵cs∠DCA＝＝cs60°＝，
sin∠DCA＝＝sin60°＝，AC＝10，
∴CD＝5，AD＝5．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝∠B，
∴BD＝AD＝5．
∴BC＝BD﹣CD＝5﹣5．
25．（2022秋•工业园区校级月考）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角，如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且＝，则求∠A的正切值．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
∵＝，
∴设BC＝2a，则AC＝3a，
∵∠A，∠B互为半余角，
∴∠A+∠B＝45°，
∴∠DCB＝∠A+∠B＝45°，
在Rt△CDB中，DB＝BC•sin45°＝2a•＝2a，
CD＝BC•cs45°＝2a•＝2a，
∴AD＝AC+CD＝3a+2a＝5a，
在Rt△ADB中，tanA＝＝＝，
∴∠A的正切值为．
26．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB＝＝10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD＝＝＝2
∴sin∠ACD＝＝＝．