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初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形精品课时作业
展开1.(2023•北海一模)如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A.250mB.250mC.mD.250m
2.(2022•邯郸三模)如图,甲、乙两船同时从港口O出发,其中甲船沿北偏西30°方向航行,乙船沿南偏西70°方向航行,已知两船的航行速度相同,如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处,那么点B位于点A的( )
A.南偏西40°B.南偏西30°C.南偏西20°D.南偏西10°
3.(2021•二道区一模)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔的正东方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为( )
A.40海里B.40sin37°海里
C.40cs37°海里D.40tan37°海里
4.(2022秋•南岗区校级月考)如图,一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发,向正北航行8海里到达B处,此时灯塔C在船的北偏西84°方向,则船与灯塔C距离为( )海里.
A.4B.8C.16D.24
5.(2022•工业园区校级一模)一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行60海里到达C处时突然发生故障,位于港口A正东方向的B处的救援艇接到求救信号后,立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援,救援艇到达C处所用的时间为( )
A.小时B.小时C.小时D.小时
6.(2022•深圳模拟)如图,点A到点C的距离为200米,要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上,在C点测得B在北偏东30°的方向上,则B点到河岸AD的距离为( )
A.100米B.200米C.米D.100米
7.(2022秋•惠山区期中)一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30km到达点C处,然后沿北偏西60°方向航行20km到达点D处,此时观测到小岛A在北偏东60°方向,则小岛A与出发点B之间的距离为( )
A.20kmB.kmC.kmD.km
8.(2022•新乐市校级模拟)某渔船在海上进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,发现正北方向(6+6)海里的C处有海盗出没,为了安全,请求A处的海警前往C处护航.如图,已知C位于A处的东北方向上,A位于B的北偏西30°方向上,则A和C之间的距离为( )海里.
A.6B.6C.12D.12
9.(2022春•汉阳区期中)如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为(+1)海里.观测站B到AC的距离BP是( )
A.B.1C.2D.
10.(2022•石家庄二模)如图,某渔船正在海上P处捕鱼,先向北偏东30°的方向航行10km到A处,然后右转40°再航行到B处.在点A的正南方向,点P的正东方向的C处有一条船,也计划驶往B处,那么它的航向是( )
A.北偏东10°B.北偏东30°C.北偏东35°D.北偏东40°
二、填空题。
11.(2022•新洲区模拟)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔50海里的A处,海轮沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时B处距离灯塔P的距离约为 海里(结果取整数,参考数据:≈1.73,sin34°≈0.56).
12.(2022•大东区二模)如图,我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行,船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向,船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点,此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向.请问船继续航行 海里与钓鱼岛A的距离最近?
13.(2022•朝阳区校级开学)一艘船向正北方向航行,在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,继续航行12海里到达B处,看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上.若继续沿正北方向航行,航行过程中船距灯塔S的最近距离为 海里.(结果精确到0.1海里)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
14.(2022•丰润区二模)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离为 海里;AB= 海里(结果保留根号).
15.(2022•绥化三模)如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,求此时轮船离灯塔的距离约为 海里.(结果保留整数,参考数据:sin68°≈0.9272,sin46°≈0.7193,sin22°≈0.3746,sin44°≈0.6947.)
16.(2022秋•清江浦区月考)小红和爸爸绕着小区广场锻炼,在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑,在某一时刻,小红到达点P处,爸爸到达点Q处,此时雕塑在小红的南偏东45°方向,爸爸在小红的北偏东60°方向,若小红到雕塑的距离PM=30m,则小红与爸爸的距离PQ= .(结果保留根号)
17.(2022•岳阳)喜迎二十大,“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图所示,赛道AB为东西方向,赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=200米,则点P到赛道AB的距离约为 米(结果保留整数,参考数据:≈1.732).
18.(2022•黄石模拟)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为 km.
三、解答题。
19.(2022•锦州)如图,一艘货轮在海面上航行,准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时,测得码头C在北偏东60°方向上.为了躲避A,C之间的暗礁,这艘货轮调整航向,沿着北偏东30°方向继续航行,当它航行到B处后,又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到B航行的距离(结果精确到0.1海里.参考数据:sin50°≈0.766,cs50°≈0.643,tan50°≈1.192).
20.(2022•榆次区一模)一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投入使用,据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术.如图,点A为该校快递收纳站点,点B,C分别为两处宿舍楼,“小蛮驴”将会从点A出发,沿着A﹣B﹣C﹣A的路径派送快递.已知点B在点A的正北方向,点C在点A的北偏东20°方向,在点B的北偏东60°方向,点B与点C相距1000米,求点A到点B的距离.(结果精确到1m,参考数据:sin20°≈0.34,cs20°≈0.94,tan20°≈0.36,≈1.73)
21.(2022秋•莱西市期中)九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动,当天,他们先从基地门口A处向正北方向走了220米,到达菜园B处锄草,再从B处沿正西方向走了200米,到达果园C处采摘水果,再向南偏东37°方向走了200米,到达手工坊D处进行手工制作,最后从D处回到门口A处.
(1)求从手工坊D处回到门口A处的距离.
(2)求从手工坊D处回到门口A处的方位角.
[参考数据:sin37≈0.60,cs37°≈0.80,tan37°≈0.75]
22.(2022秋•香坊区校级月考)如图,AC是某市环城路的一段,AE,BF,CD都是南北方向的街道,其与环城路AC的交叉路口分别是A,B,C.经测量花卉市场D位于点A的北偏东45°方向,点B的北偏东30°方向上,AB=2km,∠DAC=15°.求花卉市场D点到环城路AC之间的距离.
23.(2022•青岛)如图,AB为东西走向的滨海大道,小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动,小宇在点A处时,某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处,观光船到滨海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时,观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处,此时,观光船恰好在小宇的正北方向,求观光船从C处航行到D处的距离.
(参考数据:sin40°≈0.64,cs40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin68°≈0.93,cs68°≈0.37,tan68°≈2.48)
24.(2022秋•九龙坡区校级期中)期中测试临近学生都在紧张的复习中,小甘和小西相约阳末去图书馆复习,如图,小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地,经测量图书馆C地在B地的北偏东15°,C地在A地的东北方向,
(1)求AC的距离;
(2)两人准备从B地出发,突然接到疾控中心通知,一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地,并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地,根据相关要求,凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区,问:小西家会被划为管控区吗?请说明理由(参考数据:≈1.73,≈1.41,≈2.45,sin37°≈0.6,cs37°≈0.8,tan37°≈0.75).
25.(2022春•沙坪坝区校级期中)如图,A,B,C,D,E为同一地区的五个景点.已知景点B位于景点A的南偏西30°方向,位于景点C的东南方向800米处,若景点A,C与E,D都位于东西方向,且景点D位于景点C的北偏西30°方向1000米处,景点E位于景点A的西北方向.
(1)求景点A与景点C相距多少米?(结果保留根号)
(2)为了方便旅客游览,景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路,求道路DE的长度.(参考数据:=1.732,结果精确到1米)
26.(2022春•江北区校级期中)某景区A、B两个景点位于湖泊两侧,游客从景点A到景点B须经过C处才能到达.测得景点B在景点A的北偏东30°方向,从景点A出发向正北方向步行600米到达C处,测得景点B在C的北偏东75°方向.当地政府为了方便游客浏览,打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB.
(1)求点C到直线AB的距离;
(2)栈道修通后,从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米?
(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)
27.(2022秋•九龙坡区校级月考)今年暑假,妈妈带着明明去草原骑马.如图,妈妈位于游客中心A的正北方向的B处,其中AB=2km.明明位于游客中心A的西北方向的C处.烈日当空,妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去,于是,妈妈向正西方向匀速步行,同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进.15分钟后,他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇.
(1)求妈妈步行的速度;
(2)求明明从C处到D处的距离.
(参考数据:sin37°≈0.8,cs37°≈0.8,tan37°≈0.75,≈1.73,≈1.41,结果保留两位小数)
专题1.6 解直角三角形的应用-方向角问题(能力提升)
一、选择题。
1.(2022•北海一模)如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A.250mB.250mC.mD.250m
【答案】A。
【解答】解:∠AOB=90°﹣60°=30°,
∵∠ABO=90°,OA=500m,
∴AB=OA=250m,
故选:A.
2.(2022•邯郸三模)如图,甲、乙两船同时从港口O出发,其中甲船沿北偏西30°方向航行,乙船沿南偏西70°方向航行,已知两船的航行速度相同,如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处,那么点B位于点A的( )
A.南偏西40°B.南偏西30°C.南偏西20°D.南偏西10°
【答案】C。
【解答】解:∵甲船沿北偏西30°方向航行,乙船沿南偏西70°方向航行,两船的航行速度相同,
∴AO=BO,∠BOA=80°,∠OAD=30°,
∴∠BAO=∠ABO=50°,
∴∠BAD=∠BAO﹣∠OAD=50°﹣30°=20°,
∴点B位于点A的南偏西20°的方向上,
故选:C.
3.(2021•二道区一模)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔的正东方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为( )
A.40海里B.40sin37°海里
C.40cs37°海里D.40tan37°海里
【答案】B。
【解答】解:∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,
∴∠BAP=37°,
∵AP=40海里,
∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里;
故选:B.
4.(2022秋•南岗区校级月考)如图,一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发,向正北航行8海里到达B处,此时灯塔C在船的北偏西84°方向,则船与灯塔C距离为( )海里.
A.4B.8C.16D.24
【答案】B。
【解答】解:由题意得,∠BAC=42°,∠BCA=84°﹣42°=42°,AB=8海里,
∴∠BAC=∠BCA,
∴BC=AB=8海里,
即船与灯塔C距离为8海里.
故选:B.
5.(2022•工业园区校级一模)一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行60海里到达C处时突然发生故障,位于港口A正东方向的B处的救援艇接到求救信号后,立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援,救援艇到达C处所用的时间为( )
A.小时B.小时C.小时D.小时
【答案】D。
【解答】解:过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D,
在Rt△CAD中,∠CAD=30°,AC=60海里,
则CD=AC=30海里,
在Rt△CBD中,∠CBD=45°,
则BC=CD=30海里,
∴救援艇到达C处所用的时间==(小时),
故选:D.
6.(2022•深圳模拟)如图,点A到点C的距离为200米,要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上,在C点测得B在北偏东30°的方向上,则B点到河岸AD的距离为( )
A.100米B.200米C.米D.100米
【答案】D。
【解答】解:过点B作BE⊥AD,垂足为E,
由题意得:
∠BAD=90°﹣60°=30°,∠BCD=90°﹣30°=60°,
∴∠ABC=∠BCD﹣∠BAD=30°,
∴∠ABC=∠BAD=30°,
∴AC=BC=200米,
在Rt△BCE中,BE=BC•sin60°=200×=100(米),
∴B点到河岸AD的距离为100米,
故选:D.
7.(2022秋•惠山区期中)一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30km到达点C处,然后沿北偏西60°方向航行20km到达点D处,此时观测到小岛A在北偏东60°方向,则小岛A与出发点B之间的距离为( )
A.20kmB.kmC.kmD.km
【答案】B。
【解答】解:过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE于点F,如图所示:
∵∠ABC=90°,
∴四边形BCFE是矩形,
∴EF=BC=30km,CF=BE,
由题意得:∠DCF=60°,∠ADE=90°﹣60°=30°,
∴∠CDF=90°﹣60°=30°,
∴CF=CD=×20=10(km),
∴BE=10km,
DF=sin60°×CD=×20=10(km),
∴DE=DF+EF=(10+30)(km),
∴AE=tan∠ADE•DE=tan30°×DE=×(10+30)=(10+10)(km),
∴AB=AE+BE=10+10+10=(10+20)(km),
故选:B.
8.(2022•新乐市校级模拟)某渔船在海上进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,发现正北方向(6+6)海里的C处有海盗出没,为了安全,请求A处的海警前往C处护航.如图,已知C位于A处的东北方向上,A位于B的北偏西30°方向上,则A和C之间的距离为( )海里.
A.6B.6C.12D.12
【答案】A。
【解答】解:过点A作AD⊥BC于点D,
由题意得,BC=(6+6)海里,∠CAD=45°,∠ABD=30°,
设AD=x海里,
在Rt△ACD中,∠CAD=45°,
∴AD=CD=x海里,
在Rt△ABD中,tan30°=,
解得BD=x,
∴x+x=6+6,
解得x=6,
∴AD=CD=6海里,
∴AC==6海里.
故选:A.
9.(2022春•汉阳区期中)如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为(+1)海里.观测站B到AC的距离BP是( )
A.B.1C.2D.
【答案】B。
【解答】解:由题意得:∠BAC=90°﹣60°=30°,∠ABC=90°+15°=105°,
∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°,
∵BP⊥AC,
∴∠BPA=∠BPC=90°,
∵∠C=45°,
∴△BCP是等腰直角三角形,
∴BP=PC,
∵∠BAC=30°,
∴PA=BP,
∵PA+PC=AC,
∴BP+BP=+1,
解得:BP=1(海里),
故选:B.
10.(2022•石家庄二模)如图,某渔船正在海上P处捕鱼,先向北偏东30°的方向航行10km到A处,然后右转40°再航行到B处.在点A的正南方向,点P的正东方向的C处有一条船,也计划驶往B处,那么它的航向是( )
A.北偏东10°B.北偏东30°C.北偏东35°D.北偏东40°
【答案】C。
【解答】解:如图,连接BC,
由题意得:∠ACP=∠ACD=90°,∠PAC=30°,PA=10km,∠BAE=40°,AB=,
∴∠BAC=180°﹣∠PAC﹣∠BAE=180°﹣30°﹣40°=110°,
∵cs∠PAC==cs30°=,
∴AC=PA=×10=5(km),
∴AC=AB,
∴∠ACB=∠ABC=×(180°﹣∠BAC)=×(180°﹣110°)=35°,
即B处在C处的北偏东35°方向,
故选:C.
二、填空题。
11.(2022•新洲区模拟)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔50海里的A处,海轮沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时B处距离灯塔P的距离约为 134 海里(结果取整数,参考数据:≈1.73,sin34°≈0.56).
【答案】134。
【解答】解:过点P作PM⊥AB于点M,
由题意可得,EF∥AB,∠EPA=60°,∠FPB=34°,
∴∠PAM=∠EPA=60°,∠PBM=∠FPB=34°,
∵AP=50,
在Rt△PAM中,
sin∠PAM===,
∴PM=75,
在Rt△PBM中,
sin∠PBM=sin34°=≈0.56,
∴PB≈134.
故答案为:134.
12.(2022•大东区二模)如图,我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行,船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向,船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点,此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向.请问船继续航行 50 海里与钓鱼岛A的距离最近?
【答案】50。
【解答】解:过点A作AD⊥BC于D,则∠ABC=30°,∠ACD=60°,
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°,
∴CA=CB.
∵CB=50×2=100(海里),
∴CA=100(海里),
在直角△ADC中,∠ACD=60°,
∴CD=AC=×100=50(海里).
则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近;
故答案为:50.
13.(2022•朝阳区校级开学)一艘船向正北方向航行,在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,继续航行12海里到达B处,看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上.若继续沿正北方向航行,航行过程中船距灯塔S的最近距离为 10.4 海里.(结果精确到0.1海里)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
【答案】10.4。
【解答】解:过点S作SC⊥AB,交AB的延长线于点C,
由题意得,∠BAS=30°,AB=12海里,∠CBS=60°,
设BC=x海里,则AC=(x+12)海里,
在Rt△BCS中,tan60°=,
解得CS=x,
在Rt△ACS中,tan30°=,
解得x=6,
∴CS=≈10.4海里,
即航行过程中船距灯塔S的最近距离为10.4海里.
故答案为:10.4.
14.(2022•丰润区二模)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离为 海里;AB= (25+25) 海里(结果保留根号).
【答案】25,(25+25)。
【解答】解:过P作PC⊥AB于C,如图所示:
由题意得:∠APC=30°,∠BPC=45°,PA=50海里,
在Rt△APC中,∵∠ACP=90°,∠APC=30°,
∴AC=PA=25海里,PC=AC=25海里,
在Rt△PCB中,∵∠BCP=90°,∠BPC=45°,
∴BC=PC=25海里,BP=PC=25海里,
∴AB=AC+BC=(25+25)海里.
故答案为:25,(25+25).
15.(2022•绥化三模)如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,求此时轮船离灯塔的距离约为 42 海里.(结果保留整数,参考数据:sin68°≈0.9272,sin46°≈0.7193,sin22°≈0.3746,sin44°≈0.6947.)
【答案】42。
【解答】解:作PA⊥MN,交MN的延长线与A,
由题意知MN=2×30=60(海里),∠PMN=90°﹣68°=22°,∠PNA=90°﹣46°=44°,
∴∠MPN=∠PNA﹣∠PMN=22°,
∴∠MPN=∠PMN,
∴PN=MN=60,
则PA=PNsin∠PNA≈60×0.6947≈42(海里),
故答案为:42.
16.(2022秋•清江浦区月考)小红和爸爸绕着小区广场锻炼,在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑,在某一时刻,小红到达点P处,爸爸到达点Q处,此时雕塑在小红的南偏东45°方向,爸爸在小红的北偏东60°方向,若小红到雕塑的距离PM=30m,则小红与爸爸的距离PQ= m .(结果保留根号)
【答案】m。
【解答】解:过点Q作QE⊥AD于点E,
由题意可得EQ=AB,
在Rt△APM中,sin45°==,
解得AM=,
∵M为AB的中点,
∴AB=EQ=2AM=m,
在Rt△EPQ中,sin60°=,
解得PQ=,
经检验,PQ=是原方程的解且符合题意,
∴小红与爸爸的距离PQ=m.
故答案为:m.
17.(2022•岳阳)喜迎二十大,“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图所示,赛道AB为东西方向,赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=200米,则点P到赛道AB的距离约为 87 米(结果保留整数,参考数据:≈1.732).
【答案】87。
【解答】解:过点P作PC⊥AB,垂足为C,
设PC=x米,
在Rt△APC中,∠APC=30°,
∴AC=PC•tan30°=x(米),
在Rt△CBP中,∠CPB=60°,
∴BC=CP•tan60°=x(米),
∵AB=200米,
∴AC+BC=200,
∴x+x=200,
∴x=50≈87,
∴PC=87米,
∴点P到赛道AB的距离约为87米,
故答案为:87.
18.(2022•黄石模拟)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为 (30+10) km.
【答案】(30+10)。
【解答】解:如图,过B作BE⊥AC于E,过C作CF∥AD,
则CF∥AD∥BG,∠AEB=∠CEB=90°,
∴∠ACF=∠CAD=20°,∠BCF=∠CBG=40°,
∴∠ACB=20°+40°=60°,
由题意得,∠CAB=65°﹣20°=45°,AB=30km,
在Rt△ABE中,∵∠ABE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∵AB=30km,
∴AE=BE=AB=30(km),
在Rt△CBE中,∵∠ACB=60°,tan∠ACB=,
∴CE===10(km),
∴AC=AE+CE=30+10(km),
∴A,C两港之间的距离为(30+10)km,
故答案为:(30+10).
三、解答题。
19.(2022•锦州)如图,一艘货轮在海面上航行,准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时,测得码头C在北偏东60°方向上.为了躲避A,C之间的暗礁,这艘货轮调整航向,沿着北偏东30°方向继续航行,当它航行到B处后,又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到B航行的距离(结果精确到0.1海里.参考数据:sin50°≈0.766,cs50°≈0.643,tan50°≈1.192).
【解答】解:过B作BD⊥AC于D,
由题意可知∠ABE=30°,∠BAC=30°,则∠C=180°﹣30°﹣30°﹣70°=50°,
在Rt△BCD中,∠C=50°,BC=20(海里),
∴BD=BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里),
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,BD=15.32(海里),
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里),
答:货轮从A到B航行的距离约为30.6海里.
20.(2022•榆次区一模)一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投入使用,据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术.如图,点A为该校快递收纳站点,点B,C分别为两处宿舍楼,“小蛮驴”将会从点A出发,沿着A﹣B﹣C﹣A的路径派送快递.已知点B在点A的正北方向,点C在点A的北偏东20°方向,在点B的北偏东60°方向,点B与点C相距1000米,求点A到点B的距离.(结果精确到1m,参考数据:sin20°≈0.34,cs20°≈0.94,tan20°≈0.36,≈1.73)
【解答】解:如图,作CH⊥AB交AB的延长线于H.
在Rt△BCH中,∵∠BHC=90°,∠CBH=60°,BC=1000米,
∴BH=500米,CH=500米,
在Rt△AHC中,∵∠CAH=20°,
∴AH=CH÷tan20°≈500÷0.36≈2403(米),
AB=AH﹣BH≈2403﹣500=1903(米).
故点A到点B的距离大约为1903米.
21.(2022秋•莱西市期中)九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动,当天,他们先从基地门口A处向正北方向走了220米,到达菜园B处锄草,再从B处沿正西方向走了200米,到达果园C处采摘水果,再向南偏东37°方向走了200米,到达手工坊D处进行手工制作,最后从D处回到门口A处.
(1)求从手工坊D处回到门口A处的距离.
(2)求从手工坊D处回到门口A处的方位角.
[参考数据:sin37≈0.60,cs37°≈0.80,tan37°≈0.75]
【解答】解:(1)过点D作DE⊥AB于点E,过点D作DF⊥BC于点F,
则四边形EDFB是矩形,
∴ED=BF,DF=EB,
由题意得,CD=200米,∠CDF=37°,
∴DF=CD•cs∠CDF≈200×0.80=160(米),CF=CD•sin∠CDF≈200×0.60=120(米),
∴AE=AB﹣BE=220﹣160=60(米),DE=200﹣120=80(米),
由勾股定理得,AD===100(米),
答:从手工坊D处回到门口A处的距离约为100米;
(2)在Rt△ADE中,sin∠ADE==0.6,
∴∠ADE=37°,
∴90°﹣37°=53°,
答:从手工坊D处回到门口A处的方位角为南偏东53°.
22.(2022秋•香坊区校级月考)如图,AC是某市环城路的一段,AE,BF,CD都是南北方向的街道,其与环城路AC的交叉路口分别是A,B,C.经测量花卉市场D位于点A的北偏东45°方向,点B的北偏东30°方向上,AB=2km,∠DAC=15°.求花卉市场D点到环城路AC之间的距离.
【解答】解:如图,过D作DH⊥AB于H,
由题意得,∠EAD=45°,∠FBD=30°,
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°.
∵AE∥BF∥CD,
∴∠FBC=∠EAC=60°.
∵∠FBD=30°,
∴∠DBC=∠FBC﹣∠FBD=30°.
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB,
∴∠ADB=15°,
∴∠DAB=∠ADB,∴BD=AB=2km.
∵∠DBC=∠DAB+∠ADB=30°,
∴DH=BD=1(km),
答:花卉市场D点到环城路AC之间的距离为1km.
23.(2022•青岛)如图,AB为东西走向的滨海大道,小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动,小宇在点A处时,某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处,观光船到滨海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时,观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处,此时,观光船恰好在小宇的正北方向,求观光船从C处航行到D处的距离.
(参考数据:sin40°≈0.64,cs40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin68°≈0.93,cs68°≈0.37,tan68°≈2.48)
【解答】解:过点C作CF⊥DE于F,
由题意得,∠D=40°,∠ACB=68°,
在Rt△ABC中,∠CBA=90°,
∵tan∠ACB=,
∴AB=CB×tan68°≈200×2.48=496(m),
∴BE=AB﹣AE=496﹣200=296(m),
∵∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°,
∴四边形FEBC为矩形,
∴CF=BE=296m,
在Rt△CDF中,∠DFC=90°,
∵sin∠D=,
∴CD≈=462.5(m),
答:观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m.
24.(2022秋•九龙坡区校级期中)期中测试临近学生都在紧张的复习中,小甘和小西相约阳末去图书馆复习,如图,小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地,经测量图书馆C地在B地的北偏东15°,C地在A地的东北方向,
(1)求AC的距离;
(2)两人准备从B地出发,突然接到疾控中心通知,一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地,并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地,根据相关要求,凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区,问:小西家会被划为管控区吗?请说明理由(参考数据:≈1.73,≈1.41,≈2.45,sin37°≈0.6,cs37°≈0.8,tan37°≈0.75).
【解答】解:(1)如图,过点B作BE⊥AC于点E,
根据题意可知:∠BAE=45°,∠CBA=90°+15°=105°,AB=900m,
∴∠BCE=180°﹣45°﹣105°=30°,
∴BE=AE=AB=450m,
∴CE=BE=450m,
∴AC=AE+CE=450+450=450(+)≈450×3.86≈1737(m);
∴AC的距离约为1737m;
(2)小西家会被划为管控区,理由如下:
如图,过点B作BF⊥CD于点F,
根据题意可知:∠GBC=∠BCH=15°,∠DCH=22°,
∴∠BCF=15°+22°=37°,
在Rt△CBF中,CB=2BE=2×450=900(m),
∴BF=CB•sin37°≈900×0.6≈764(m),
∵764<800,
∴小西家会被划为管控区.
25.(2022春•沙坪坝区校级期中)如图,A,B,C,D,E为同一地区的五个景点.已知景点B位于景点A的南偏西30°方向,位于景点C的东南方向800米处,若景点A,C与E,D都位于东西方向,且景点D位于景点C的北偏西30°方向1000米处,景点E位于景点A的西北方向.
(1)求景点A与景点C相距多少米?(结果保留根号)
(2)为了方便旅客游览,景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路,求道路DE的长度.(参考数据:=1.732,结果精确到1米)
【解答】解:(1)过点B作BF⊥AC于点F,
由题意得,BC=800米,∠CBF=45°,∠ABF=30°,
∴BF=CF===(米),
在Rt△ABF中,tan30°==,
解得AF=800,
∴AC=CF+AF=(800+)米.
∴景点A与景点C相距(800+)米.
(2)过点C作CG⊥DE于点G,过点E作EH⊥AC于点H,
由题意得,CD=1000米,∠DCG=30°,∠AEH=45°,CG=EH,EG=CH,
在Rt△CDG中,sin30°=,cs30°=,
解得DG=500,CG=,
∴EH=米,
在Rt△AEH中,∠AEH=45°,
可得EH=AH=米,
∴CH=EG=AC﹣AH=800+﹣=(800+)米,
∴DE=DG+EG=500+800+≈1820米.
∴道路DE的长度约为1820米.
26.(2022春•江北区校级期中)某景区A、B两个景点位于湖泊两侧,游客从景点A到景点B须经过C处才能到达.测得景点B在景点A的北偏东30°方向,从景点A出发向正北方向步行600米到达C处,测得景点B在C的北偏东75°方向.当地政府为了方便游客浏览,打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB.
(1)求点C到直线AB的距离;
(2)栈道修通后,从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米?
(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)
【解答】解:(1)过点C作CD⊥AB于点D,
由题意得,∠CAD=30°,AC=600米,
在Rt△ACD中,sin30°=,
解得CD=300,
∴点C到直线AB的距离为300米.
(2)在Rt△ACD中,cs30°=,
解得AD=,
在Rt△BCD中,∠CBD=75°﹣30°=45°,CD=300米,
∴BD=300米,BC=米,
∴AB=AD+BD=(300+)米,AC+BC=(600+)米,
∵600+﹣(300+)≈205(米),
∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米.
27.(2022秋•九龙坡区校级月考)今年暑假,妈妈带着明明去草原骑马.如图,妈妈位于游客中心A的正北方向的B处,其中AB=2km.明明位于游客中心A的西北方向的C处.烈日当空,妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去,于是,妈妈向正西方向匀速步行,同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进.15分钟后,他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇.
(1)求妈妈步行的速度;
(2)求明明从C处到D处的距离.
(参考数据:sin37°≈0.8,cs37°≈0.8,tan37°≈0.75,≈1.73,≈1.41,结果保留两位小数)
【解答】解:(1)根据题意可知:AB=2km,∠BAD=37°,
∴BD=AB•tan37°≈2×0.75=1.5(km),
∴1.5÷=6(km/h),
答:妈妈步行的速度为6km/h;
(2)如图,过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E,
∵∠CAE=45°,∠AEC=90°,
∴△AEC是等腰直角三角形,
∴AE=CE,
设AE=CE=akm,
过点D作DF⊥CE于点F,得矩形BEFD,
∴EF=DB=1.5(km),DF=BE=AE﹣AB=(a﹣2)km,
∴CF=CE﹣EF=(a﹣1.5)km,
在Rt△CDF中,tan∠DCF=,
∴tan30°≈,
∴(a﹣1.5)=a﹣2,
∴a=,
∴DF=a﹣2=,
∴CD=2DF=≈1.37(km).
答:明明从C处到D处的距离约为1.37km
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