初中数学北师大版九年级下册7 切线长定理精品习题

这是一份初中数学北师大版九年级下册7 切线长定理精品习题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023秋•中山市期末）如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（2021秋•上思县期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
3．（2020秋•樊城区期末）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2021秋•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．12cmB．7cm
C．6cmD．随直线MN的变化而变化
6．（2021•柯桥区模拟）如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
7．（2020•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2021•东港区校级一模）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6B．3C．6D．3
9．（2021秋•西岗区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
10．（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．0.5π
二、填空题。
11．（2022•南安市一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于 ．
12．（2021•雁塔区校级模拟）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ．
13．（2022秋•南岗区校级月考）如图，分别过⊙O上A、B、C三点作⊙O切线，切线两两交于P、M、N，PA＝9，则△PMN的周长为 ．
14．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．
15．（2021秋•金川区校级期中）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是 ．
16．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为 ．
17．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 ．
18．（2021•哈尔滨模拟）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为 ．
三、解答题。
19．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．
（1）求证：∠POA＝2∠PCB；
（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．
20．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B．点Q为AB上一点．过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点．已知PA＝12cm，∠P＝56°．
（1）求△PEF的周长；
（2）求∠EOF的度数．
21．（2021秋•无为市校级月考）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．
22．（2019秋•增城区期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
23．已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
24．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，∠P＝60°，PA＝10cm，那么AB的长为 cm．
25．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
26．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．
专题3.7 切线长定理（能力提升）
一、选择题。
1．（2021秋•中山市期末）如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D。
【解答】解：∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC＝AB+CD，
∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，
∴AD+7＝10+8，
解得：AD＝11．
故选：D．
2．（2021秋•上思县期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
【答案】D。
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
3．（2020秋•樊城区期末）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA＝．
故选：A．
4．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B。
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
5．（2021秋•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．12cmB．7cm
C．6cmD．随直线MN的变化而变化
【答案】B。
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故选：B．
6．（2021•柯桥区模拟）如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】A。
【解答】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，
故选：A．
7．（2020•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C。
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，所以①正确；
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
故选：C．
8．（2021•东港区校级一模）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6B．3C．6D．3
【答案】A。
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：A．
9．（2021秋•西岗区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】C。
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
10．（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．0.5π
【答案】C。
【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，
∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．
二、填空题。
11．（2022•南安市一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于 1 ．
【答案】1。
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠APO＝∠BPO＝∠APB，∠PAO＝90°
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∵PO＝2，
∴AO＝1．
故答案为：1．
12．（2021•雁塔区校级模拟）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 S1+S3＝S2+S4 ．
【答案】S1+S3＝S2+S4。
【解答】解：如图设切点分别为E、F、G、H，
由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，
设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，
S1＝r（a+b），S2＝r （b+c），S3＝ r（c+d），S4＝r（a+d），
∴S1+S3＝r（a+b）+ r（c+d）＝r（a+b+c+d），
S2+S4＝r（a+d）+r （b+c）＝r（a+b+c+d），
∴S1+S3＝S2+S4．
故答案为S1+S3＝S2+S4．
13．（2022秋•南岗区校级月考）如图，分别过⊙O上A、B、C三点作⊙O切线，切线两两交于P、M、N，PA＝9，则△PMN的周长为 18 ．
【答案】18。
【解答】解：∵PA、PB、MN分别与⊙O切于A、B、C，
∴PA＝PB，MA＝MC，NB＝NC，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝PM+MC+CN+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝9+9＝18，
故答案为：18．
14．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．
【答案】。
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S＝，
又∵r＝，
∴a+b＝2r+c，
∴直角三角形的面积是r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故答案是：．
15．（2021秋•金川区校级期中）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是 12 ．
【答案】12。
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，
∴△PCD的周长＝PC+CE+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝12．
故答案为：12．
16．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为 16cm ．
【答案】16cm。
【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；
∴△PDE的周长为16cm．
故答案为16cm．
17．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 14 ．
【答案】14。
【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．
18．（2021•哈尔滨模拟）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为 3 ．
【答案】3。
【解答】解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，
∴PA＝3；
故答案为：3．
三、解答题。
19．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．
（1）求证：∠POA＝2∠PCB；
（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．
【解答】证明：（1）连接OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°，
在Rt△POA和Rt△POB中，
∵，
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），
∴∠POA＝∠POB，
∵∠POB＝2∠PCB，
∴∠POA＝2∠PCB；
（2）过B作BE⊥PC于E，
∵PB＝PA＝4，OB＝OA＝3，
∴PO＝5，
∴PO•BE＝OB•PB，
∴BE＝，
由勾股定理得：OE＝＝，
∴CE＝OC+OE＝3+＝，
在Rt△OBE中，tan∠PCB＝＝＝．
20．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B．点Q为AB上一点．过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点．已知PA＝12cm，∠P＝56°．
（1）求△PEF的周长；
（2）求∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA＝12cm，
∴EA＝EQ，FQ＝FB，PA＝PB＝12cm，
∴△PEF的周长＝PE+EQ+FQ+PF＝PA+PB＝24（cm）；
（2）∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝56°，
∴∠AOB＝124°，
∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，
∴∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO，∠EAO＝∠EQO＝90°，
∠FQO＝∠FBO＝90°，
∴∠AOE＝∠QOE，∠QOF＝∠FOB，
∴∠EOF＝∠AOB＝62°．
21．（2021秋•无为市校级月考）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．
【解答】解：∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，
同理可得：DA＝DC，EB＝EC，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．
22．（2019秋•增城区期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
【解答】解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，且∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形；
（2）∵△PAB是等边三角形；
∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，
∵BC是直径，PB是⊙O切线，
∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴AC＝2×＝cm．
23．已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，
∵OA，OB是半径，
∴AF、BP都是⊙O的切线，
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE＝FA，PE＝PB，
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB＝2×3＝6．
24．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，∠P＝60°，PA＝10cm，那么AB的长为 10 cm．
【解答】解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB＝PA，
∵PA＝10cm，
∴AB＝10cm．
故答案为：10．
25．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；
同理：∠ODE＝∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
26．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．
【解答】解：根据切线的性质得：∠PAC＝90°，
所以∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，
根据切线长定理得PA＝PB，
所以∠PAB＝∠PBA＝70°，
所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°．