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2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考） 第04讲 一元二次函数（方程，不等式）(高频精讲）（原卷版+解析版）
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这是一份2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考） 第04讲 一元二次函数（方程，不等式）(高频精讲）（原卷版+解析版），共60页。试卷主要包含了二次函数，一元二次不等式，分式不等式解法，单绝对值不等式等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8798" 第一部分：思维导图 PAGEREF _Tc8798 \h 2
\l "_Tc18757" 第二部分：知识点必背 PAGEREF _Tc18757 \h 4
\l "_Tc15400" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15400 \h 5
\l "_Tc11946" 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） PAGEREF _Tc11946 \h 5
\l "_Tc12249" 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） PAGEREF _Tc12249 \h 8
\l "_Tc13210" 高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 PAGEREF _Tc13210 \h 13
\l "_Tc7705" 高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc7705 \h 17
\l "_Tc6725" 角度1：上恒成立（优选法） PAGEREF _Tc6725 \h 17
\l "_Tc23543" 角度2：上成立（优选法） PAGEREF _Tc23543 \h 19
\l "_Tc30893" 角度3：上恒成立（优选分离变量法） PAGEREF _Tc30893 \h 21
\l "_Tc12245" 角度4：上成立（优选分离变量法） PAGEREF _Tc12245 \h 24
\l "_Tc2675" 角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） PAGEREF _Tc2675 \h 26
\l "_Tc17036" 高频考点五：分式不等式 PAGEREF _Tc17036 \h 29
\l "_Tc10710" 高频考点六：一元二次不等式的应用 PAGEREF _Tc10710 \h 33
\l "_Tc20197" 第四部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc20197 \h 34
\l "_Tc29155" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc29155 \h 34
\l "_Tc10647" ②分类与整合思想 PAGEREF _Tc10647 \h 36
第一部分：思维导图
第二部分：知识点必背
1、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
典型例题
例题1．（2023·河北·高三学业考试）不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
例题2．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
例题3．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
练透核心考点
1．（2023秋·广东江门·高一统考期末）不等式的解集是___________.
2．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）不等式的解集是________．
3．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______．
（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）不等式的解集为_________．
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
典型例题
例题1．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）对于给定的实数，不等式的解集可能是（ ）
A．{}B．C．D．
例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数．
(1)若的解集为，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．
例题4．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知函数，．
(1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）已知函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集．
(2)若，求关于x的不等式的解集．
2．（2023秋·海南海口·高一海口一中校考期末）已知函数.
(1)若，求函数在上的最小值；
(2)求关于x的不等式的解集.
3．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）关于的不等式：
(1)当时，解关于的不等式；
(2)当时，解关于的不等式.
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式的解集是，则的值为（ ）
A．B．7C．D．
例题2．（多选）（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
例题3．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
例题4．（2023·高一课时练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的解集是______．
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的不等式的解集为
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.
4．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）若不等式的解集为，则______．
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度1：上恒成立（优选法）
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）不等式 的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）若不等式 的解集为，则实数的范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
例题3．（2023秋·湖南怀化·高一统考期末）已知函数.
若，恒成立，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）使命题“，”为真命题的一个充分条件是________.
3．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）当命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题时，则的取值范围是__________.
角度2：上成立（优选法）
典型例题
例题1．（2023·北京·高一校考），使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
例题2．（2023·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为______．
例题3．（2023·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是______.
练透核心考点
1．（2023·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）若“”为真命题，则实数a的取值范围是_____________．
3．（2023·山东青岛·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.
角度3：上恒成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏·高一校联考期末）已知命题p：，.若命题为真命题，则实数a的最大值是______.
4．（2023·全国·高三专题练习）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________.
角度4：上成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·高三课时练习）若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是____________
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是______ ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
3．（2023·高一课时练习）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法）
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数的取值范围是_____.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
4．（2023·高一课时练习）已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
高频考点五：分式不等式
典型例题
例题1．（2023秋·北京西城·高一统考期末）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知集合.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·湖北孝感·高一统考期末）已知全集，集合，集合
(1)求，；
(2)集合，若“是的充分不必要条件”，求实数的取值范围．
例题4．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设集合，
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知集合．若，则m的取值范围为____________．
2．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.
3．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）已知集合，非空集合.
(1)当时，求和；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
4．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式．
高频考点六：一元二次不等式的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏常州·高一统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）.
第四部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（多选）（2023·高一专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，解关于的不等式.
3．（2023·湖北荆门·高一荆门市龙泉中学校考阶段练习）设函数．
(1)若，解关于的不等式．
(2)若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围．
②分类与整合思想
1．（2023秋·安徽·高一校联考期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是__________.
2．（2023·内蒙古包头·高一）（1）已知二次函数的图象与y轴交于点，与轴的两个交点的横坐标，的平方和为15，求该二次函数的解析式．
（2）在（1）条件下，当时，求一元二次不等式的解集．
3．（2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.不等式
解集
判别式
二次函数的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根，()
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集
第04讲 一元二次函数（方程，不等式）(精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8798" 第一部分：思维导图 PAGEREF _Tc8798 \h 2
\l "_Tc18757" 第二部分：知识点必背 PAGEREF _Tc18757 \h 4
\l "_Tc15400" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15400 \h 5
\l "_Tc11946" 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） PAGEREF _Tc11946 \h 5
\l "_Tc12249" 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） PAGEREF _Tc12249 \h 8
\l "_Tc13210" 高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 PAGEREF _Tc13210 \h 13
\l "_Tc7705" 高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc7705 \h 17
\l "_Tc6725" 角度1：上恒成立（优选法） PAGEREF _Tc6725 \h 17
\l "_Tc23543" 角度2：上成立（优选法） PAGEREF _Tc23543 \h 19
\l "_Tc30893" 角度3：上恒成立（优选分离变量法） PAGEREF _Tc30893 \h 21
\l "_Tc12245" 角度4：上成立（优选分离变量法） PAGEREF _Tc12245 \h 24
\l "_Tc2675" 角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） PAGEREF _Tc2675 \h 26
\l "_Tc17036" 高频考点五：分式不等式 PAGEREF _Tc17036 \h 29
\l "_Tc10710" 高频考点六：一元二次不等式的应用 PAGEREF _Tc10710 \h 33
\l "_Tc20197" 第四部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc20197 \h 34
\l "_Tc29155" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc29155 \h 34
\l "_Tc10647" ②分类与整合思想 PAGEREF _Tc10647 \h 36
第一部分：思维导图
第二部分：知识点必背
1、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
典型例题
例题1．（2023·河北·高三学业考试）不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【详解】由，可得
则不等式的解集为或
故选：B
例题2．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
【答案】
【详解】不等式即，
的根为，
故的解集为，
即不等式的解集为，
故答案为：
例题3．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1），
，
，
即不等式的解集为；
（2），
，
解得或；
即不等式的解集为；
（3），
或
解得，
即不等式的解集为；
（4），
整理得，
解得，
即不等式的解集为.
练透核心考点
1．（2023秋·广东江门·高一统考期末）不等式的解集是___________.
【答案】
【详解】不等式，即，解得，
所以不等式解集为.
故答案为：
2．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）不等式的解集是________．
【答案】
【详解】令，则可得，
由指数函数单调性可得.
故答案为：.
3．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______．
【答案】
【详解】要使函数有意义，则 ，解得.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
4．（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）不等式的解集为_________．
【答案】
【详解】
对应的二次函数为
画出函数图像为：
所以时
不等式的解集为
故答案为：
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
典型例题
例题1．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）对于给定的实数，不等式的解集可能是（ ）
A．{}B．C．D．
【答案】B
【详解】①当时,
ax2 +（a-1）x-1 < 0可以转化为，
所以；
②当时,
ax2 +（a-1）x-1 < 0可以转化为，
所以；
③当时,
(i),解集为，
(ii),可以转化为，解集为 {x|x≠-1}
(iii),解集为，
综上所述，不等式ax2 +（a-1）x-1 < 0的解集可能是B.
故选：B.
例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数．
(1)若的解集为，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：，
即实数的取值范围为.
（2）由得：；
当时，的解为或；
当时，的解为或；
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【详解】解：原不等式可变形为：，
当时，，所以，即原不等式的解集为；
当时，，所以，即原不等式的解集为；
当时，，令，所以，
若时，，所以原不等式的解集为，
若时，，所以原不等式的解集为，
若时，，所以原不等式的解集为，
综上可知：时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为．
例题4．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知函数，．
(1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【详解】（1）依题意，在实数集上恒成立．
①当时，，成立；
②当时，要使原不等式恒成立，
则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
（2）不等式，
等价于，
即．
①当时，解原不等式可得或；
②当时，不等式整理为，解得；
③当时，方程的两根为，，
（i）当时，因为，解原不等式得；
（ii）当时，因为，原不等式的解集为；
（iii）当时，因为，解原不等式得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）已知函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集．
(2)若，求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）时，，解得：，
故解集为；
（2）时，，
变形为，
当时，，解得，
当时，解得，
当时，，解得，
综上：当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为.
2．（2023秋·海南海口·高一海口一中校考期末）已知函数.
(1)若，求函数在上的最小值；
(2)求关于x的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由，得，解得，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以当时，函数在上的最小值为.
（2）由，得，即，
当时，不等式，解得，不等式的解集为；
当即时，不等式的解集为或；
当即时，不等式的解集为或；
综上所述：时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或.
3．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）关于的不等式：
(1)当时，解关于的不等式；
(2)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)或；
(2)答案见解析.
【详解】（1）当时，原不等式化为，
方程的实数根为，，
所以原不等式的解集为或.
（2），
当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为；
当时，
方程即的根为，，
且，
当或时，；当时，；当时，；
所以当时，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集，
当时，原不等式的解集为，
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式的解集是，则的值为（ ）
A．B．7C．D．
【答案】A
【详解】由题意，不等式的解集是，
则和为方程的根，且，
即，解得，，
所以.
故选：A.
例题2．（多选）（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
【答案】ACD
【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或，则，A对；
对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，可得，，则，
由可得，解得，B错；
对于C选项，由可得，即，解得，
因此，不等式的解集是，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
例题3．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
【答案】
【详解】解：的解集是，
和为方程的两根且
，得，
则不等式，
，解得，即不等式的解集是．
故答案为：
例题4．（2023·高一课时练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的解集是______．
【答案】
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以，且方程得解为，，
则，，所以，，
则不等式，即为，
即，解得或，
所以的解集是，
故答案为：
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的不等式的解集为
【答案】BC
【详解】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得
，
故A错误，B正确，，故C正确，
不等式变为，解得，故D错误，
故选：BC
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【详解】关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.
【答案】
【详解】解：因为不等式的解集为，
所以且方程的解为，
则，所以，
则不等式即为不等式，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：.
4．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）若不等式的解集为，则______．
【答案】5
【详解】由题意得，是方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：5.
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度1：上恒成立（优选法）
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）不等式 的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】当时，原不等式为满足解集为R；
当时，根据题意得，且，解得．
综上，的取值范围为．
故选：B．
例题2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）若不等式 的解集为，则实数的范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】A
【详解】因为不等式的解集为.
当时，，符合题意；
当 时，.
综上：.
故选：A
例题3．（2023秋·湖南怀化·高一统考期末）已知函数.
(1)若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
【详解】（1）当时，满足，恒成立，
当时，则只需，
综上，要使，恒成立，则；
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【详解】当时，不等式化为恒成立，
当时，要使不等式恒成立，需，解得，
综上可得，不等式对任意恒成立，则的取值范围是．
故选：A．
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）使命题“，”为真命题的一个充分条件是________.
【答案】（答案不唯一，取内任意一个实数都可以）
【详解】命题“，”为真命题
当时，恒成立，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的范围为，
则使命题“，”为真命题的一个充分条件为，
故答案为：（答案不唯一，取内任意一个实数都可以）.
3．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）当命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题时，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】因为“对任意实数，不等式恒成立”，
则，即，
又因为命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题，
所以或.
故答案为：
角度2：上成立（优选法）
典型例题
例题1．（2023·北京·高一校考），使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，原式变为，解得，满足条件；
当时，显然，使成立；
当时，要使有解，则需要，
解得.又，所以.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
例题2．（2023·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为______．
【答案】
【详解】由题意可知，
①若，即或，
当时，不等式为，显然不成立；当时，不等式为，显然，使成立，即符合题意；
②若，即，此时不等式对应的一元二次函数开口向下，满足条件；
③若，即或，此时不等式对应的一元二次函数开口向上，
若要满足题意，则需方程由两个不相等的实数根，
即，解得，
即满足条件时；
综合①②③可得，实数的取值范围为
故答案为：
例题3．（2023·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】因为存在实数使得不等式成立，
所以不等式的解集非空，
①当时，，得，符合题意，
②当时，不等式的解集非空，符合题意，
③当时，因为不等式的解集非空，
所以，即，解得或，
所以或，
综上或，
即实数的取值范围是，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】若关于的不等式有解,
则，解得.
故选：C.
2．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）若“”为真命题，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】因为“”为真命题，所以不等式在上有解，
所以，所以，
故答案为：.
3．（2023·山东青岛·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】当时，原式，成立；
当时，开口向下，显然有解；
当时，只需，解之：或。
故答案为：
角度3：上恒成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为对任意，不等式恒成立.
所以，其中，
设，，因为，
所以当时，函数，取最小值，最小值为，
所以，
故选：B.
例题2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【详解】因为不等式对于一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，所以的最小值为，
故选：C.
例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】解法1：
时，，则，即，
故在上恒成立，
令，则，故，
∵在上单调递减，在上单调递增，且，
∴当时，，则，
故，即的取值范围为．
解法2：
令开口向上，
若，则，解得，
故的取值范围为．
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为当，，
所以，，
即m的取值范围是
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意得对恒成立， 令 ，
又时，， 所以当时，即时，取得最大值， ，
故实数的取值范围是，
故选：C.
3．（2023秋·江苏·高一校联考期末）已知命题p：，.若命题为真命题，则实数a的最大值是______.
【答案】－4
【详解】因为命题p：，，
所以命题：，，
因为命题为真命题，
所以在上恒成立，
令，
对称轴为，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以实数a的最大值为，
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【详解】所以恒成立，即在恒成立，
所以且，又因为在上是增函数，
所以，所以.
故答案为：.
角度4：上成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】命题p：“，”，即，
设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，
故选：B．
例题2．（2023·高三课时练习）若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是____________
【答案】
【详解】因为，
所以，由得，
因为关于的不等式在区间(0，2]上有解，
所以只需小于等于的最大值，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】令，当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
（1）因在恒成立，于是得，
所以实数a的取值范围是；
（2）因不等式在有解，于是得，
所以实数a的取值范围是.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是______ ．
【答案】
【详解】因为命题“，”为真命题
则，有解，
设，则，
当时，单调递减，所以，
所以.
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
【答案】
【详解】解：由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，
设，则函数在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围为.
3．（2023·高一课时练习）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】时，若，则不等式为，不等式成立，满足题意，
时，在在使得不等式成立，则，∴．
综上，．
故答案为：．
角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法）
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
【答案】C
【详解】解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【详解】对任意，函数的值恒大于零
设，即在上恒成立.
在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在轴上方，即 ，解得或
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数的取值范围是_____.
【答案】
【详解】可转化为.
设，则是关于m的一次型函数.
要使恒成立，只需，
解得.
故答案为：
例题4．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】．
【详解】解：由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，
或，
解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由题意，因为当，不等式恒成立，
可转化为关于a的函数，
则对任意恒成立，
则满足，
解得，
即x的取值范围为．
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】，不等式恒成立
即，不等式恒成立
设，即当时，
所以 ，即，解得或
故答案为：
4．（2023·高一课时练习）已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立
则关于的方程的判别式，
即，解得，所以实数的取值范围为．
（2）不等式，
可看成关于的一次不等式，又，
所以，解得且，所以实数的取值范围是．
高频考点五：分式不等式
典型例题
例题1．（2023秋·北京西城·高一统考期末）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，即，解得：，
不等式的解集为，
故选：C.
例题2．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知集合.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】若，则，故；
若，满足条件；
若，则，满足条件.
综上可知，实数的取值范围是：.
故选：D.
例题3．（2023秋·湖北孝感·高一统考期末）已知全集，集合，集合
(1)求，；
(2)集合，若“是的充分不必要条件”，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题可知集合或
集合，
所以，
（2）因为集合，又因为是的充分不必要条件，所以有，所以有，则，所以的取值范围是
例题4．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设集合，
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得解得．∴．
或,
∴．
（2）当时，由可得，解得,
所以，满足；
当时，由得该不等式解集为,故，满足；
当时，由可得，解得,
所以，不满足；
综上所述，实数a的取值范围为
练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知集合．若，则m的取值范围为____________．
【答案】或．
【详解】由，得，解得：，则
若，则，解得：，满足，
若，则或，解得：或，
综上，的取值范围为：或．
故答案为：或．
2．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.
【答案】
【详解】因为，即，解得，
所以不等式的解集为
故答案为:
3．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）已知集合，非空集合.
(1)当时，求和；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或,；
(2)或
【详解】（1）解：因为集合或,
所以，又 ，
所以；
（2））因为是的必要不充分条件，
所以B⫋A，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围是或.
4．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式．
【答案】或
【详解】
，
解得或，
所以不等式的解集为或，
高频考点六：一元二次不等式的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴．
故选：B．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？
【答案】（1），；（2）．
【详解】（1）由题意得：，，
整理得：，
（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须，
即，．
解得，所以投入成本增加的比例应在范围内．
考点：1．函数模型的应用；2．一元二次不等式的解法．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意，要使附加税不少于128万元，
则，
整理得：，
解得：.
所以的取值范围是，
故选：A.
2．（2023·江苏常州·高一统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）.
【答案】120或130
【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住，
所以，旅馆每晚的收入为元，
因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，
所以，，即，解得，
因为是10的整数倍，
所以，每个床位的定价应为120或130元.
故答案为：120或130
第四部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（多选）（2023·高一专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】BC
【详解】画出函数的图象，关于的一元二次不等式的解集为函数图象在轴下方的部分对应的点的横坐标的集合，由函数的图象的对称轴为,所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得，解得,
故选：BC.
2．（2023·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【详解】（1）由题意得的两根为和1，所以，解得；
（2）由得，即，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
3．（2023·湖北荆门·高一荆门市龙泉中学校考阶段练习）设函数．
(1)若，解关于的不等式．
(2)若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）不等式，即，当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．．
（2）不等式对于实数时恒成立，
即，，
显然，函数在上递增，
从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
②分类与整合思想
1．（2023秋·安徽·高一校联考期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】①当时，即时，
，解集不是空集；
②当时，即时，
此时函数为开口向下的二次函数，
故不等式的解集非空；
③当0时，若不等式的解集非空，则
，
即，
综上，的取值范围是.
故答案为：.
2．（2023·内蒙古包头·高一）（1）已知二次函数的图象与y轴交于点，与轴的两个交点的横坐标，的平方和为15，求该二次函数的解析式．
（2）在（1）条件下，当时，求一元二次不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）答案见解析
【详解】（1）由题知，．
因为，是方程的两根，
则由韦达定理得，．
又，
故，解得．
所以，函数的解析式为或．
（2）由（1）可知，，
一元二次不等式可化为．
由题知，则二次方程，可化为，解得，或．
当时，有，原不等式的解集为．
当时，
若，即时，原不等式的解集为．
若，即时，原不等式的解集为．
若，即时，原不等式的解集为．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
3．（2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【详解】（1）原不等式化为，
当时，可得，解得，
当时，的根为且，解得或，
当时，可得，解得；
当时，的根为且，解得或；
当时，由解得，故不等式解集为.
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）由题意得，且，解得，
不等式可化为，
即，解得或，
故不等式解集为.
不等式
解集
判别式
二次函数的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根，()
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8798" 第一部分：思维导图 PAGEREF _Tc8798 \h 2
\l "_Tc18757" 第二部分：知识点必背 PAGEREF _Tc18757 \h 4
\l "_Tc15400" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15400 \h 5
\l "_Tc11946" 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） PAGEREF _Tc11946 \h 5
\l "_Tc12249" 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） PAGEREF _Tc12249 \h 8
\l "_Tc13210" 高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 PAGEREF _Tc13210 \h 13
\l "_Tc7705" 高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc7705 \h 17
\l "_Tc6725" 角度1：上恒成立（优选法） PAGEREF _Tc6725 \h 17
\l "_Tc23543" 角度2：上成立（优选法） PAGEREF _Tc23543 \h 19
\l "_Tc30893" 角度3：上恒成立（优选分离变量法） PAGEREF _Tc30893 \h 21
\l "_Tc12245" 角度4：上成立（优选分离变量法） PAGEREF _Tc12245 \h 24
\l "_Tc2675" 角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） PAGEREF _Tc2675 \h 26
\l "_Tc17036" 高频考点五：分式不等式 PAGEREF _Tc17036 \h 29
\l "_Tc10710" 高频考点六：一元二次不等式的应用 PAGEREF _Tc10710 \h 33
\l "_Tc20197" 第四部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc20197 \h 34
\l "_Tc29155" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc29155 \h 34
\l "_Tc10647" ②分类与整合思想 PAGEREF _Tc10647 \h 36
第一部分：思维导图
第二部分：知识点必背
1、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
典型例题
例题1．（2023·河北·高三学业考试）不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
例题2．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
例题3．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
练透核心考点
1．（2023秋·广东江门·高一统考期末）不等式的解集是___________.
2．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）不等式的解集是________．
3．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______．
（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）不等式的解集为_________．
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
典型例题
例题1．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）对于给定的实数，不等式的解集可能是（ ）
A．{}B．C．D．
例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数．
(1)若的解集为，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．
例题4．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知函数，．
(1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）已知函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集．
(2)若，求关于x的不等式的解集．
2．（2023秋·海南海口·高一海口一中校考期末）已知函数.
(1)若，求函数在上的最小值；
(2)求关于x的不等式的解集.
3．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）关于的不等式：
(1)当时，解关于的不等式；
(2)当时，解关于的不等式.
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式的解集是，则的值为（ ）
A．B．7C．D．
例题2．（多选）（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
例题3．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
例题4．（2023·高一课时练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的解集是______．
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的不等式的解集为
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.
4．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）若不等式的解集为，则______．
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度1：上恒成立（优选法）
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）不等式 的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）若不等式 的解集为，则实数的范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
例题3．（2023秋·湖南怀化·高一统考期末）已知函数.
若，恒成立，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）使命题“，”为真命题的一个充分条件是________.
3．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）当命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题时，则的取值范围是__________.
角度2：上成立（优选法）
典型例题
例题1．（2023·北京·高一校考），使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
例题2．（2023·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为______．
例题3．（2023·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是______.
练透核心考点
1．（2023·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）若“”为真命题，则实数a的取值范围是_____________．
3．（2023·山东青岛·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.
角度3：上恒成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏·高一校联考期末）已知命题p：，.若命题为真命题，则实数a的最大值是______.
4．（2023·全国·高三专题练习）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________.
角度4：上成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·高三课时练习）若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是____________
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是______ ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
3．（2023·高一课时练习）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法）
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数的取值范围是_____.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
4．（2023·高一课时练习）已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
高频考点五：分式不等式
典型例题
例题1．（2023秋·北京西城·高一统考期末）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知集合.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·湖北孝感·高一统考期末）已知全集，集合，集合
(1)求，；
(2)集合，若“是的充分不必要条件”，求实数的取值范围．
例题4．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设集合，
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知集合．若，则m的取值范围为____________．
2．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.
3．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）已知集合，非空集合.
(1)当时，求和；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
4．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式．
高频考点六：一元二次不等式的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏常州·高一统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）.
第四部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（多选）（2023·高一专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，解关于的不等式.
3．（2023·湖北荆门·高一荆门市龙泉中学校考阶段练习）设函数．
(1)若，解关于的不等式．
(2)若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围．
②分类与整合思想
1．（2023秋·安徽·高一校联考期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是__________.
2．（2023·内蒙古包头·高一）（1）已知二次函数的图象与y轴交于点，与轴的两个交点的横坐标，的平方和为15，求该二次函数的解析式．
（2）在（1）条件下，当时，求一元二次不等式的解集．
3．（2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.不等式
解集
判别式
二次函数的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根，()
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集
第04讲 一元二次函数（方程，不等式）(精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8798" 第一部分：思维导图 PAGEREF _Tc8798 \h 2
\l "_Tc18757" 第二部分：知识点必背 PAGEREF _Tc18757 \h 4
\l "_Tc15400" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15400 \h 5
\l "_Tc11946" 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） PAGEREF _Tc11946 \h 5
\l "_Tc12249" 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） PAGEREF _Tc12249 \h 8
\l "_Tc13210" 高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 PAGEREF _Tc13210 \h 13
\l "_Tc7705" 高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc7705 \h 17
\l "_Tc6725" 角度1：上恒成立（优选法） PAGEREF _Tc6725 \h 17
\l "_Tc23543" 角度2：上成立（优选法） PAGEREF _Tc23543 \h 19
\l "_Tc30893" 角度3：上恒成立（优选分离变量法） PAGEREF _Tc30893 \h 21
\l "_Tc12245" 角度4：上成立（优选分离变量法） PAGEREF _Tc12245 \h 24
\l "_Tc2675" 角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） PAGEREF _Tc2675 \h 26
\l "_Tc17036" 高频考点五：分式不等式 PAGEREF _Tc17036 \h 29
\l "_Tc10710" 高频考点六：一元二次不等式的应用 PAGEREF _Tc10710 \h 33
\l "_Tc20197" 第四部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc20197 \h 34
\l "_Tc29155" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc29155 \h 34
\l "_Tc10647" ②分类与整合思想 PAGEREF _Tc10647 \h 36
第一部分：思维导图
第二部分：知识点必背
1、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
典型例题
例题1．（2023·河北·高三学业考试）不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【详解】由，可得
则不等式的解集为或
故选：B
例题2．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
【答案】
【详解】不等式即，
的根为，
故的解集为，
即不等式的解集为，
故答案为：
例题3．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1），
，
，
即不等式的解集为；
（2），
，
解得或；
即不等式的解集为；
（3），
或
解得，
即不等式的解集为；
（4），
整理得，
解得，
即不等式的解集为.
练透核心考点
1．（2023秋·广东江门·高一统考期末）不等式的解集是___________.
【答案】
【详解】不等式，即，解得，
所以不等式解集为.
故答案为：
2．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）不等式的解集是________．
【答案】
【详解】令，则可得，
由指数函数单调性可得.
故答案为：.
3．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______．
【答案】
【详解】要使函数有意义，则 ，解得.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
4．（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）不等式的解集为_________．
【答案】
【详解】
对应的二次函数为
画出函数图像为：
所以时
不等式的解集为
故答案为：
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
典型例题
例题1．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）对于给定的实数，不等式的解集可能是（ ）
A．{}B．C．D．
【答案】B
【详解】①当时,
ax2 +（a-1）x-1 < 0可以转化为，
所以；
②当时,
ax2 +（a-1）x-1 < 0可以转化为，
所以；
③当时,
(i),解集为，
(ii),可以转化为，解集为 {x|x≠-1}
(iii),解集为，
综上所述，不等式ax2 +（a-1）x-1 < 0的解集可能是B.
故选：B.
例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数．
(1)若的解集为，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：，
即实数的取值范围为.
（2）由得：；
当时，的解为或；
当时，的解为或；
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【详解】解：原不等式可变形为：，
当时，，所以，即原不等式的解集为；
当时，，所以，即原不等式的解集为；
当时，，令，所以，
若时，，所以原不等式的解集为，
若时，，所以原不等式的解集为，
若时，，所以原不等式的解集为，
综上可知：时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为．
例题4．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知函数，．
(1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【详解】（1）依题意，在实数集上恒成立．
①当时，，成立；
②当时，要使原不等式恒成立，
则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
（2）不等式，
等价于，
即．
①当时，解原不等式可得或；
②当时，不等式整理为，解得；
③当时，方程的两根为，，
（i）当时，因为，解原不等式得；
（ii）当时，因为，原不等式的解集为；
（iii）当时，因为，解原不等式得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）已知函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集．
(2)若，求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）时，，解得：，
故解集为；
（2）时，，
变形为，
当时，，解得，
当时，解得，
当时，，解得，
综上：当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为.
2．（2023秋·海南海口·高一海口一中校考期末）已知函数.
(1)若，求函数在上的最小值；
(2)求关于x的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由，得，解得，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以当时，函数在上的最小值为.
（2）由，得，即，
当时，不等式，解得，不等式的解集为；
当即时，不等式的解集为或；
当即时，不等式的解集为或；
综上所述：时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或.
3．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）关于的不等式：
(1)当时，解关于的不等式；
(2)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)或；
(2)答案见解析.
【详解】（1）当时，原不等式化为，
方程的实数根为，，
所以原不等式的解集为或.
（2），
当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为；
当时，
方程即的根为，，
且，
当或时，；当时，；当时，；
所以当时，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集，
当时，原不等式的解集为，
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式的解集是，则的值为（ ）
A．B．7C．D．
【答案】A
【详解】由题意，不等式的解集是，
则和为方程的根，且，
即，解得，，
所以.
故选：A.
例题2．（多选）（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
【答案】ACD
【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或，则，A对；
对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，可得，，则，
由可得，解得，B错；
对于C选项，由可得，即，解得，
因此，不等式的解集是，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
例题3．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
【答案】
【详解】解：的解集是，
和为方程的两根且
，得，
则不等式，
，解得，即不等式的解集是．
故答案为：
例题4．（2023·高一课时练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的解集是______．
【答案】
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以，且方程得解为，，
则，，所以，，
则不等式，即为，
即，解得或，
所以的解集是，
故答案为：
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的不等式的解集为
【答案】BC
【详解】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得
，
故A错误，B正确，，故C正确，
不等式变为，解得，故D错误，
故选：BC
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【详解】关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.
【答案】
【详解】解：因为不等式的解集为，
所以且方程的解为，
则，所以，
则不等式即为不等式，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：.
4．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）若不等式的解集为，则______．
【答案】5
【详解】由题意得，是方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：5.
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度1：上恒成立（优选法）
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）不等式 的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】当时，原不等式为满足解集为R；
当时，根据题意得，且，解得．
综上，的取值范围为．
故选：B．
例题2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）若不等式 的解集为，则实数的范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】A
【详解】因为不等式的解集为.
当时，，符合题意；
当 时，.
综上：.
故选：A
例题3．（2023秋·湖南怀化·高一统考期末）已知函数.
(1)若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
【详解】（1）当时，满足，恒成立，
当时，则只需，
综上，要使，恒成立，则；
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【详解】当时，不等式化为恒成立，
当时，要使不等式恒成立，需，解得，
综上可得，不等式对任意恒成立，则的取值范围是．
故选：A．
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）使命题“，”为真命题的一个充分条件是________.
【答案】（答案不唯一，取内任意一个实数都可以）
【详解】命题“，”为真命题
当时，恒成立，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的范围为，
则使命题“，”为真命题的一个充分条件为，
故答案为：（答案不唯一，取内任意一个实数都可以）.
3．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）当命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题时，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】因为“对任意实数，不等式恒成立”，
则，即，
又因为命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题，
所以或.
故答案为：
角度2：上成立（优选法）
典型例题
例题1．（2023·北京·高一校考），使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，原式变为，解得，满足条件；
当时，显然，使成立；
当时，要使有解，则需要，
解得.又，所以.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
例题2．（2023·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为______．
【答案】
【详解】由题意可知，
①若，即或，
当时，不等式为，显然不成立；当时，不等式为，显然，使成立，即符合题意；
②若，即，此时不等式对应的一元二次函数开口向下，满足条件；
③若，即或，此时不等式对应的一元二次函数开口向上，
若要满足题意，则需方程由两个不相等的实数根，
即，解得，
即满足条件时；
综合①②③可得，实数的取值范围为
故答案为：
例题3．（2023·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】因为存在实数使得不等式成立，
所以不等式的解集非空，
①当时，，得，符合题意，
②当时，不等式的解集非空，符合题意，
③当时，因为不等式的解集非空，
所以，即，解得或，
所以或，
综上或，
即实数的取值范围是，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】若关于的不等式有解,
则，解得.
故选：C.
2．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）若“”为真命题，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】因为“”为真命题，所以不等式在上有解，
所以，所以，
故答案为：.
3．（2023·山东青岛·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】当时，原式，成立；
当时，开口向下，显然有解；
当时，只需，解之：或。
故答案为：
角度3：上恒成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为对任意，不等式恒成立.
所以，其中，
设，，因为，
所以当时，函数，取最小值，最小值为，
所以，
故选：B.
例题2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【详解】因为不等式对于一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，所以的最小值为，
故选：C.
例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】解法1：
时，，则，即，
故在上恒成立，
令，则，故，
∵在上单调递减，在上单调递增，且，
∴当时，，则，
故，即的取值范围为．
解法2：
令开口向上，
若，则，解得，
故的取值范围为．
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为当，，
所以，，
即m的取值范围是
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意得对恒成立， 令 ，
又时，， 所以当时，即时，取得最大值， ，
故实数的取值范围是，
故选：C.
3．（2023秋·江苏·高一校联考期末）已知命题p：，.若命题为真命题，则实数a的最大值是______.
【答案】－4
【详解】因为命题p：，，
所以命题：，，
因为命题为真命题，
所以在上恒成立，
令，
对称轴为，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以实数a的最大值为，
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【详解】所以恒成立，即在恒成立，
所以且，又因为在上是增函数，
所以，所以.
故答案为：.
角度4：上成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】命题p：“，”，即，
设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，
故选：B．
例题2．（2023·高三课时练习）若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是____________
【答案】
【详解】因为，
所以，由得，
因为关于的不等式在区间(0，2]上有解，
所以只需小于等于的最大值，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】令，当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
（1）因在恒成立，于是得，
所以实数a的取值范围是；
（2）因不等式在有解，于是得，
所以实数a的取值范围是.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是______ ．
【答案】
【详解】因为命题“，”为真命题
则，有解，
设，则，
当时，单调递减，所以，
所以.
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
【答案】
【详解】解：由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，
设，则函数在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围为.
3．（2023·高一课时练习）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】时，若，则不等式为，不等式成立，满足题意，
时，在在使得不等式成立，则，∴．
综上，．
故答案为：．
角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法）
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
【答案】C
【详解】解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【详解】对任意，函数的值恒大于零
设，即在上恒成立.
在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在轴上方，即 ，解得或
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数的取值范围是_____.
【答案】
【详解】可转化为.
设，则是关于m的一次型函数.
要使恒成立，只需，
解得.
故答案为：
例题4．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】．
【详解】解：由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，
或，
解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由题意，因为当，不等式恒成立，
可转化为关于a的函数，
则对任意恒成立，
则满足，
解得，
即x的取值范围为．
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】，不等式恒成立
即，不等式恒成立
设，即当时，
所以 ，即，解得或
故答案为：
4．（2023·高一课时练习）已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立
则关于的方程的判别式，
即，解得，所以实数的取值范围为．
（2）不等式，
可看成关于的一次不等式，又，
所以，解得且，所以实数的取值范围是．
高频考点五：分式不等式
典型例题
例题1．（2023秋·北京西城·高一统考期末）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，即，解得：，
不等式的解集为，
故选：C.
例题2．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知集合.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】若，则，故；
若，满足条件；
若，则，满足条件.
综上可知，实数的取值范围是：.
故选：D.
例题3．（2023秋·湖北孝感·高一统考期末）已知全集，集合，集合
(1)求，；
(2)集合，若“是的充分不必要条件”，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题可知集合或
集合，
所以，
（2）因为集合，又因为是的充分不必要条件，所以有，所以有，则，所以的取值范围是
例题4．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设集合，
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得解得．∴．
或,
∴．
（2）当时，由可得，解得,
所以，满足；
当时，由得该不等式解集为,故，满足；
当时，由可得，解得,
所以，不满足；
综上所述，实数a的取值范围为
练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知集合．若，则m的取值范围为____________．
【答案】或．
【详解】由，得，解得：，则
若，则，解得：，满足，
若，则或，解得：或，
综上，的取值范围为：或．
故答案为：或．
2．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.
【答案】
【详解】因为，即，解得，
所以不等式的解集为
故答案为:
3．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）已知集合，非空集合.
(1)当时，求和；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或,；
(2)或
【详解】（1）解：因为集合或,
所以，又 ，
所以；
（2））因为是的必要不充分条件，
所以B⫋A，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围是或.
4．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式．
【答案】或
【详解】
，
解得或，
所以不等式的解集为或，
高频考点六：一元二次不等式的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴．
故选：B．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？
【答案】（1），；（2）．
【详解】（1）由题意得：，，
整理得：，
（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须，
即，．
解得，所以投入成本增加的比例应在范围内．
考点：1．函数模型的应用；2．一元二次不等式的解法．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意，要使附加税不少于128万元，
则，
整理得：，
解得：.
所以的取值范围是，
故选：A.
2．（2023·江苏常州·高一统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）.
【答案】120或130
【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住，
所以，旅馆每晚的收入为元，
因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，
所以，，即，解得，
因为是10的整数倍，
所以，每个床位的定价应为120或130元.
故答案为：120或130
第四部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（多选）（2023·高一专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】BC
【详解】画出函数的图象，关于的一元二次不等式的解集为函数图象在轴下方的部分对应的点的横坐标的集合，由函数的图象的对称轴为,所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得，解得,
故选：BC.
2．（2023·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【详解】（1）由题意得的两根为和1，所以，解得；
（2）由得，即，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
3．（2023·湖北荆门·高一荆门市龙泉中学校考阶段练习）设函数．
(1)若，解关于的不等式．
(2)若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）不等式，即，当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．．
（2）不等式对于实数时恒成立，
即，，
显然，函数在上递增，
从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
②分类与整合思想
1．（2023秋·安徽·高一校联考期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】①当时，即时，
，解集不是空集；
②当时，即时，
此时函数为开口向下的二次函数，
故不等式的解集非空；
③当0时，若不等式的解集非空，则
，
即，
综上，的取值范围是.
故答案为：.
2．（2023·内蒙古包头·高一）（1）已知二次函数的图象与y轴交于点，与轴的两个交点的横坐标，的平方和为15，求该二次函数的解析式．
（2）在（1）条件下，当时，求一元二次不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）答案见解析
【详解】（1）由题知，．
因为，是方程的两根，
则由韦达定理得，．
又，
故，解得．
所以，函数的解析式为或．
（2）由（1）可知，，
一元二次不等式可化为．
由题知，则二次方程，可化为，解得，或．
当时，有，原不等式的解集为．
当时，
若，即时，原不等式的解集为．
若，即时，原不等式的解集为．
若，即时，原不等式的解集为．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
3．（2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【详解】（1）原不等式化为，
当时，可得，解得，
当时，的根为且，解得或，
当时，可得，解得；
当时，的根为且，解得或；
当时，由解得，故不等式解集为.
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）由题意得，且，解得，
不等式可化为，
即，解得或，
故不等式解集为.
不等式
解集
判别式
二次函数的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根，()
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集
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