2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考） 第11讲 第五章 平面向量及解三角形（综合测试）（原卷版+解析版）

这是一份2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考） 第11讲 第五章 平面向量及解三角形（综合测试）（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023春·安徽阜阳·高一校考期中）设点D为中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）在中,已知,,,则角的度数为（ ）
A．B．C．或D．
3．（2022春·北京·高一北京市第二十五中学校考期中）据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有满足“勾3股4弦5”，其中，，点是延长线上的一点，则=（ ）
A．3B．4C．9D．不能确定
4．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
5．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）为测量两地之间的距离，甲同学选定了与不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.共中要求能唯一确定从地之间距离，则中甲同学应选择的方案的序号为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
6．（2023春·河南南阳·高一统考阶段练习）对于非零向量，，定义．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·广西·统考一模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形.已知在平面凸四边形中，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知平面向量，，且，的夹角是钝角，则可以是（ ）
A．-1B．C．D．2
10．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．存在，使得
C．D．当时，在上的投影向量的坐标为
11．（2023春·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
12．（2023春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则，，，四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）与反向的单位向量为__________．
14．（2023春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.
15．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）已知为等腰直角三角形，为线段的中点，，点分别在线段上，且，当点在对应线段上运动时（含端点位置），的最大值为___________.
16．（2023·天津红桥·统考一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（交两点不重合）．若，则________，若，则的最小值为__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023春·河北保定·高一校考阶段练习）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用，表示；
(2)若，，求的值．
18．（2023·内蒙古包头·统考一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边上的高h．
条件①：；条件②：．
19．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为．
(1)若为的中点，求．
(2)求的取值范围．
20．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)若，判断的形状；
(2)求的最大值．
21．（2023·陕西渭南·统考二模）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km.
(1)求的长度；
(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？
22．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知锐角三角形中，角的对边分别为，且满足.
(1)求证：；
(2)若，求三角形面积的取值范围.
第11讲 第五章 平面向量及解三角形（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023春·安徽阜阳·高一校考期中）设点D为中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】如图，D为BC中点，O为靠近A的三等分点，
，
.
故选：D.
2．（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）在中,已知,,,则角的度数为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【详解】由题知,,,
在中,由正弦定理可得:
,
解得,因为,,
所以或.
故选:C
3．（2022春·北京·高一北京市第二十五中学校考期中）据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有满足“勾3股4弦5”，其中，，点是延长线上的一点，则=（ ）
A．3B．4C．9D．不能确定
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，所以，所以，
所以.
故选：C
4．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【答案】A
【详解】因为三角形三条边上的高之比为，
所以三角形三条边之比为，即，
不妨设，
则最大角的余弦值为，
因此角为钝角，三角形为钝角三角形.
故选：A.
5．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）为测量两地之间的距离，甲同学选定了与不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.共中要求能唯一确定从地之间距离，则中甲同学应选择的方案的序号为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】D
【详解】对于①，测量，不能求出的值，
对于②，测量，利用三角形内角和定理求得，
再利用正弦定理求得，且解唯一，
对于③，测量，
利用余弦定理，
解一元二次方程可以求得，可能解不唯一，
对于：④，测量，利用余弦定理直接求得，且解唯一，
所以正确的为②④.
故选：D
6．（2023春·河南南阳·高一统考阶段练习）对于非零向量，，定义．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，∴．
由可得，
两式相减得，∴．
故选：B.
7．（2023·广西·统考一模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形.已知在平面凸四边形中，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在中，由余弦定理得：，
显然，即，，
在中，，，因为为平面凸四边形，则有，
因此，而，
由正弦定理得：，
当时，，当时，，
因此，，即，
所以的取值范围是.
故选：A
8．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图可知,，，
因为是的中点，所以，
所以，
即，
所以，
由条件可得，，，
因为P为AC边上的一个动点，
故当P为AC中点时，最小，此时，
当P为A或C时，最大，，
所以，
所以，又因为，
所以.
故选：C.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知平面向量，，且，的夹角是钝角，则可以是（ ）
A．-1B．C．D．2
【答案】BD
【详解】因为与的夹角为钝角，
所以且与不共线，
即且，
所以且
故选：BD
10．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．存在，使得
C．D．当时，在上的投影向量的坐标为
【答案】CD
【详解】对于A，若，则，解得，故A错误；
对于B，若，则，
即，方程无解，
所以不存在，使得，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，当时，，，
则在上的投影向量的坐标为，故D正确.
故选：CD.
11．（2023春·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【详解】由题意得：，.
对于A项，，
由题意得：，故A正确；
对于B项，，故B项不正确；
对于C项，，
，故C不正确；
对于D项，在上的投影向量为：，
由C知，
又，
，故D不正确.
故选：BCD
12．（2023春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则，，，四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
【答案】AC
【详解】由正弦定理，
得，
，
，B是等腰的底角，，
是等边三角形，A正确；
B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，
由A正确知，
但由于时，
，
∴B不正确．
C正确，D不正确：
设，则，
，
，
，
，
，
，
，∴C正确，D不正确；
故选：AC.．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）与反向的单位向量为__________．
【答案】
【详解】与反向的单位向量为.
故答案为：.
14．（2023春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.
【答案】
【详解】由题可得，，
，
所以
，
，
，
所以，
故答案为: .
15．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）已知为等腰直角三角形，为线段的中点，，点分别在线段上，且，当点在对应线段上运动时（含端点位置），的最大值为___________.
【答案】
【详解】因为为等腰直角三角形，为线段的中点，，
所以，设，则，
过点分别作的垂线，垂足分别为，则，
在与中，易得，，
则
，
当，即时，取得最大值.
故答案为：.
16．（2023·天津红桥·统考一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（交两点不重合）．若，则________，若，则的最小值为__________．
【答案】 ##
【详解】在中，，且，则，
可得

所以；
又由，已知，
所以，可得，
因为三点共线，且点在线外，
所以，
则，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023春·河北保定·高一校考阶段练习）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用，表示；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)3.
根据三点共线找出等量关系；
【详解】（1）在中，由,
又，
所以，
所以
（2）因为，
又，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，
即.
18．（2023·内蒙古包头·统考一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边上的高h．
条件①：；条件②：．
【答案】(1)
(2)见解析.
【详解】（1）在中，，
由及正弦定理得，
由余弦定理得，
化简得，所以，
结合，得．
（2）若增加条件①：，．
因为，
由，得，或，
所以不能唯一确定，不合题意．
若增加条件②：．
将代入，
得，解得，或（舍去）．此时唯一确定．
由，得．
所以．
19．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为．
(1)若为的中点，求．
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为为中点，
所以.
因为为中点，
所以，
所以
.
（2）因为等边三角形，边长为2，为中点
所以为，
因为关于的对称点为，
所以，
所以
，
因为动点在上，
所以当时，取最小值，即，
当与重合时，取最大值，即，
所以，
所以的取值范围为.
20．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)若，判断的形状；
(2)求的最大值．
【答案】(1)直角三角形
(2)
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得：，
即，所以，
由正弦定理得：，因为，所以，
所以，所以，即，
又，故，得，所以为直角三角形.
（2）因为，所以
，
因为，所以，所以，
当即时，取最大值，
此时，，故的最大值为．
21．（2023·陕西渭南·统考二模）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km.
(1)求的长度；
(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？
【答案】(1)km
(2)km
【详解】（1）联结，在中，由余弦定理可得，
，
所以，即的长度为；
（2）记，则在中，由余弦定理可得：
，即，
从而
所以，则，当且仅当时，等号成立；
新建健康步道的最长路程为，
故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加
22．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知锐角三角形中，角的对边分别为，且满足.
(1)求证：；
(2)若，求三角形面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，又，所以，
整理得，即有，
所以，即，
，，则，
所以，所以.
（2）由（1）得，因为，由，得,
设三角形的面积为，
则
，在锐角三角形中，,且，
所以，所以，设，则，
记，则，所以函数在上单调递减，
所以，所以，即三角形面积的取值范围.