2023-2024学年吉林省友好学校高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省友好学校高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知平面α的法向量为a=(1,2,−2)，平面β的法向量为b=(−2,−4,k)，若α⊥β，则k=( )
A. 4B. −4C. 5D. −5
2.在等比数列{an}中，a1=12，q=12，an=132，则项数n为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的 2倍，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y=±2 2xB. y=± 2xC. y=± 22xD. y=± 24x
4.已知直线l将圆C：x2+y2+x−2y+1=0平分，且与直线x+2y+3=0垂直，则l的方程为( )
A. 2x+y=0B. 2x+y−3=0C. 2x−y−4=0D. 2x−y+2=0
5.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且BE=2EC，则EF=( )
A. 12AP−AB−16AD
B. −12AP+AB+16AD
C. 12AP−AB+16AD
D. −12AP+AB−16AD
6.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的移动最少次数，若a1=1，且an=2an−1−1,n为偶数2an−1+2,n为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为( )
A. 7B. 13C. 16D. 22
7.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A. 6B. 5C. 2D. 3
8.已知圆C：(x−3)2+(y−3)2=4，一条光线从点A(−1,3)处射到直线l：x+y=0上，经直线l反射后，反射光线与圆C有公共点，则反射光线斜率的取值范围是( )
A. (−∞,0]∪[34,+∞)B. [0,34]
C. (−∞,0]∪[43,+∞)D. [0,43]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论不正确的是( )
A. 过点A(1,3)，B(−3,1)的直线的倾斜角为30°
B. 直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过定点(−3,−3)
C. 直线x+2y−4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是 52
D. 已知A(2,3)，B(−1,1)，点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值是5
10.已知圆O1：x2+y2−2x−3=0和圆O2：x2+y2−2y−1=0交于A，B两点，则( )
A. 两圆的圆心距|O1O2|=2
B. 两圆有3条公切线
C. 直线AB的方程为x−y+1=0
D. 圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+ 2
11.公差为d的等差数列{an}满足a2=5，a6+a8=30，则下列结论正确的有( )
A. d=1B. an=2n+1
C. 1an2−1=14(1n−1n+1)D. {1an2−1}的前n项和为n4n+1
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，下列四个结论中正确的是( )
A. 直线BC1与直线AD1所成的角为90°
B. B1D⊥平面ACD1
C. 点B1到平面ACD1的距离为 32
D. 直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为 33
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若a=(1,2,3)，b=(0,1,−4)，则|a−2b|= ______ ．
14.已知直线l1：x+ay+6=0，直线l2：(a−2)x+3ay+18=0，且l1//l2，则a的值为______ ．
15.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M、N是抛物线上两个不同的点.若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为______ ．
16.古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点P(x,y)到定点A(1,0)和到定直线x=9的距离之比是13，则点P的轨迹方程为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求S100的值．
18.(本小题12分)
已知圆C过点A(1,2)，B(1,0)，且圆心在x+y−1=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l：3x−4y+2=0与圆C交于M、N两点，求线段MN的长度．
19.(本小题12分)
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(4,0)，O为坐标原点．
(1)求抛物线方程；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求△AOB的面积．
20.(本小题12分)
在如图所示的四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB/​/平面ACE；
(2)若PA=AD=1，AB=2，求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−n．
(1)求证：数列{an+1}为等比数列；
(2)记bn=n2n−1⋅(2n−an)，求数列{bn}的前n项和为Tn．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2 3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足OM⋅ON=2(O为坐标原点)若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵平面α的法向量为a=(1,2,−2)，平面β的法向量为b=(−2,−4,k)，且α⊥β，
∴a⊥b，
∴a⋅b=1×(−2)+2×(−4)−2k=0，
解得k=−5．
故选：D．
根据题意a⊥b，得出a⋅b=0，列出方程求出k的值．
本题考查了平面的法向量与向量垂直的应用问题，是基础题目．
2.【答案】C
【解析】解：∵{an}是等比数列
∴an=132=a1qn−1=12×(12)n−1=(12)n=(12)5
解得：n=5
故选：C．
根据等比数列的通项公式建立等式关系，然后根据指数函数的单调性解指数方程即可求出项数n．
本题主要考查了等比数列的通项公式，以及解指数方程，属于基础题，是对基础知识的考查，是送分题．
3.【答案】B
【解析】解：∵双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的 2倍，
∴ 2b=a，∴双曲线C的渐近线方程为：y=± 2x.
故选：B．
由已知条件推导出 2b=a，由此能求出此双曲线的离心率．
本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线基本性质的合理运用．
4.【答案】D
【解析】解：化圆C为(x+12)2+(y−1)2=14，可得圆心坐标为(−12,1)，
由题意知，直线l过点(−12,1)，
又与直线x+2y+3=0垂直，可得斜率为2，
∴直线l的方程为y−1=2(x+12)，整理得2x−y+2=0，
故选：D．
化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，再由已知求出直线l的斜率，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线方程的求法，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且BE=2EC，
∴AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23AD，AF=12(AP+AD)，
则EF=AF−AE=12(AP+AD)−(AB+23AD)=12AP−AB−16AD，
故选：A．
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的各项．
【解答】解：由于a1=1，
所以a2=2a1−1=1，a3=2a2+2=4，a4=2a3−1=7，a5=2a4+2=16．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：将x=c代入双曲线的方程得y=b2a即M(c,b2a)
在△MF1F2中tan30°=b2a2c
即c2−a22ac= 33
解得e=ca= 3
故选：D．
将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．
本题考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的离心率就是求三参数的关系．
8.【答案】B
【解析】解：点A(−1,3)关于直线l：x+y=0的对称点A′(−3,1)，
由题意可得反射光线过A′点，显然过A′点的直线与圆C由公共点的直线的斜率存在，设反射光线的斜率为k，
则反射光线的直线的方程为y=k(x+3)+1，
即kx−y+3k+1=0，
可得点C到反射光线的距离d=|3k−3+3k+1| 1+k2=|6k−2| 1+k2≤2，
整理可得：4k2−3k≤0，解得0≤k≤34，
故选：B．
由题意可得点A关于直线x+y=0的对称点A′的坐标，设反射光线的方程，由题意可得点C到直线的距离小于等于圆C的半径，可得反射光线的斜率的范围．
本题考查反射光线的求法及直线与圆有公共点的求法，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：A选项，过点A(1,3)，B(−3,1)的直线的斜率为3−11−(−3)=12，
设直线倾斜角为θ，则tanθ=12，由于tan30°= 33，
故过点A(1,3)，B(−3,1)的直线的倾斜角不为30°，A错误；
B选项，直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)变形得到3x+4y−3+(x+3)m=0(m∈R)，
令3x+4y−3=0x+3=0，解得x=−3y=3，
故直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过点(−3,3)，B正确；
C选项，直线x+2y−4=0变形为2x+4y−8=0，
故与直线2x+4y+1=0之间的距离是|1−(−8)| 22+42=92 5=9 510，故C错误；
D选项，在平面直角坐标系中画出A(2,3)，B(−1,1)，两点都在x轴上方，
画出B(−1,1)关于x轴的对称点D(−1,−1)，连接AD，与x轴交于点P，
则|AD|即为|PA|+|PB|的最小值，
则(|PA|+|PB|)min= (−1−2)2+(−1−3)2=5，D正确．
故选：AC．
A选项，求出过点A(1,3)，B(−3,1)的直线的斜率，进而得到倾斜角不为30°；B选项，变形后得到方程组，求出恒过点(−3,3)；C选项，直线x+2y−4=0变形为2x+4y−8=0，利用两平行线间距离公式求出答案；D选项，在坐标系中画出点的坐标，利用对称性求出|PA|+|PB|的最小值．
本题主要考查直线方程的应用，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：根据题意，圆O1：x2+y2−2x−3=0，即(x−1)2+y2=4，其圆心(1,0)，半径R=2；
圆O2：x2+y2−2y−1=0，即x2+(y−1y2=2，其圆心(0,1)，半径r= 2；
依次分析选项：
对于A，两圆的圆心距|O1O2|= 1+1= 2，所以A错误；
对于B，由于2− 20，
所以存在符合题意的直线，其方程为k=± 22x+2．
【解析】(1)由椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2 3，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
(2)当直线l的斜率不存在时，M(0, 3)，N(0,− 3)OM⋅ON=−3，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)由x24+y23=1y=kx+2，得：(3+4k2)x2+16kx+4=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合已知条件能求出结果．
本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．