重庆市忠县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份重庆市忠县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共9页。
（本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．二次函数图像的开口方向（ ）．
A．向下B．向上C．向左D．向右
2．下列方程为一元二次方程的是（ ）．
A．B．C．D．
3．下列标志图是中心对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
4．下列事件为必然事件的是（ ）．
A．张老师驾车到达长江大桥红绿灯路口时遇到绿灯
B．九年级数学特长小组的13名同学中有两个同学在同一月过生日
C．大概率事件
D．抛掷一枚硬币出现正面朝上
5．如果是以原点O为圆心，为半径的圆，则点与的位置是（ ）．
A．点A在内B．点A在外
C．点A在上D．无法确定
6．对于抛物线，下面说法正确的是（ ）．
A．对称轴是B．顶点是
C．最小值为D．与x轴无交点
7．若关于x的方程有唯一解，则该解应在（ ）．
A．7和8之间B．6和7之间C．5和6之间D．4和5之间
8．如图，已知点A在外，AB与相切于点B，点O在直线AC上，连接BC，若，则（ ）．
A．24°B．26°C．28°D．38°
9．如图，在中，，，，且AC在直线l上，将绕点A顺时针旋转到①，可得到点；再将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点；…，按此规律继续旋转下去，若n为正整数，则等于（ ）．
A．B．
C．D．
10．在桌面上分开放着枚硬币，其中有b枚硬币反面朝上，其余正面朝上．规定1次操作是将a枚硬币中的4枚进行翻转．设经过c次操作后所有硬币都正面朝上．对于以下命题：①如果，那么c的最小值为1；②如果，且，那么c的最小值为2；③如果，且，那么c不存在；④如果（k为正整数），且，那么c不存在．正确的命题个数是（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．一元二次方程的一次项的系数是______．
12．抛物线的顶点坐标是______．
13．新能源汽车越来越受人们欢迎，宋PLUS新能源汽车2023年7月销量为3万辆，9月销量为3.7万辆，若设这两个月的平均增长率为x，则可列方程______．
14．如果有两个同学随机坐到编号1、2、3、4的座位上，那么这两个同学座位上编号之积为偶数的概率是______．
15．若关于x的一元二次方程的唯一实数根也是关于x的一元二次方程的根，则关于x的方程的根为______．
16．如图，在中，，，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E，若图中阴影部分的面积为，则______．
17．若关于x的一元二次方程有实数根，且不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数是______．
18．对于各数位上数字均不为0的三位自然数N，并记N的各数位上数字之和为n，若N能被n整除，则称N是“n的倍生数”；若任取N的两个数位上的数字组成一个两位数，则称两位数G是“N的衍生数”．如果三位自然数A是“15的倍生数”，且“A的衍生数”的最大值和最小值之差能被8整除，那么A的最大值为______．
三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．解下列方程：
（1）；（2）．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．
（1）将绕坐标原点O顺时针旋转90°为，写出点、、的坐标，并在图中作出；
（2）求的面积．
21．为提高学生的国家安全意识，去年4月15日九年级举行了国家安全知识竞赛活动．现从参赛学生中分别随机抽取15名男、女学生样本，对样本学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成4个组，A：；B：；C：；D：），得到如图所示的统计图表．其中女生样本成绩在C组中的数据为：85，88，87．
根据图表信息，解答下列问题：
男、女学生成绩对比统计表
女生成绩扇形统计图
（1）写出a，b的值，求扇形A的圆心角度数；
（2）根据以上数据，你认为九年级男、女学生中谁国家安全知识掌握更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若被抽取的15名女生样本中有且只有1人得最低分，学校准备从70分以下的样本女生中抽取2人谈话，用列表或画树状图的方法计算最低分女生被抽到的概率．
22．已知关于x的方程．
（1）当时，求已知方程的解；
（2）说明无论a为何值时已知方程总有解；
（3）若，是已知方程的两根，且，求与的值．
23．甲、乙、丙三同学玩跳绳，绳被甩到最高处时的形状是如图所示的抛物线．已知拿绳的甲、乙两同学甩绳时手间距AB为6米，手到地面的距离AD和BC都为1.3米，身高为1.6米的丙同学站在距点D的水平距离为1米的E点处，绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶F．以点D为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求此抛物线解析式，并注明x的取值范围；
（2）如果绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶F，丙同学在CD之间是否存在除E外的另一站点，若存在，求该站点到点D的距离，若不存在，说明理由．
24．如图，在菱形ABCD中，，，动点P、Q均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→B→C方向运动，点Q沿折线A→D→C方向运动，当两动点相遇时停止运动，设运动时间为x秒，以线段PQ为边长的正方形面积为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．
25．在如图所示平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．
备用图
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线向上平移个单位得到新的抛物线，点E是新抛物线上一点，点F是已知抛物线对称轴上一点，若以点B、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，写出点E的坐标，并把求其中一个点E的过程写出来．
26．设，已知点A、B分别是两边上的点，线段AO绕点A逆时针旋转至AC，线段BO绕点B顺时针旋转至BD如图，连接BC、CD．
图1 图2 图3
（1）如图1，若，且点D在线段AC上时，求证：；
（2）如图2，若，取CD中点E，连接AE、BE，求证：；
（3）如图3，若，，点H在OM边上使得，连接CH，点F是线段OH上一动点，将沿CF翻折至，连接，点K在CH上使得，当取得最小值时，直接写出的值．
忠县2023年秋季九年级期末学业水平监测
数学参考答案及评分意见
一、选择题（每题4分，共40分）
1．A2．C3．B4．B
5．C6．D7．A8．B
9．D10．C
二、填空题（每题4分，共32分）
11．12．13．14．
15．，16．17．418．915
三、解答题（19题8分，其余各题10分，共78分）
19．解：（1）化为，则，∴；
（2）∵，，，
∴，∴，
∴，．
20．解：（1）点、、，作图略；
（2）面积为．
21．解：（1），，扇形A的圆心角度数为72°；
（2）我认为男生对国家安全知识掌握更好（一条合理即得分），
因为男生成绩的中位数89大于女生成绩的中位数87；
或因为男生成绩的众数99大于女生成绩的众数98．
（3）因为70分以下的样本女生共3人，
列表或画树状图略，所求概率．
22．解：（1）当时，原方程为，故已知方程的解为．
（2）∵，∴无论a为何值时，
∴无论a为何值时已知方程总有解．
（3）原方程可化为，∴由题意必有，，∴，．
23．解：（1）设此抛物线的解析式为，
由题意得点，，，
代入得且，解得，，
∴抛物线的解析式为：，．
（2）如果存在另一站点，设站点到点D的距离为x，
则，解得或5，即为站点E，
∴存在另一站点到点D的距离为5米．
24．解：（1）在菱形ABCD中，，，
∴，，
∴总的运动时间为：秒，连接PQ，
当点P在AB上，点Q在AD上运动时，由题意是正三角形，
即时，由，，∴，∴，
当点P在BC上，点Q在DC上运动时，是正三角形，
即时，由，，∴，
∴，综上所述：．
（2）图略．
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
关于直线对称；当时，y取得最大值9．
（3）．
25．解：（1）由题意设抛物线中，则，，
∴抛物线的解析式为：．
（2）由，，得直线BC的解析式为，
过点P作轴于点M，交BC于点N，
设点，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积取值最大值为，
此时，∴．
（3）原抛物线可化为，∴点F的横坐标，
由题意得新抛物线为，∴设点E坐标，
①当BC为对角线时，，∴，∴点，
②当BM为对角线时，，∴，∴点，
③当BN为对角线时，，∴，点，
即点M的坐标为或或．
26．解：（1）连接OC，
∵，由题意得与为等边三角形，
∴，，，，
∴，
∴在和中，得≌，∴．
（2）如图延长CA至点，使得，
延长DB至点，使得，连接、、、，
设分别与CO、交于点P、Q，
∵，与为等腰直角三角形，∴与也为等腰直角三角形，
∴，，
又∵，，∴，
∴在与中，≌，∴，
而在中，，∴，∴，
在中，点A、E分别是、CD的中点，
∴，同理在中，，∴．
（3）过点O作，在OL上截取，连接FL，
连接CL交OH于点P，则取得的最小值即为CL，此时．
统计量
平均数
中位数
众数
女生
88
a
98
男生
88
89
90