2023-2024学年河北省高三上学期1月大数据应用调研联合测评数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省高三上学期1月大数据应用调研联合测评数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=R，集合A={x|x+2x−1>0}，B={x|x≤1}，则A∩(∁UB)=( )
A. {x|−2≤x0恒成立，则a的最小值为( )
A. eB. 2eC. 1eD. 12e
8.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e12e12+1+3e22e22+3的最小值是( )
A. 2+ 33B. 1+ 33C. 2 33D. 4 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的有( )
A. 数据11，20，14，17，26，27，9，29，15，30，4的第75百分位数为30
B. 已知随机变量X服从二项分布B(n,23)，若E(2X−1)=7，则n=6
C. 已知回归直线方程为y=bx+9，若样本中心为(−3,24)，则b=−5
D. 若变量x和y之间的样本相关系数为r=0.9989，则变量x和y之间的正相关性很小
10.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|0，n>0，则2m+13n的最小值为 ．
15.2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有 种安排方案.(用数字作答)
16.如图所示，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M在DC上，且DM= 2，动点P在正方形ABCD内运动(含边界)，若|D1P|= 5，则当|B1P|取得最小值时，三棱锥B1−MPB外接球的半径为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}满足a12+a222+a323+⋯+an2n=n．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=lg2an，求数列{1bn⋅bn+1}的前n项和．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角C的平分线与边AB交于点D，且满足1−cs2BcsA=sin2B1+sinA．
(1)若AB= 3AC，求角C;
(2)若CD=2，求证：cs(B2+π4)=1AC+1BC．
19.(本小题12分)
如图1，已知正三角形ABC边长为4，其中AD=3DB，AE=3EC，现沿着DE翻折，将点A翻折到点A′处，使得平面A′BC⊥平面DBC，M为A′C中点，如图2．
(1)求异面直线A′D与EM所成角的余弦值;(2)求平面A′BC与平面DEM夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=max+x2−xlna+n(a>1)，m，n为常数，过曲线y=f(x)上一点P(0,1)处的切线与y轴垂直．
(1)求m，n的值及f(x)的单调递增区间;
(2)若对任意的x1，x2∈[−1,1]，使得|f(x1)−f(x2)|≤e−1(e是自然对数的底数)恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，若以F1为圆心，1为半径的圆与以F2为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线AA1，AA2的斜率之积为−34．
(1)求椭圆E的方程;
(2)点P是直线l:x=4上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N．
①求证直线MN恒过定点，并求出此定点;
②求△PMN面积的最小值．
22.(本小题12分)
在信息论中，熵(entrpy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).熵的单位通常为比特，但也用Sℎ、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1Sℎ的信息，而掷m次就为m位.更一般地，你需要用lg2n位来表示一个可以取n个值的变量.在1948年，克劳德⋅艾尔伍德⋅香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农熵.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯⋅麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量ξ所有取值为1，2，⋯n，定义ξ的信息熵H(ξ)=−i=1nPilg2Pi(i=1nPi=1,i=1,2,⋯,n)．
(1)若n=2，试探索ξ的信息熵关于P1的解析式，并求其最大值;
(2)若P1=P2=12n−1，Pk+1=2Pk(k=2,3,⋯,n)，求此时的信息熵．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的交集与补集的混合运算，属于基础题．
由已知求出∁UB和A，然后求交集即可．
【解答】解：因为A={x|x+2x−1>0}={x|x>1或x1}，
所以A∩(∁UB)={x|x>1}.
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．
化简z，得 z2−2，由复数的几何意义即可求解．
【解答】
解： z=1+i 2023=1−i，
则z2−2=(1−i)2−2=−2−2i，对应点(−2,−2)，在第三象限
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题．
根据投影向量的计算公式求解．
【解答】
解：因为向量a=(59, 32)，b=(−49,− 32)，c=(−1, 3)，a−b=(1, 3)，
所以向量c在向量a−b上的投影向量为：
|c|cs·a−b|a−b|=c⋅a−b|a−b|2·a−b=24(1, 3)=(12, 32).
4.【答案】B
【解析】【分析】
先根据等差数列的前n项和公式由S5S10=13可得a1与d的关系，再代入到S10S20即可求得答案．
本题主要考查等差数列的前n项和公式．属基础题．
【解答】
解：根据等差数列的前n项和公式得到：
S5S10=13=5a1+10d10a1+45d，
∴a1=3d，
S10S20=10a1+45d20a1+190d=75d250d=310，
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的新定义，对数型函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．
由题意先求出函数的定义域，利用换元法求出函数f(x)的值域，即可利用新定义得出[f(x)]的值域．
【解答】
解：由−x2+x+2>0得x+1x−20)恒成立，令s(t)=tlnt，则s′(t)=lnt+1，
当00，x>0，所以eax>1，
因此若x>1e时，不等式eaxlneax≥xlnx恒成立，则eax>x恒成立，
若00时，eax>x恒成立，则ax≥lnx，即a≥lnxx，
设μ(x)=lnxx，μ′(x)=1−lnxx2，当0e时，μ′(x)1，
所以实数a的取值范围为(1,e]．
【解析】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，求解不等式问题，属于中档题．
(1)利用导数的几何意义先求出m，n的值，再利用导函数确定出函数的单调区间；
(2)若对任意的x1，x2∈[−1,1]，使得|f(x1)−f(x2)|≤e−1(e是自然对数的底数)恒成立，
只需fxmax−fxmin⩽e−1，由(1)知，f(x)在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，所以当x∈−1,1时，fxmin=f0=1，fxmax为f(1)，f(−1)中的最大值，
利用作差法得出f(1)与f(−1)的大小，即可求解．
21.【答案】解：(1)因为圆F1:(x+c)2+y2=1与圆F2:(x−c)2+y2=9相交，且交点在椭圆E上，
所以2a=1+3，a=2，
又kAA1⋅kAA2=−b2a2=−34，∴b2=3，
所以椭圆E的方程为x24+y23=1．
(2) ①由(1)知椭圆右焦点F2(1,0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(4,t)，
则切线PM的方程为xx14+yy13=1，
即3xx1+4yy1=12，点P在直线PM上，
∴12x1+4ty1=12，∴3x1+ty1=3，
∵kMF2=y1x1−1，kPF2=t4−1=t3，∴kMF2kPF2=y1x1−1⋅t3=ty13(x1−1)，
∵3x1+ty1=3，∴ty1=3−3x1=3(1−x1)，
代入上式得kMF2kPF2=ty13(x1−1)=3(1−x1)3(x1−1)=−1，
∴MF2⊥PF2，同理NF2⊥PF2，
所以直线MN恒过定点F2(1,0)．
②由 ①知直线MN恒过定点F2(1,0)，
令直线MN:x=my+1，
代入椭圆方程x24+y23=1，
得y2(3m2+4)+6my−9=0，则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
Δ=(6m)2+36(3m2+4)>0恒成立，
则|MN|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2=12(1+m2)3m2+4，
①当m≠0时，
点P到直线MN的距离为|PF2|= 9+t2，
∵PF2⊥MN，
∴kPF⋅kMN=−1，∴t3⋅1m=−1，
∴t=−3m，∴|PF2|= 9+9m2=3 1+m2，
∴S△PMN=12|PF2||MN|=18(1+m2) 1+m23m2+4，
令n= 1+m2>1，∴m2=n2−1，
则S△PMN=18n2n3n2+1=18n33n2+1=183n+1n3，
∵y=3n+1n3在n∈(1,+∞)上单调递减，
∴S△PMN=183n+1n3在n∈(1,+∞)上单调递增，
∴S△PMN>1831+113=92，
②当n=1时，S△PMN=184=92．
综上，△PMN的最小值为92．
【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线经过定点问题，三角形的面积，属于较难题．
(1)根据两圆交点在椭圆上，可得a=2，再根据kAA1⋅kAA2=−34可得b2=3，即可求出椭圆方程;
(2) ①设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(4,t)，切线PM的方程为xx14+yy13=1，化简整理得kMF2kPF2=−1，MF2⊥PF2，同理NF2⊥PF2，所以直线MN恒过定点F2(1,0)．
②设直线MN:x=my+1，，代入到椭圆方程，由弦长公式求出|MN|，再表示出点P到直线MN的距离，得到三角形PMN的面积，利用函数可求最值．
22.【答案】解：(1)由题意可得，
当n=2时，P1∈(0,1)，
H(ξ)=−P1lg2P1−(1−P1)lg2(1−P1)，
令f(t)=−tlg2t−(1−t)lg2(1−t)，t∈(0,1)，
则f′(t)=−lg2t+lg2(1−t)=lg2(1t−1)，
则当t∈(0,12)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，
当t∈(12,1)时，f′(t)