2023-2024学年山东省德州市第一中学高三上学期期末模拟练习数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省德州市第一中学高三上学期期末模拟练习数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x∈N|x≤ 5,B=xy=lgx−1，则A∩∁RB=( )
A. 0B. 0,1C. 1D. 1,2
2.已知复数z满足1+iz=1−i，则z2023=( )
A. iB. −1C. −iD. 1
3.已知p： x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是
．( )
A. m<3B. m>3C. m<5D. m>5
4.盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为6cm﹐下底面边长为3cm，高为5.4cm，则1L1000cm3茶水至少可以喝(不足一碗算一碗)( )
A. 7碗B. 8碗C. 9碗D. 10碗
5.实数x，y满足x2+y2−6x−4y+4=0，则y+1x+2的最大值为
( )
A. 158B. 3+2 2C. 16+3 237D. 0
6.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计lg的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的lg，那么该同学所选的函数最有可能是
( )
A. fx=xsinx−csxB. fx=sinx−xcsx
C. fx=x2+2csxD. f(x)=2sin x+x2
7.设随机变量X～N(μ,σ2)，且P(X≥a)=0.5，P(XA. 0.25B. 0.3C. 0.5D. 0.75
8.设a=4−ln4e2，b=ln22，c=1e，则
( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. (1−2x)8展开式中x4项的系数为1120
B. 样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到χ2=3.218，依据α=0.05的独立性检验x0.05=3.841，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为X与Y独立
D. 在回归分析中，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零
10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P5,y0在抛物线上，且|PF|=6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则
( )
A. p=2B. 抛物线的准线为直线y=−1
C. y0=2 5D. △FPQ的面积为4 5
11.已知函数fx=acsωx+bsinωx(ω>0)在x=π6处取得最大值2，fx的最小正周期为π，将y=fx图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到gx的图象，则下列结论正确的是
( )
A. x=π6是fx图象的一条对称轴B. fx=2cs2x−π6
C. gx+π2是奇函数D. 方程gx−2lgx=0有3个实数解
12.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈0,1,μ∈0,1，则
( )
A. 当λ=μ=1时，BP⊥A1D
B. 当λ=μ=12，时，点P到平面A1BD的距离为 32
C. 当λ+μ=1时，D1P//平面A1BD
D. 当λ+μ=12时，三棱锥A1−PBD的体积恒为112
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列an的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2= ．
14.设函数fx=x2−2x,x≤2,−2x+6,x>2.，关于x的方程fx=a有三个不等实根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是 ．
15.已知△ABC中，M为BC边上一个动点，若AM=xAB+3yAC，则1x+3y的最小值为____．
16.已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)具有相同的左、右焦点F1、F2，点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线C1上，若记曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，满足e1⋅e2=1，且直线PF1与y轴的交点的坐标为0,3a22，则∠F1QF2的最大值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设Sn为数列an的前n项和，S11+S22+⋅⋅⋅+Snn=2n−1．
(1) 求数列an的通项公式；
(2) 设bn=n+2nan，证明：b1+b2+⋅⋅⋅+bn<4．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且 3a=b 3csC−sinC．
(1) 求角B；
(2) D为AC边上一点，DB⊥BA，且AD=4DC，求csC的值．
19.(本小题12分)
把矩形O1O2FB以O1O2所在的直线为轴旋转180°，得到几何体如图所示.其中等腰梯形ABCD为下底面的内接四边形，且AB=2AD=2，点G为上底面一点，且CG//O1O2，O1O2=1．
(1)若P为DE的中点，求证：AP⊥平面BDE；
(2)设DP=λDE，λ∈0,1，试确定λ的值，使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为 10535．
20.(本小题12分)
已知点F(−1,0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，M( 2, 62)在C上．(1)求C的方程；
(2)已知两点A(m,0)(m>a)与B(n,0)(n21.(本小题12分)
轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者(表中4个年龄段的人数各100人)食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表．
(1)若把年龄在[12,38)的消费者称为青少年，年龄在[38,64]的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值α=0.01的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[25,38)与[51,64]的人数分别为X，Y，ξ=X−Y，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为15,25,23，求小李晚餐选择低卡甜品的概率．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
附：
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−alnx.(a∈R)．
(1)当a(2)当x∈(1,+∞)时，f(x)⩾axalnx−xex恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
化简集合A、B，根据补集与交集的定义写出运算结果即可．
【解答】
解：集合A={x∈N|x≤ 5}，，则A={0,1,2}，
B={x|y=lg(x−1)}={x|x>1}，
则∁RB={x|x≤1}，
所以A∩(∁RB)={0,1}．
故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的除法运算及特殊复数的运算，属于基础题．
利用复数的除法运算及特殊复数的运算即可求解．
【解答】
解： 由已知有z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，
所以z2023=−i2023=−i505×4+3=−i3=i，
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题．
先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案．
【解答】
解：命题p：因为 x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，
命题q：x>m，
因为p是q的充分不必要条件，所以(5,+∞)⫋(m,+∞)，
所以m<5．
故选C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查棱台的体积，属于基础题．
利用棱台的体积公式，求出茶碗的体积，即可求出结果．
【解答】
解：茶碗的体积为：
V=13×5.436+9+ 36×9=113.4，
因为1000÷113.4≈8.82，
所以1L(1000cm3)茶水至少可以喝9碗．
故选C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线斜率公式的应用，属于中档题．
方程表示圆， y+1x+2表示圆上的点 (x,y)与点 (−2,−1)连线的斜率，设过点(−2,−1)的圆的切线方程，由圆的切线性质可得y+1x+2的最大值．
【解答】解： x2+y2−6x−4y+4=0即 (x−3)2+(y−2)2=9，表示以 A(3,2)为圆心、半径等于3的圆．
而 y+1x+2表示圆上的点 (x,y)与点 (−2,−1)连线的斜率．
过点(−2,−1)作圆的两条切线，由题意可得切线的斜率存在，设切线方程为 y+1=k(x+2)，
即 kx−y+2k−1=0，由圆的切线性质可得 |5k−3| k2+1=3，求得k=0或k=158，
故 y+1x+2的最大值为 158，
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，属于中档题，
根据图象的对称性排除B，D选项，再利用单调性排除C选项．
【解答】
解：根据图象特点，该lg是轴对称图形，显然，B，D选项中的函数不为偶函数，不符合题意，
对于C选项，当x>0时，f ′(x)=2x−2sinx>0，因此f(x)在(0,+∞)是增函数，因此也不符合；
故选A．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及概率的求解，是一道基础题．
根据正态分布曲线的对称性可直接求解．
【解答】
解：由已知得a=μ，P(X所以P(X≥b)=0.25，
故由正态曲线的对称性可得P(X≤2a−b)=P(X≥b)=0.25．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用导数比较大小，利用导数研究函数单调性，属于中档题．
结合已知要比较函数值的结构特点，可考虑构造函数fx=lnxx，然后结合导数与单调性关系分析出x=e时，函数取得最大值fe=1e，可得c最大，然后结合函数单调性即可比较大小．
【解答】
解：设fx=lnxx，则f′x=1−lnxx2，
当x>e时，f′x<0，函数单调递减，当00，函数单调递增，
故当x=e时，函数取得最大值fe=1e，
因为a=22−ln2e2=lne22e22=fe22，b=ln22=ln44=f4,c=1e=fe，
∵e当x>e时，f′x<0，函数单调递减，
可得f4故选：C
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查线性回归方程中回归直线方程、线性相关系数、二项式定理与独立性检验的知识，属于中档题．
由二项式定理的通项可判定A，根据线性回归相关知识可判定BD，由独立性检验可判定C．
【解答】解：因为1−2x8的通项为Tr+1=C8r−2xr=−2rC8rxr，令r=4得
x4的系数为−24C84=1120，因此A正确；
线性相关系数 r 的范围在 −1 到 1 之间，有正有负，相关有正相关和负相关，
相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，因此B错误；
由独立性检验 χ2=3.218<3.841 可知，没有充分证据推断原假设不成立，即认为 X 与 Y 独立，因此C正确．
在回归分析中，残差和为：
i=1n(yi−yi)=i=1n[yi−(bxi+a)]=i=1nyi−bi=1nxi−i=1na=ny−nbx−na
=n(y−bx−a)=0
用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零，D正确．
故选ACD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系和三角形面积问题，属于中档题．
根据抛物线的定义可得|PF|=5+p2=6，可求p，逐项判断即可求解．
【解答】
解：抛物线y2=2px(p>0)的准线为直线x=−p2，∴由抛物线的定义可知|PF|=5+p2=6，解得p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x，准线为直线x=−1，故A正确，B错误;
将x=5代入抛物线方程，解得y0=±2 5，故C错误;焦点F(1,0)，点P(5,±2 5)，
∴|PQ|=2 5，∴S△FPQ=12×2 5×(5−1)=4 5，故D正确．
故选AD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查三角恒等变换，三角函数解析式的求法，函数y=Acs(ωx+φ)的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
由f(x)的最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出a，b，得f(x)的解析式，判断AB选项;由函数图象的变换，求g(x)的解析式，验证C选项;数形结合验证D选项．
【解答】
解：f(x)=acsωx+bsinωx= a2+b2cs(ωx−φ)，其中tanφ=ba，
f(x)的最小正周期为T=π，则有ω=2πT=2ππ=2，
故f(x)= a2+b2cs(2x−φ)，
函数f(x)在x=π6处取得最大值2，
则f(π6)=acsπ3+bsinπ3=2 a2+b2=2，解得a=1，b= 3，
则f(x)=cs2x+ 3sin2x=2cs(2x−π3)，B选项错误;
当x=π6时，f(π6)=2cs(2×π6−π3)=2，为最大值，
则x=π6是f(x)图象的一条对称轴，A选项正确;
将y=f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数y=2cs(x−π3)的图象，
再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到g(x)=2csx的图象，
g(x+π2)=2cs(x+π2)=−2sinx，函数为奇函数，C选项正确;
在同一直角坐标系下作出函数g(x)=2csx和函数y=2lgx的图象，如图所示，
两个函数图象有3个交点，可知方程g(x)−2lgx=0有3个实数解，D选项正确．
故选：ACD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查点面距离，线面平行，棱锥的体积，属于中档题．
利用立体几何的知识逐项分析即可．
【解答】
解：对于A，当 λ=μ=1 时，此时点 P 与点 C1 重合，由正方体可得 BC1⊥A1D ，所以 BP⊥A1D ，故A正确；
对于B，当 λ=μ=12 时，此时点 P 为 B1C 的中点，由 B1C// 平面 A1BD ，得点 P 到平面 A1BD 的距离等于点 C 到平面 A1BD 的距离，设为 d ，由 VA1−BCD=VC−A1BD ，得 13×12×1×1×1=13× 34× 22×d ，解得 d= 33 ，故B错误；
对于C，当 λ+μ=1 时，此时 P ， C ， B1 三点共线，由平面 B1CD1// 平面 A1BD ，得 D1P// 平面 A1BD ，故C正确；
对于D，点 P 在 △BB1C 中与 B1C 平行的中位线 MN 上，易得 MN// 平面 A1BD ，点 P 到平面 A1BD 的距离为定值，为点 C 到平面 A1BD 的距离的一半，即 12d= 36 ，底面为边长为 2 的 ▵A1BD 等边三角形，所以 S▵A1BD=12× 2× 32= 32 ，则 P−A1BD 的体积 V=13× 32× 36=112 ，故D正确．
故选：ACD．
13.【答案】−6
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．
由已知，求出a1=−8，即可得解．
【解答】
解：由题意，a3=a1+4，a4=a1+6，
∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a32=a1a4，即(a1+4)2=a1(a1+6)，解得a1=−8，
∴a2=a1+2=−6．
故答案为−6．
14.【答案】[5,112)
【解析】【分析】
本题考查方程的根的个数及其关系，分段函数的图象，属于综合题，做出函数图像可得它们显然关于x=1对称，故x1+x2=2，然后即可求出结果．
【解答】解：画出函数图象，结合图形可知，仅当−1另一个交点位于一次函数图象上，显然它在y=−2x+6和y=0以及y=−1的交点3,0和72,−1之间，故x3∈[3,72),
所以，x1+x2+x3∈[5,112)．
故答案为[5,112) ．
15.【答案】16
【解析】【分析】
本题考查向量共线的充要条件的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
直接利用向量共线的充要条件求出x+3y=1，进一步利用均值不等式求出结果．
【解答】
解：在△ABC中，点M是线段BC上的动点，且AM=xAB+3yAC，则x+3y=1．
所以1x+3y=(1x+3y)(x+3y)=1+9+3yx+3xy≥10+2 9=16，
当且仅当x=14，y=14等号成立，
则1x+3y的最小值为16．
16.【答案】π3
【解析】【分析】
本题考查双曲线和椭圆的定义以及离心率，本题解决的关键在于找到cs∠PF1F2 的两种表达方式，构造了关于e1 的方程，从而得解．
根据椭圆、双曲线的定义可得PF1=a1+a2PF2=a1−a2 ，结合离心率可得a1=1e1ca2=e1c ，在△PF1F2 中，利用余弦定理可得e1=12 ，进而结合椭圆性质可知：当Q 为椭圆短轴顶点时，∠F1QF2 取到最大值，分析求解即可．
【解答】
解：由题意可知：PF1+PF2=2a1PF1−PF2=2a2 ，解得PF1=a1+a2PF2=a1−a2 ，
又因为ca1=e1ca2=e2e1⋅e2=1 ，可得a1=1e1ca2=e1c ，
由直线PF1 与y 轴的交点的坐标为0,3a22 可得cs∠PF1F2=c c2+9a224=2 4+9e12 ，
在△PF1F2 中，由余弦定理可得cs∠PF1F2=|PF1|2+|F1F2|2−|PF2|22|PF1|⋅|F1F2|=(a1+a2)2+(2c)2−(a1−a2)22(a1+a2)⋅(2c)
=a1a2+c2a1+a2c=c2+c21e1c+e1cc=2e1+1e1 ，
可得2 4+9e12=2e1+1e1 ，整理得8e14+2e12−1=0 ，解得e12=14 或e12=−12 (舍去)，
且e1>0 ，所以e1=12 ，
由椭圆性质可知：当Q 为椭圆短轴顶点时，∠F1QF2 取到最大值，
此时sin∠F1QF22=ca1=e1=12 ，
且∠F1QF2∈0,π ，则∠F1QF22∈0,π2 ，所以∠F1QF22=π6 ，即∠F1QF2=π3 ．
．
17.【答案】(1)解：因为S11+S22+⋯+Snn=2n−1 ①，
当n≥2时，S11+S22+⋯+Sn−1n−1=2n−1−1 ②，
①− ②，可得Snn=2n−2n−1=2n−1，所以n≥2时，Sn=n⋅2n−1，
当n≥3时，an=Sn−Sn−1=n2n−1−(n−1)2n−2=(n+1)⋅2n−2，
又当n=1时，a1=21−1=1，当n=2时，S2=a1+a2=4，所以a2=3，
所以当n=1，2时符合an=(n+1)⋅2n−2，
综上，an=(n+1)⋅2n−2;
(2)证明：由(1)知，bn=n+2n⋅(n+1)2n−2=2(n+1)−nn(n+1)⋅2n−2=1n⋅2n−3−1(n+1)⋅2n−2，
所以b1+b2+⋯+bn=11×2−2−12×2−1+12×2−1−13×20+⋯+1n×2n−3−1(n+1)×2n−2
=11×2−2−1(n+1)×2n−2=4−1(n+1)×2n−2<4．
【解析】本题考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求和，数列与不等式，属于中档题．
(1)利用关系式的变换求出Sn=n⋅2n−1，由an=S1,n=1Sn−Sn−1,n⩾2进行求解即可；
(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
18.【答案】解：(1)因为 3a=b 3csC−sinC ，
所以，由正弦定理可得 3sinA=sinB 3csC−sinC ，
又 sinA=sinπ−B+C=sinB+C=sinBcsC+csBsinC ，
所以 3sinBcsC+ 3csBsinC=sinB 3csC−sinC ，
整理得 sinC 3csB+sinB=2sinCsinB+π3=0 ，
因为 C∈0,π,sinC>0 ，所以 sinB+π3=0 ，
又 B∈0,π,B+π3∈π3,4π3 ，所以 B+π3=π ，即 B=2π3
(2)由(1)知 B=2π3 ，因为 DB⊥BA ，所以 ∠CBD=π6 ，
记 ∠BDC=θ ，则 ∠BDA=π−θ ，
在 ▵BCD 中，由正弦定理得 CDsinπ6=asinθ ，得 CD=a2sinθ ，
在 Rt▵ABD 中，有 AD=csinπ−θ=csinθ ，
因为 AD=4DC ，所以 csinθ=2asinθ ，得 c=2a ，
在 ▵ABC 中，由余弦定理可得 b2=a2+4a2−2a×2acs2π3=7a2 ，即 b= 7a ，
所以 csC=a2+7a2−4a22a× 7a=2 77 ．

【解析】本题主要考查正余弦定理的应用，属于中档题．
(1)由正弦定理可得 3sinA=sinB 3csC−sinC ，从而得到 sinB+π3=0 ，可得角B;
(2)在 ▵BCD 中，由正弦定理得 CD=a2sinθ ，在 ▵ABC 中，由余弦定理得到 b= 7a ，再由余弦定理得到csC．
19.【答案】(1)证明：因为AB为直径，
所以BD⊥AD，
因为EA⊥平面ABD，BD⊂平面ABD
所以EA⊥BD，
因为AE∩AD=A，AE、AD⊂平面ADE，
所以BD⊥平面ADE，
因为AP⊂平面ADE，所以BD⊥AP，
因为AD=AE，P为DE的中点，所以AP⊥DE，
因为BD∩DE=D，BD、DE⊂平面BDE;
所以AP⊥平面BDE;
(2)因为等腰梯形ABCD为底面半圆O1的内接四边形，AB=2AD=2
所以∠DAO1=∠AO1D=∠CO1D=∠BO1C=π3，
所以CD=BC=1，
连接O1O2，
如图，以O1为坐标原点，在底面半圆O1过点O1垂直于平面ABFE作直线为x轴，
以O1B，O1O2为y，z轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,−1,0)，B(0,1,0)，G(− 32,12,1)，
D(− 32,−12,0)，E(0,−1,1)，
所以AB=(0,2,0)，AG=(− 32,32,1)，
设平面ABG的法向量为n=(x,y,z)，
则n·AB=2y=0n·AG=− 32x+32y+z=0,
令x=2 3，则n=(2 3,0,3)，
由DP=λDE，λ∈[0,1]，DE=( 32,−12,1)，
可得P( 32λ− 32,−12λ−12,λ)，所以AP=( 32λ− 32,−12λ+12,λ)，
设直线AP与平面ABG所成角为θ，θ∈[0,π2]，
则sinθ=|csn,AP|=|n⋅AP||n||AP|=|3λ−3+0+3λ| 12+0+9⋅ 2λ2−2λ+1= 10535，
即得9λ2−9λ+2=0，
解得λ=13或λ=23，符合λ∈[0,1]，
故λ=13或λ=23．
【解析】本题考查了立体几何中的线面垂直，线面角的问题，属于拔高题．
(1)先证明BD⊥AP，AP⊥DE，故可证AP⊥平面BDE；
(2)建立空间坐标系，用含有λ的坐标表示AP和求出平面ABG的一个法向量，利用向量法表示出直线AP与平面ABG所成角的正弦值，使其等于 10535，从而解出λ．
20.【答案】解：(1)由已知可得c=1，且C的另一焦点坐标为(1,0)，设为F1，
所以有2a=MF+MF1= ( 2+1)2+64+ ( 2−1)2+64=4，
所以a=2，所以b2=a2−c2=3，所以C的方程为x24+y23=1．
(2)设l：x=ty+m，代入C整理可得：(4+3t2)y2+6mty+3m2−12=0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则y1+y2=−6mt3t2+4 ①，y1y2=3m2−123t2+4②，
由∠PBA+∠QBA=π，可得kBP+kBQ=0⇒y1x1−n+y2x2−n=0，
⇒y1(ty2+m−n)+y2(ty1+m−n)=0⇒2ty1y2+(m−n)(y1+y2)=0 ③，
由① ② ③可得：2t(3m2−12)3t2+4−6mt(m−n)3t2+4=0，
⇒t(−4+mn)=0恒成立，所以mn=4，为定值．

【解析】本题考查椭圆的定义、基本的运算能力．
(1)由椭圆的定义得到椭圆的方程；
(2)由∠PBA+∠QBA=π能够转换出kBP+kBQ=0⇒y1x1−n+y2x2−n=0，最后计算出
mn的值为定值．
21.【答案】解：(1)补全的 2×2 列联表如下：
所以 χ2=400×125×105−75×952200×200×220×180≈9.091>6.635 ，
所以有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关．
(2)由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在 [25,38) ， [51,64] 内的人数分别为1，2，
依题意， ξ 的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以 P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=C53C83+C51C21C83=2056 ，
P(ξ=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=2)=C52C21C83+C52C83+1C83=3156 ，
P(ξ=2)=P(X=0,Y=2)=C51C83=556 ，
所以 ξ 的分布列为：
所以 ξ 的数学期望为 Eξ=0×2056+1×3156+2×556=4156 ．
(3)记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件 A,B,C ，
晚餐选择低卡甜品为事件 D ，
则 PA=13,PB=13,PC=13 ， P(D|A)=15,P(D|B)=25,P(D|C)=23 ，
所以 P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=13×15+13×25+13×23=1945 ，
所以小李晚餐选择低卡甜品的概率为 1945 ．

【解析】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望和全概率公式，是中档题．
(1)根据给定数表完善 2×2 列联表，再计算 χ2 的观测值并与临界值表比对作答．
(2)利用分层抽样求出8人中这两个年龄段的人数，求出 ξ 的可能值及各个值及各个对应的概率，列出分布列并求出期望作答；
(3)利用全概率公式即可得解．
22.【答案】解：(1) 函数f(x)=x−alnx，定义域为0,+∞ ，f′x=1−ax ，
①当a < 0 时， f′x=1−ax> 0 ，所以函数fx单调递增，
又fe1a=e1a−alne1a=e1a−1<0，f (1) = 1 > 0 ，所以函数fx 有唯一零点．
②当a = 0 时， f (x) = x > 0 恒成立，所以函数fx无零点，
③当0 < a < e 时，令f′x=1−ax=x−ax=0，得x = a ，
当0 < x < a 时， f ′(x) < 0 ，函数fx单调递减；当a < x < e 时， f ′(x) > 0 ，函数fx单调递增．则fxmin=fa=a−alna=a1−lna>0，所以函数fx无零点．
综上所述， 当0≤ a < e 时，函数fx无零点；
当a < 0 时，函数fx 有一个零点．
(2)当x∈1,+∞时，fx⩾axalnx−xex 恒成立，即xex+x⩾axalnx+alnx对x∈ (1,+∞) 恒成立，即xex+x⩾alnxealnx+alnx 对x∈ (1,+∞) 恒成立，
设函数gx=xex+x，x∈1,+∞，则 g(x) ≥ g(a ln x) 对x∈ (1,+∞) 恒成立，
则g′x=x+1ex+1>0，则gx在(1,+∞) 上单调递增，
又gx⩾galnx，所以x⩾alnx 在x∈1,+∞恒成立，即a⩽xlnx在x∈1,+∞恒成立，
令ℎx=xlnx ，x∈1,+∞，则ℎ′x=lnx−1lnx2=0，得x = e ，
当x∈1,e时，ℎ′x<0 ，函数ℎx 单调递减；当x∈e,+∞时， ℎ′x>0，函数ℎx单调递增，所以ℎxmin=ℎe=e，故a⩽e．
故a 的取值范围是−∞,e.
【解析】本题主要考查函数、导数单调性、零点问题，以及不等式恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化的思想、分类与讨论的思想，属于难题。
(1)根据已知条件求出导数f′x=1−ax，利用函数的单调性结合a(2)由题意转化成xex+x⩾alnxealnx+alnx 对x∈ (1,+∞) 恒成立，设函数gx=xex+x，x∈1,+∞，利用导数得出函数的单调性得到a⩽xlnx在x∈1,+∞恒成立，令ℎx=xlnx ，x∈1,+∞，进而利用导数得出函数的单调性即可得出答案．使用频率
[12,25)
[25,38)
[38,51)
[51,64]
偶尔1次
30
15
5
10
每周1∼3次
40
40
30
50
每周4∼6次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青少年
中老年
合计
食用轻食频率低
125
95
220
食用轻食频率高
75
105
180
合计
200
200
400
ξ
0
1
2
P
2056
3156
556