2022届高三二轮练习卷 数学（十七）直线与圆锥曲线 答案版

这是一份2022届高三二轮练习卷 数学（十七）直线与圆锥曲线 答案版，共24页。试卷主要包含了直线与圆锥曲线的位置关系等内容，欢迎下载使用。


1．直线与圆锥曲线的位置关系
1．若直线与曲线交于不同的两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为表示双曲线的右支，
由消去得，整理得，
设直线与曲线的两交点为，，
其中，，
则，解得，
又，解得，
综上：，故选D．
2．设双曲线与直线相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
所以，，
，
故选B．
3．（多选）已知双曲线，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列判断正确的为（ ）
A．的最小值为
B．以F为焦点的抛物线的标准方程为
C．满足的直线有3条
D．若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率
【答案】BD
【解析】选项A．当直线l的斜率为0时，A，B两点分别为双曲线的顶点，则
又，故选项A不正确；
选项B．，则以F为焦点的抛物线的标准方程为，故选项B正确；
选项C．当A，B两点同在双曲线的右支时（通经为最短弦），则，此时无满足条件的直线；
当A，B两点分别在双曲线一支上时（实轴为最短弦），则，此时无满足条件的直线，
故选项C不正确；
选项D．过右焦点F分别作两渐近线的平行线，如图，
将绕焦点沿逆时针方向旋转到与重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点，
此时直线l的斜率或，故选项D正确，
故选BD．
4．已知在平面直角坐标系中，直线既是抛物线的切线，又是圆的切线，则_______．
【答案】
【解析】联立与，可得，
因为直线与抛物线相切，故，即，
因为直线与圆相切，
故可得圆心到直线的距离，则，解得（舍）或，
故答案为．
5．已知斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点A，B，M为y轴上一点且满足|MA|=|MB|，则点M的纵坐标的取值范围是___________．
【答案】
【解析】设直线的方程为，
由消去并化简得，
设，，，
，解得．
，．
由于，所以是垂直平分线与轴的交点，
垂直平分线的方程为，令，得，
由于，所以，
也即的纵坐标的取值范围是，故答案为．
6．若线段与椭圆没有交点，则实数的取值范围是__________．
【答案】或
【解析】线段与椭圆没有交点，
线段在椭圆的内部或外部，
线段在椭圆的内部时，，；
线段在椭圆的外部时，线段包含了所在直线在第一象限的部分，而椭圆的中心是原点，因此线段所在直线与椭圆无公共点，
代入可得，
，
，，
综上所述，或，故答案为或．
7．已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）椭圆长轴端点在轴上，可设椭圆方程为，
由题意可得，解得，
椭圆的方程为．
（2）由，得，
曲线与直线只有一个公共点，，即，
设，则，
，；
由，得，即，
，，，
，即，
以为直径的圆恒过定点．
8．已知中心为坐标原点，关于坐标轴对称的椭圆经过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）椭圆的方程为；（2）直线的方程为或．
【解析】（1）设椭圆的方程为，
，在椭圆上，，，
椭圆的方程为．
（2）由（1）可知：椭圆的左焦点，设直线的方程为，
由，联立得，
直线交椭圆于两点，，
设，，，
又，，，
，
，，，，
直线的方程为，即或．
2．与圆锥曲线有关的弦长面积问题
1．已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线C于点M，若，则渐近线的方程为___________．
【答案】
【解析】令双曲线的半焦距为c，则，
由双曲线对称性知，不妨令直线的方程为，
则过点且与平行的直线的方程为，
由消去y并整理得，
解得点M的横坐标为，
于是得，，
由双曲线定义知，因此有，即，
所以渐近线的方程为，故答案为．
2．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则的面积为______．
【答案】
【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
由，设，则，，所以，
即点的坐标为，
则的面积为．
故答案为．
3．设抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过弦AB的中点M作E的准线的垂线，与抛物线E交于点P，若，则______．
【答案】14
【解析】抛物线方程为，，
抛物线焦点为，准线为，
设，，由知，直线的斜率存在且不为0，如图，
设直线方程为，
代入抛物线方程消去，得，
，
过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，
设点的坐标为，可得，
，，
，得，
，得，
，，解得，
，，
故答案为14．
4．抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，P为准线上一点，线段PF与抛物线交于M点，若是斜边长为的等腰直角三角形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵是斜边长为的等腰直角三角形，
∴，过M作MN垂直准线于N点，则，
∴，即，∴，
故选D．
5．倾斜角为135°的直线与抛物线相切，分别与轴、轴交于、两点，过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【解析】由题可设直线的方程，
由，得，
∴，解得，
∴，
令，得；令，得，即，
∴过，两点的最小圆即以，为直径的圆，其圆心为，半径为，方程为，
又抛物线的准线为，
∴过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为，
故选B．
6．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且．若（其中），则t的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】抛物线的焦点，
依题意，直线AB不垂直于坐标轴，设直线，
由消去y并整理得，
而，设，则有，
又，即，
因，且，即，则有，解得，
又，于是得，，
所以t的值为3，故选D．
7．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，由题意知，直线的斜率为，
则直线的方程为，
∴，化简整理得，
即，∴或（舍去），
即，∴，，
设的内切圆的圆心为Q，半径为r，连接，，，
则由，得，
∴，得，（利用等面积法求内切圆的半径）
故的内切圆的面积为，故选B．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设双曲线的左焦点、右焦点，
设双曲线的一条渐近线方程为，
可得直线的方程为，
由，可得，即，
设，，
可得，
即，整理可得，
即，
由双曲线的定义可得，所以，
设直线的倾斜角为，
在中，，，，
所以，
所以，
所以，
整理可得，解得或（舍），
所以双曲线的离心率为，故选B．
9．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离是4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的上顶点的直线与该椭圆交于另一点，当弦的长度最大时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）因为椭圆的右焦点到直线的距离是4，
∴，∴，
又因为离心率，所以，，
∴椭圆方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时：设直线的方程为，
联立，得，
∴，，∴，
令，
∴，
∴时，，取得最大值，
即时，最大为18，即最大为，
∴直线的方程为或．
10．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，过，作的垂线分别与轴交于，，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）解：双曲线方程化为标准方程是，其焦点坐标为，，
因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，
所以，，，
故抛物线的方程为．
（2）设直线，代入抛物线方程得，
设点，，则，，
直线，所以点，同理可得，
所以四边形的面积
，
由抛物线的对称性，只需考虑的情形，
则，
所以，
令，得，
当时，；当时，，
所以当时，四边形的面积最小，最小值为．
11．已知动圆过定点，且截轴所得弦长为，设圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若为曲线上的两个动点，且线段的中点到轴距离，求的最大值，并求此时直线方程．
【答案】（1）；（2）12，．
【解析】（1）解：设动圆圆心，则，
化简整理得，
故曲线的轨迹方程为．
（2）解：设直线方程为，，
由消去得，
所以，，
，，
，
，，
，
当且仅当，即（满足）时，|AB|取得最大值12，
此时，，
直线AB方程为．
12．已知椭圆的焦距为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求（O为坐标原点）面积的最大值．
【答案】（1）；（2）4．
【解析】（1）由题意知，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）因为点M的坐标为，所以直线OM的方程为．
设，，AB的中点，则．
因为A，B两点都在椭圆C上，所以，
两式相减可得，
则．
所以可设直线l的方程为，联立，
整理得，
则，解得，
，，
所以．
原点O到直线l的距离，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为4．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且与轴垂直．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与交于、两点，点，且的面积是面积的2倍，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）解：因为与轴垂直，所以，，且，
则，即，
所以，
故的方程为．
（2）解：由题意，得，当与轴重合时，，，
从而面积是面积的3倍，此时不适合题意；
当与轴不重合时，设直线的方程为，，，
联立，得，
由题意，得，
且，，
由的面积是面积的2倍，得，所以，
所以，，
即，解得，
所以直线的方程为．
14．已知椭圆的焦距为4，点在G上．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过椭圆G右焦点F的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，，
因为点在G上，所以，
所以，，
所以椭圆G的方程是．
（2）解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，
将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，
则，．
因为，所以，则，即，
由，得，．
所以，解得，即，
所以直线l的方程为．