2022届高三二轮练习卷 数学（四）数列 学生版

这是一份2022届高三二轮练习卷 数学（四）数列 学生版，共24页。试卷主要包含了与数列有关的基本量的计算，已知数列满足，，已知数列{an}满足，且等内容，欢迎下载使用。

1．与数列有关的基本量的计算
1．等差数列的公差为d，前n项和为，若，，
则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知等差数列，公差为，且、、成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列的各项均为正数，记为数列的前n项和，，，则（ ）
A．13B．14C．15D．16
4．某文具店开业期间，用100根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品，其中最下面一层铅笔数为16根，从最下面一层开始，每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多1根，则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35B．42C．49D．56
2．与数列有关性质的应用
1．已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，
则等于（ ）
A．27B．25C．20D．10
2．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
3．设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．30B．25C．45D．35
4．记为等比数列的前n项和，若，则___________．
5．若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．2D．
6．设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，
则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
7．设等比数列满足，，则使最大值的为（ ）
A．4B．5C．4或5D．6
8．已知等差数列满足，数列满足，记数列的前n项和为，则使达到最大值的n值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．数列综合
1．若数列满足：，则数列的前99项和为______．
2．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足，
则an＝________．
3．已知数列，满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：，．已知函数，则（ ）
A．4097B．4107C．5119D．5129
5．已知数列，为的前项和，其中，则（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
6．“斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足：，，（，），若，则其前2022项和为（ ）
A．GB．C．D．
7．（多选）已知数列满足：，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．数列的前10项和为定值D．数列的前20项和为定值
8．定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”．已知数列是首项和公差均为1的等差数列．设m为正整数，若存在“数列”，对任意的正整数k，当时，都有成立，则m的最大值为________．
9．已知数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
10．已知数列{an}满足，且．
（1）请你在①，②中选择一个证明：
①若，则{bn}是等比数列；
②若，则{bn}是等差数列．
注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．
（2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．
11．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围．
12．记数列的前n项和为，满足，且．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设数列满足，求的前n项和．
13．已知数列满足．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和．
14．已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．
答案与解析
1．与数列有关的基本量的计算
1．【答案】A
【解析】由，得，
又，即，解得，
故选A．
2．【答案】D
【解析】因为、、成等比数列，则，即，解得，
所以，，故选D．
3．【答案】C
【解析】，，
整理得，
∵数列的各项均为正数，∴，
∴数列为等比数列，公比为2，首项为1，
则，故选C．
4．【答案】B
【解析】记最下面一层铅笔数为，一共放层，从下到上各层的铅笔数构成公差为的等差数列，
则，整理得，解得或．
当时，；
当时，，不合题意，舍去，
故最上面一层堆放的铅笔数为9，故选B．
5．【答案】B
【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，
又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，
故选B．
2．与数列有关性质的应用
1．【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d，因为，
所以，解得，
则，故选A．
2．【答案】B
【解析】因为､是方程的两根，所以，，
所以，，
又为等比数列，则，
所以，所以或（舍去），
所以，故选B．
3．【答案】C
【解析】等差数列的前项和为，，，
则有，解得，
，故选C．
4．【答案】
【解析】由等比数列的前n项和性质可知，构成等比数列，
即或（舍），
故答案为．
5．【答案】C
【解析】∵数列的前项积，
当时，，
当时，，，
时也适合上式，
∴，
∴当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且，
故的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值之和为2，故选C．
6．【答案】D
【解析】由，得，
因为是等差数列，所以，，，
，，，
所以，，，
使得的正整数n的最小值为，故选D．
7．【答案】C
【解析】因为为等比数列，，，
所以，
，
所以，，
当n= 4或5时，取得最大值10，
故的最大值为，故选C．
8．【答案】C
【解析】等差数列满足，
即 ，解得，故，
则等差数列是递减数列，且，
故，
所以，，
，
而，故，
故使达到最大值的n值为7，故选C．
3．数列综合
1．【答案】3
【解析】因为，
所以，
故答案为3．
2．【答案】n
【解析】，①，当n≥2时，，②
①－②，整理得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0．
由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，
又由①知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n，
故答案为．
3．【答案】D
【解析】因为，①
所以，②
①－②得，，所以，
而，适合上式，所以，，
，
∴
，
故选D．
4．【答案】B
【解析】由题意时，，，在上奇数共有个，
，，
，
设，则，
相减得，
所以，
所以，故选B．
5．【答案】B
【解析】由题意，
设为奇数，则是偶数，是奇数，
则，①
，②
①+②得，
所以的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，
同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，
所以
，
故选B．
6．【答案】D
【解析】由，可得
…①
…②
①+②得，
化简得，故选D．
7．【答案】AD
【解析】取，得，故，选项A正确；
取，得，
又，两式相减得，选项B不正确；
由题知①，②，③，
②-①得，②+③得，
∴为定值，题中条件只限制，
所以的值不确定，故前10项和无法确定；所以选项C不正确；
前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，
同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值． 所以选项D正确，
故选AD．
8．【答案】5
【解析】由题意知，，，，
恒成立，
当 时，，
当 时，，，
当 时，两边取对数可得对有解，
即，
令，则，
当时，，此时，单调递减，
所以，当时，，
令，则，
令，则，
当 时，，即，
所以，在上单调递减，
即当时，，则，
化简，得，
令，则，
由，得，则，
所以，在上单调递减，
又因为，
，
所以，存在，使得，
所以整数m的最大值为5，此时，，
故答案为5．
9．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：由，得，
又，所以，故，
故是以为首项，以为公比的等比数列．
（2）由（1）得，得，
所以，设的前n项和为，
则，①
，②
由①-②，得
，
则，
故．
10．【答案】（1）见解析；（2），．
【解析】（1）选择①，由，可得，
∴，
又，
∴数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列．
选择②，∵，，
∴，
又，∴数列{bn}是等差数列．
（2）由上可知，即，
∴
，
∴
．
11．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等差数列公差为，
由题意，，解得，
所以．
（2）由（1），
所以，
易知是递增的且，
不等式对任意的都成立，则，所以．
12．【答案】（1）证明见解析；（2）前n项和为．
【解析】（1）证明：因为，①
所以当时，，得或7，
又，则．
当时，，②
①-②得，，
，
由，得，
故，即为等差数列．
（2）由（1）知，为等差数列且公差为4，所以，
所以数列的前n项和
，
故的前n项和为．
13．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，可知，即，
由可知，，
所以是以12为首项，4为公比的等比数列，
所以的通项公式为．
（2）由（1）知，，
所以
，
又符合上式，所以，
所以，
所以的前20项和．
14．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，d≠0，
由条件得，解之得，
所以数列的通项公式为．
（2）设，
则，
当，时， ，所以，
当，时，，所以，
所以，
所以．