2023-2024学年天津市滨海新区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市滨海新区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组中的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，5cmB. 3cm，3cm，3cm
C. 2cm，2cm，4cmD. 3cm，4cm，9cm
3.下列运算中正确的是( )
A. x2·x5=x10B. (−x2)4=−x8C. (−xy2)2=xy4D. x5÷x3=x2
4.把多项式5a2b−10ab2分解因式时，应提取的公因式是( )
A. abB. 5abC. 5a2bD. a2b
5.一个正多边形的内角和是720°，这个多边形是( )
A. 正方形B. 正五边形C. 正六边形D. 正八边形
6.计算(35)2023×(−53)2024的结果等于( )
A. 53B. 35C. −35D. −53
7.2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步.已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为( )
A. 2.8×10−10B. 2.8×10−8C. 2.8×10−6D. 2.8×10−9
8.如图，∠BAC=∠DAC，若添加一个条件仍不能判断出△ABC≌△ADC的是( )
A. AB=AD
B. BC=DC
C. ∠B=∠D
D. ∠ACB=∠ACD
9.计算1a−1−aa−1的结果为( )
A. 1+aa−1B. −aa−1C. −1D. 2
10.下列分式变形正确的是( )
A. 1−y−x=y+1xB. x−yy−x=1
C. m−1n−1=mnD. x2−2xx2−4x+4=xx−2
11.若x2−kx+9是一个完全平方式，则k等于( )
A. 6B. ±12C. −12D. ±6
12.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°.FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC.①BD=CE；②∠AHC=60°；③FC=CG；④S△CBD=S△CGH；其中说法正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算：2a2⋅(−3a)= ______ ．
14.如图，∠1是△ABC的一个外角，若∠1=85°，∠C=30°，则∠B的度数为______ ．
15.若分式x2−1x+1的值为0，则x= ．
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N.再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB内部交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若点D到AB的距离为2，则CD= ______ ．
17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=15cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD.若CD：BD=1：2，则CD的长为______ ．
18.如图，∠FAB内部有一定点D，AD=2，若点C，E分别是射线AF，AB上异于点A的动点. (Ⅰ)在射线AF，AB上______ (填“是”或“否”)存在点C，E，使△CDE的周长有最小值；
(Ⅱ)当△CDE周长的最小值是2时，则∠FAB的度数是______ °.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
(Ⅰ)计算：(12a3−6a2+2a)+2a；
(Ⅱ)计算：(x+2y)2+(x+2y)(x−2y)；
(Ⅲ)因式分解：4x3−8x2+4x．
20.(本小题8分)
(Ⅰ)计算：2xx2−1−1x−1；
(Ⅱ)解分式方程：xx−3−5x+3=1．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．
(1)在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)直接写出A1、B1、C1的坐标；
(3)若网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．
22.(本小题8分)
已知：如图，AB/​/CD，AB=CD，BE=CF．
求证：△ABF≌△DCE．
23.(本小题10分)
某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．设该公司购买的A型芯片的单价为x元．
(1)根据题意，用含x的式子填写下表：
(2)根据题意列出方程，求该公司购买的A、B型芯片的单价各为多少元？
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，∠A=90°，延长BC到点E，使CE=CD，过点D作DH⊥BE，垂足为H．
(1)求证：AD=CH；
(2)判断DH是否垂直平分线段BE？并说明理由；
(3)若P为线段BD(不与B，D重合)上任意一点，连接HP，当△DHP是以DH为腰的等腰三角形时，直接写出∠DHP的度数．
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4,4)，AB⊥y轴于点B，点C在线段OB上运动(点C不与点O，B重合)．

(Ⅰ)如图①，当CD⊥AC，且CD=AC，点C的坐标为(0,3)时．
①求证：∠BAC=∠OCD；
②求点D的坐标；
(Ⅱ)如图②，当C是OB的中点时，过点B作BF⊥AC于点E，BF与OA交于点F．
求证：∠AFB=∠OFC．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：观察四个选项可知，除选项A外，选项B，C，D中的图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，
因此选项A不是轴对称图形，选项B，C，D是轴对称图形．
故选：A．
根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、1+2<5，长是1cm、2cm、5cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、3+3>3，长是3cm、3cm、3cm的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、2+2=4，长是2cm、2cm、4cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+4<9，长是3cm、4cm、9cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断
本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，解答的关键是对相关运算法则的掌握．
利用同底数幂的乘除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】
解：A、x2·x5=x7，故A不符合题意；
B、(−x2)4=x8，故B不符合题意；
C、(−xy2)2=x2y4，故C不符合题意；
D、x5÷x3=x2，故D符合题意；
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：5a2b−10ab2=5ab(a−2b)，
则把多项式5a2b−10ab2分解因式时，应提取的公因式是5ab，
故选：B．
将原式因式分解后即可求得答案．
本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设多边形的边数为n，
依题意得(n−2)⋅180°=720°，
∴n=6．
所以是正六边形．
故选：C．
由于多边形的内角和公式为(n−2)⋅180°，而已知正多边形的内角和是720°，由此即可得到关于n的方程，解方程即可．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
6.【答案】A
【解析】解：(35)2023×(−53)2024
=(35)2023×(−53)2023×(−53)
=(−53×35)2023×(−53)
=(−1)2023×(−53)
=−1×(−53)
=53．
故选：A．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7.【答案】B
【解析】解：0.000000028=2.8×10−8．
故选：B．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
8.【答案】B
【解析】解：A、∵在△ABC和△ADC中，AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC ，
∴△ABC≌△ADC(SAS)；
B、根据CB=CD，AC=AC，∠BAC=∠DAC，不能推出△BAC和△DAC全等，
C、∵在△ABC和△ADC中，∠BAC=∩DAC ∠B=∠D AC=AC ，
∴△ABC≌△ADC(AAS)；
D、∵在△ABC和△ADC中，∠ACB=∠ACD AC=AC ∠BAC=∠DAC ，
∴△ABC≌△ADC(AAS)；
故选：B．
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：1a−1−aa−1
=1−aa−1
=−(a−1)a−1
=−1
故选：C．
分母相同的分式，分母不变，分子相加减．
本题主要考查同分母的分式的运算规律：分母不变，分子相加减．
10.【答案】D
【解析】解：A、1−y−x=y−1x，故A不符合题意；
B、x−yy−x=−1，故B不符合题意；
C、m−1n−1不能化简了，故C不符合题意；
D、x2−2xx2−4x+4=x(x−2)(x−2)2=xx−2，故D符合题意；
故选：D．
根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查完全平方式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．由于x2−kx+9是一个完全平方式，则x2−kx+9=(x+3)2或x2−kx+9=(k−3)2，根据完全平方式即可得到k的值．
【解答】
解：∵x2−kx+9是一个完全平方式，
∴x2−kx+9=(x+3)2或x2−kx+9=(x−3)2，
∴k=±6．
故选D．
12.【答案】C
【解析】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACE=60°，BC=AC，
∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
∠B=∠ACEBC=AC∠BCD=∠CAE，
∴△BCD≌△CAE(ASA)，
∴BD=CE，故①正确；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：
∵∠EFC=∠AFD=60°
∴∠AFC=120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH=∠AFH=60°，
∴∠CFH=∠CFE=60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM=CN，
∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，
∴∠CEM=∠CGN，
在△ECM和△GCN中
∠CEM=∠CGN∠CME=∠CNG=90°CM=CN，
∴△ECM≌△GCN(AAS)，
∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，
∴∠MCN=∠ECG=60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE=CD，
∵HG=CD，
∴AE=HG，
∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，
在△AMC和△HNC中，
AM=HN∠AMC=∠HNC=90°CM=CN，
∴△AMC≌△HNC(SAS)，
∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，
∴∠ACM−∠ECM=∠HCN−∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC=60°，故②正确；
③由②知∠CFH=∠AFH=60°，若FC=CG，则∠CGF=60°，从而∠FCG=60°，这与∠ACB=60°矛盾，故③不正确；
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC−S△ECM=S△HNC−S△GCN，即S△ACE=S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD=S△ACE=S△CGH，故④正确，
∴正确的有：①②④，
故选：C．
①由∠AFD=60°可证明△CAE≌△BCD，从而可判断①正确；②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，可证明△ECM≌△GCN(AAS)得CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，即可证明△AMC≌△HNC(SAS)，有∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而得△ACH是等边三角形，故②正确；③由∠CFH=∠AFH=60°，若FC=CG，可得∠FCG=60°，即可判定③不正确；④根据△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，△CAE≌△BCD，可判定④正确．
本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
13.【答案】−6a3
【解析】解：原式=−6a3．
故答案为：−6a3．
先把系数相乘，然后利用同底数幂的乘法计算．
本题考查了单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
14.【答案】55°
【解析】解：∵∠1是△ABC的一个外角，
∴∠1=∠B+∠C，即85°=∠B+30°，
∴∠B=85°−30°=55°．
故答案为：55°．
由∠1是△ABC的一个外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠B的度数．
本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．分式的值为0的条件是：①分子为0；②分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】
解：由分式x2−1x+1的值为0，得
x2−1=0且x+1≠0，
解得x=±1且x≠−1，
∴x=1．
故答案为：1．
16.【答案】2
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵点D到AB的距离为2，
∴DE=2，
由作图可知，AD为∠BAC的平分线，
∵∠C=90°，
∴CD=DE=2．
故答案为：2．
过点D作DE⊥AB于点E，则DE=2，由作图可知，AD为∠BAC的平分线，结合角平分线的性质可得CD=DE=2．
本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质、点到直线的距离是解答本题的关键．
17.【答案】5cm
【解析】解：∵∠C=90°，CD：BD=1：2，MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴CD：AD=1：2，
∵AC=15cm，
∴CD=13AC=5cm，
故答案为：5cm．
根据MN是AB的垂直平分线，可得AD=BD，进而得到CD：AD=1：2即可求解．
本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题关键．
18.【答案】是 30
【解析】解：(Ⅰ)在射线AF，AB上是存在点C，E，使△CDE的周长有最小值；
作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C、E，连接DC，DE，
此时△CDE周长最小为DC+DE+CE=GH．
故答案为：是；
(Ⅱ)如图，∵△CDE周长最小为DC+DE+CE=GH=2，
根据轴对称的性质，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，
∴AG=AH=GH=2，
∴△AGH是等边三角形，
∴∠GAH=60°，
∴∠FAB=12∠GAH=30°，
故答案为：30．
(Ⅰ)作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，利用轴对称的性质得OG=OD=OH，利用两点之间线段最短判断此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得△AGH是等边三角形，进而可得∠FAB的度数．
本题考查了轴对称−最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
19.【答案】解：(Ⅰ)原式=12a3−6a2+2a+2a
=12a3−6a2+4a；
(Ⅱ)原式=x2+4xy+4y2+x2−4y2
=2x2+4xy；
(Ⅲ)原式=4x(x2−2x+1)
=4x(x−1)2．
【解析】(Ⅰ)利用去括号，合并同类项进行计算即可；
(Ⅱ)利用完全平方公式、平方差公式进行计算即可；
(Ⅲ)先提公因式4x，再利用完全平方公式进行计算即可．
本题考查利用完全平方公式、平方差公式以及提公因式法分解因式、整式的运算，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
20.【答案】解：(1)原式=2x(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)
=2x−x−1(x+1)(x−1)
=x−1(x+1)(x−1)
=1x+1；
(2)原方程去分母得：x(x+3)−5(x−3)=(x+3)(x−3)，
去括号得：x2+3x−5x+15=x2−9，
移项，合并同类项得：−2x=−24，
系数化为1得：x=12，
检验：将x=12代入(x+3)(x−3)得(12+3)×(12−3)≠0，
故原方程的解为x=12．
【解析】(1)利用分式的加减法则计算即可；
(2)利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查分式的加减及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)A1(3,4)，B1(5,2)，C1(2,0)；
(3)△A1B1C1的面积=3×4−12×1×4−12×2×2−12×2×3=5，

【解析】(1)利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(2)根据A1，B1，C1的位置写出坐标即可．
(3)避实就虚面积可知矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
22.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE−EF=CF−EF，
即BF=CE，
∵AB/​/CD，
∴∠B=∠C，
在△ABF和△DCE中，
AB=DC∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE(SAS)．
【解析】根据BE=CF求出BF=CE，根据平行线的性质得出∠B=∠C，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
23.【答案】3120x x+9 4200x+9
【解析】解：(1)由题意得：A型芯片的条数为3120x条，B型芯片单价为(x+9)元，则B型芯片的条数为4200x+9条；
故答案为：3120x；x+9，4200x+9；
(2)由题意得：3120x=4200x+9，
解得：x=26，
经检验，x=26是原方程的解，且符合题意，
∴x+9=35．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
(1)B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x−9)元/条，由数量=总费用÷单价即可得出结果；
(2)根据用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
24.【答案】(1)证明：∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵DH⊥BE，
∴∠CDH=90°−∠ACB=45°，
∴∠CDH=∠ACB，
∴DH=CH，
∵BD是角平分线，∠A=90°，DH⊥BE，
∴AD=DH，
∴AD=CH．
(2)解：DH垂直平分线段BE；理由如下：
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE+∠CED=∠ACB，
∴∠CED=12∠ACB=22．5°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC=22．5°，
∴∠CBD=∠CED，
∴BD=ED，
∵DH⊥BE，
∴BH=HE，
∴DH垂直平分线段BE；
(3)解：如图1，

当PH=HD，则∠DPH=∠HDP=90°−12∠ABC=67.5°，
∴∠DHP=180°−2∠HDP=45°；
如图2，

当PD=HD，则∠BDH=90°−12∠DBC=67.5°，
∴∠DPH=∠DHP=12(180°−∠BDH)=56.25°，
综上所述，∠DHP为45°或56.25°．
【解析】(1)根据题意得∠CDH=∠ACB，则DH=CH，根据角平分线的性质得AD=DH，即可证得；
(2)根据等腰三角形性质和角平分线性质得∠CBD=∠CED，得到BD=ED即可证明结论；
(3)当PH=HD，求得∠DPH=∠HDP，即可求得∠DHP；当PD=HD，先求出∠BDH，进而根据∠DPH=∠DHP求解．
本题属于三角形综合题，主要考查角平分线的性质和等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
25.【答案】(Ⅰ)①证明：∵CD⊥AC，AB⊥y，
∴∠ACD=∠ABC=90°，
∴∠BAC=90°−∠ACB=∠OCD；
②解：如图①，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴∠CED=∠ABC=90°，
∵CD=AC，∠BAC=∠OCD，
∴△BAC≌△ECD(AAS)，
∴AB=CE，BC=DE，
∵点A(4,4)，
∴AB=OB=CE=4，
∵点C的坐标为(0,3)，
∴OC=3，
∴BC=OB−OC=4−3=1，
∴DE=1，OE=CE−OC=4−3=1，
∴点D的坐标为(1,−1)；

(Ⅱ)证明：如图②，延长BF交x轴于点G，
∵BF⊥AC，AB⊥y，
∴∠CEB=∠ABC=90°，
∴∠BAC=90°−∠ACB=∠EBC，
∵AB=OB，
∴△BAC≌△OBG(ASA)，
∴BC=OG，
∵C是OB的中点，
∴BC=OC，
∴OG=OC，
∵点A(4,4)，
∴AB=OB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠BOA=45°，
∴∠GOF=45°，
∴∠GOF=∠COF=45°，
∵OF=OF，
∴△OGF≌△OCF(SAS)，
∴∠OFG=∠OFC，
∵∠OFG=∠AFB，
∴∠AFB=∠OFC．
【解析】(Ⅰ)①根据直角三角形两个锐角互余即可得∠BAC=∠OCD；
②过点D作DE⊥y轴于点E，证明△BAC≌△ECD(AAS)，得AB=CE，BC=DE，进而根据线段的和差即可求点D的坐标；
(Ⅱ)如图②，延长BF交x轴于点G，证明△BAC≌△OBG(ASA)，得BC=OG，然后证明△OGF≌△OCF(SAS)，得∠OFG=∠OFC，再根据对顶角相等可得∠AFB=∠OFC．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定，解决本题的关键是得到△OGF≌△OCF．单价(元)
数量(条)
总费用(元)
A型芯片
x
______
3120
B型芯片
______
______
4200