2023-2024学年辽宁省大连市沙河口区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市沙河口区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列亚运会的会徽中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是( )
A. 3cm，5cm，8cmB. 8cm，8cm，18cm
C. 1cm，1cm，1cmD. 3cm，4cm，8cm
3.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC三个内角度数分别是( )
A. 30°，60°，90°B. 45°，45°，90°
C. 20°，40°，60°D. 36°，72°，108°
4.点(−4,3)关于x轴对称的点坐标是( )
A. (−4,−3)B. (4,3)C. (4,−3)D. (3,−4)
5.计算2−3的结果是( )
A. 8B. 0.8C. −8D. 18
6.下列计算正确的是( )
A. x3⋅x−3=0B. x2⋅x3=x6C. (x2)3=x5D. x2÷x5=1x3
7.如图是一个钝角△ABC，利用一个直角三角板作边AC上的高，下列作法正确的是( )
A. B.
C. D.
8.在解一个分式方程时，老师设计了一个接力游戏，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，进行一步计算后将结果传递给下一个人，最后完成计算.下面是其中一个组的解答过程，老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果．
老师：3x−1=1−xx+1．
甲：3(x+1)=(x+1)(x−1)−x(x−1)．
乙：3x+3=x2+1−x2+x．
丙：3x−x=1−3．
丁：解得，x=−1．
在接力中，出现计算错误步骤的同学是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
9.如果二次三项式a2+mab+b2是一个完全平方式，那么m的值是( )
A. 1B. 2C. ±2D. ±1
10.在如图的3×3正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.纳米(nm)是一种非常小的单位长度，1nm=0.000000001m.把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，再如，人的1根头发有6万nm那么粗！纳米科技越来越受到科研界和产业界重视，研究显示，21世纪以来，全球960个最显著的科研方向中，89%与纳米科技有关，为抢占纳米科技领域的战略高地，世界各国都不惜重金发展纳米技术，我国中科院物理所研制出世界上最细的碳纳米管，它的直径仅仅为0.5nm，即0.0000000005m，数字0.0000000005用科学记数法表示为______ ．
12.分解因式：a2b−9b=______．
13.一天数学课堂上，小明忘记了带圆规，于是他尝试用直角三角板来画角平分线.如图，在∠O的两边上，分别取OA=OB，将两个直角三角板的直角顶点放在点A，B处作OA，OB的垂线，交点为P，一个三角板的斜边与另一个三角板直角边交于点Q，画射线______ 就得到∠AOB的平分线．
14.《九章算术》中记载了一道驿站送信问题，用现代文表示为，把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，可列方程为______ ．
15.如图的△ABC纸片，∠A=30°，点P是AC中点，点Q从点A出发沿AB向点B运动，到达点B时停止运动，若将△APQ沿PQ进行对折，点A的对应点记为点A′，设∠A′PC=α，∠A′QB=β，当α>β时，α与β之间的数量关系为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)(a+b)(a−4b)；
(2)4x−3yx2−y2−xx2−y2．
17.(本小题8分)
已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，AB//DE，BF=EC．
求证：△ABC≌△DEF．
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，画直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连结AE．
(1)由作图可知，直线MN是线段AB的______ ；
(2)当AC=3，BC=6时，求△ACE的周长；
(3)若∠CAE的度数是15°，求∠B的度数．
19.(本小题8分)
经工业和信息化部统筹组织协调，2023年5月17日，在合肥举行的世界电信和信息社会日大会上，中国电信、中国移动、中国联通、中国广电联合宣布在新疆正式启动全球首个5G异网漫游试商用，这意味着我国信息技术的发展正式全面进入到了5G时代，5G即第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G、3G和2G系统之后的延伸，“4G改变了生活，5G改变了社会”.为满足5G多样化的应用场景需求，5G的关键性能指标更加多元化，ITU(国际电信联盟)定义了5G八大关键性能指标，其中高速率、低时延、大连接成为5G最突出的特征．
要下载一个1400MB的文件夹，5G网络比4G网络快24秒，并且已知下载时4G网络峰值速率是50MB/秒，求5G下行网络峰值速率是4G下行网络峰值速率的几倍.(注：下载文件时的网速是下行网络峰值)
20.(本小题8分)
观察下列各式：
①12=24，则1+22=2+44；
②23=46，则2+33=4+66；
③35=915，则3+55=9+1515；
……
(1)你还能找到具有上述规律的式子吗，请再写出两个；
(2)根据以上各式呈现的规律，写出它们的一般形式，并加以证明．
21.(本小题9分)
【公式背景】
在数学学习中，图表有着重要的作用，它能将复杂或抽象的问题直观化，用图表的直观来描述、解释问题，用图表的解释来分析、解决问题，例如，平方差公式就可以利用图形来直观描述并解释.如图1，在边长a的正方形中剪去一个边长为b的正方形(a>b)，若用两种不同的方法来表示阴影部分的面积，就能得到公式(a+b)(a−b)=a2−b2．
【公式形成】
如图2，用4张形状、大小相同的长方形纸片拼成一个大正方形，已知长方形的长，宽分别为m，n(m>n)．
(1)观察图2，写出(m+n)2、(m−n)2和mn之间的数量关系并用整式的运算说明．
【公式应用】
(2)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC.以AC和BC为边分别做两个正方形，已知BD=5，△ABC的面积是2，求BC的长度．
22.(本小题12分)
【问题情境】
在数学活动课上，李老师给出如下的问题：
如图1，已知∠ABC=60°，BA=BC，过点B作射线l，点E在∠ABC的内部，点A和点E关于l对称，CE交l于点D，连接AD.证明：DA+DC=DB．
【探究合作】
同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程：
小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到∠ADB=∠EDB=60°；
小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题.如图2，在DB上截取DF=DA，再证明BF=CD；
小亮：要证明BF=CD，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法；如图3，连接AF，以△ABF为目标构造与之全等的三角形；
小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法.如图4，延长AD到点G，使DG=DC，连接CG，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明．

【推理证明】
(1)请你推理出小红的结论．
(2)根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明DA+DC=DB．
【反思提升】
李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在．
请同学们反思后解决下面的问题：
(3)如图，∠ABC=30°，BC=6，点D是∠ABC的角平分线上一动点，BD的垂直平分线交射线BA于E，求CD+12BE的最小值．
23.(本小题12分)
点P(a,b)是平面直角坐标系xOy内一点，点P的轴变换定义为：当|a|>|b|时，作点P关于x轴对称：当|a|≤|b|时，作点P关于y轴对称．
根据定义，解决问题：
如图，平面直角坐标系中，点A坐标为(2,1)，点B的坐标为(−1,m)，其中m<−1，点A，B轴变换后的对应点是点A′，B′．
(1)分别求A′，B′的坐标；
(2)若A′B=AB′，求m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项C的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵3+5=8，
∴长度为3cm，5cm，8cm的三条线段不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵8+8<18，
∴长度为8cm，8cm，18cm的三条线段不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵1+1>1，
∴长度为1cm，1cm，1cm的三条线段能组成三角形，故本选项符合题意；
D、∵3+4<8，
∴长度为3cm，4cm，8cm的三条线段不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据三角形的三边关系判断即可．
本题考查的是三角形三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，
则k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
所以∠C=90°，∠B=60°，∠A=30°．
故选：A．
根据比例设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和定理列式进行计算求出k值即可．
本题考查的是三角形内角和定理，利用“设k法”求解更加简便，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：点(−4,3)关于x轴对称的点坐标是：(−4,−3)．
故选：A．
利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y)．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：2−3=123=18．
故选：D．
直接利用负整数指数幂的性质分别计算得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A选项中，x3⋅x−3=x0=1，故A选项不符合题意；
B选项中，x2⋅x3=x5，故B选项不符合题意；
C选项中，(x2)3=x6，故C选项不符合题意；
D选项中，x2÷x5=x−3=1x3，故D选项符合题意，
故选：D．
根据整式中乘方的运算法则来解答．
本题考查了整式的混合运算，关键根据运算法则来进行计算．
7.【答案】A
【解析】解：如图选项A中，线段BD是△ABC的高．
故选：A．
根据三角形的高的定义判断即可．
本题考查作图−复杂作图，三角形的角平分线中线，高等知识，解题的关键是掌握三角形的高的定义．
8.【答案】B
【解析】解：出现错误的是乙同学，应为3x+3=x2−x−x2+x．
故选：B．
根据等式的性质，去括号法则，平方差公式，整式的乘法逐个判断即可．
本题考查了解分式方程，等式的性质，单项式乘多项式，平方差公式，合并同类项法则等知识点，能正确根据等式的性质、单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项法则进行计算是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵(a±b)2=a2±2ab+b2，
∴m=±2．
故选：C．
根据完全平方公式即可求出m的值，
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
10.【答案】B
【解析】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故选：B．
分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
11.【答案】5×10−10
【解析】解：0.0000000005=5×10−10，
故答案为：5×10−10．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
12.【答案】b(a+3)(a−3)
【解析】解：a2b−9b
=b(a2−9)
=b(a+3)(a−3)．
故答案为：b(a+3)(a−3)．
首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
13.【答案】OP
【解析】解：如图，作射线OP，
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
OA=OBOP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，
∴∠AOP=∠BOP，
∴射线OP平分∠AOB．
故答案为：OP．
证明Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，推出∠AOP=∠BOP，
本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
14.【答案】2×900x+1=900x−3
【解析】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为(x−3)天，慢马所需的时间为(x+1)天，
由题意得：2×900x+1=900x−3，
故答案为：2×900x+1=900x−3．
首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为(x−3)天，慢马所需的时间为(x+1)天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
15.【答案】α+β=60°
【解析】解：∵∠A=30°，
∴∠AQP+∠APQ=180°−30°=150°，
∵△APQ沿PQ进行对折，点A的对应点记为点A′，
∴∠AQP=∠A′QP，∠APQ=∠A′PQ，
∵2∠AQP=180°−∠BQA′，2∠APQ=180°−∠CPA′，
∴2(∠AQP+∠APQ)=360°−(∠BQA′+∠CPA′)，
∵∠A′PC=α，∠A′QB=β，
∴α+β=60°，
故答案为：α+β=60°．
先求出∠AQP+∠APQ，又因为2∠AQP=180°−∠BQA′，2∠APQ=180°−∠CPA′，∠A′PC=α，∠A′QB=β，可得α与β之间的数量关系．
本题考查了折叠问题，关键是计算正确．
16.【答案】解：(1)原式=a2−4ab+ab−4b2
=a2−3ab−4b2；
(2)原式=4x−3y−xx2−y2
=3x−3yx2−y2
=3(x−y)(x+y)(x−y)
=3x+y．
【解析】(1)利用多项式乘多项式的法则计算即可；
(2)利用分式的加减法则计算即可．
本题考查多项式乘多项式及分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】证明：∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
∵AB//DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
【解析】根据BF=EC，可以得到BC=EF，再根据AB//DE，可以得到∠B=∠E，然后根据SAS，即可证明△ABC≌△DEF．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】垂直平分线
【解析】解：(1)由作图可知：直线MN是线段AB的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；
(3)解：由(2)可知：△ACE 的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC，
在 Rt△ABC 中，∵∠C=90°，AC=3，BC=6，
∴△ACE 的周长=AC+BC=3+6=9；
(3)∵∠C=90°，∠CAE=15°，
∴∠CEA=90°−15°=75°，
∵EA=EB，
∴∠B=∠EAB，
∵∠CEA=∠B+∠EAB，
∴∠B=12∠CEA=37.5°．
(1)利用作已知线段的垂直平分线的方法进行判断；
(2)先根据勾股定理计算出BC，然后利用等线段代换得到△ACE 的周长=AC+BC，从而得到△ACE的周长；
(3)利用三角形的外角的性质求解即可．
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
19.【答案】解：设5G下行网络峰值速率是4G下行网络峰值速率的m倍，
由题意可得：140050−140050m=24，
解得m=7，
经检验：m=7是原分式方程的解，
答：5G下行网络峰值速率是4G下行网络峰值速率的7倍．
【解析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程140050−140050m=24，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
20.【答案】解：(1)根据所给的三个式子的规律可写出两个具有上述规律的式子如下(等式不唯一，只要合理即可)：
37=614，则3+77=6+1414；
511=1533，则5+1111=15+3333；
(2)用字母代替分子，分母写出它们的一般形式：nm=knkm，则n+mm=kn+kmkm，
证明：∵nm=knkm，
∴nm+1=knkm+1，
∴nm+mm=knkm+kmkm，
∴n+mm=kn+kmkm．
【解析】(1)根据所给的三个式子的规律写出两个式子即可；
(2)根据各式呈现的规律，用字母代替数字写出它们的一般形式，并加以证明即可．
本题考查数字变化类规律探究，发现已知等式左右两边的规律，以及结论的等式的运算方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)阴影面积=边长为(m+n)的正方形面积减去中间边长为(m−n)的正方形面积．
阴影面积=四个长为m，宽为n的长方形面积之和．
(m+n)2、(m−n)2和mn之间的数量关系为：(m+n)2−(m−n)2=4mn．
左边=(m+n)2−(m−n)2
=(m+n+m−n)(m+n−m+n)
=4mn．
左边=右边．
等式成立．
(2)Rt△ABC中，∠C=90°，
S△ABC=12AC×BC=2．
∴AC×BC=4．
∵BD=5，
∴AC+BC=5，
(BC−AC)2=(BC+AC)2−4BC×AC
=25−19
=9．
∴BC−AC=3，
可得方程组BC−AC=3BC+AC=5，
解得BC=4AC=1．
BC的长度为4．
【解析】(1)大正方形的面积减去中间白色正方形的面积等于四个长方形面积之和，可得(m+n)2、(m−n)2和mn之间的数量关系，(m+n)2−(m−n)2=4mn，再变形等式的左边，得到左边等于右边，说明等式成立．
(2)BD=5，BC+CD=5，△ABC的面积是2，可得BC×AD=4，又因为BC+AD=5，利用(1)的结论，可得BC−AD=3，进一步求出BC=4，AD=1．
本题考查了数形结合，因式分解，得到新公式，关键是新公式的运用，求BC的长．
22.【答案】(1)证明：由对称得BA=BE，∠ADB=∠EDB，∠ABD=∠EBD，
∵BA=BC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=12(180°−∠CBE)，
设∠ABD=∠EBD=α，
∴∠CBE=60°−2α，
∴∠BEC=∠BCE=12(180°−∠CBE)=60°+α，
∵∠BEC=∠EBD+∠EDB=α+∠EDB=60°+α，
∴∠ADB=∠EDB=60°；
(2)证明：如图3，在DB上截取DF=DA，连接AF，AC，

∵∠ADB=∠EDB=60°，∠ABC=60°，BA=BC，
∴△ADF是等边三角形，△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，∠DAF=60°，AF=AD，
∴∠BAF=∠CAD，
∴△ABF≌△ACD(SAS)，
∴BF=CD，
∴DA+DC=DF+BF=BD；
如图4，延长AD到点G，使DG=DC，连接CG，AC，

∵∠ADB=∠EDB=60°，
∴∠CDG=60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠G=60°，CD=CG，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°，
∴∠BCD=∠ACG，
∴△BCD≌△ACG(SAS)，
∴BD=AG，
∴BD=DA+DG=DA+DC；
(3)解：如图，过点D作DH⊥AB于H，

∵∠ABC=30°，点D是∠ABC的角平分线上一动点，
∴∠ABD=∠CBD=15°，
∵BD的垂直平分线交射线BA于E，
∴DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB=15°，
∴∠AED=30°，
∴DH=12DE=12BE，
∴CD+12BE=CD+DH，
根据两点之间线段最短得，当C、D、H三点共线时CD+12BE有最小值，如图，

∵∠ABC=30°，BC=6，
∴CH=CD+DH=12BC=3，
即CD+12BE的最小值为3．
【解析】(1)由对称得BA=BE，∠ADB=∠EDB，∠ABD=∠EBD，设∠ABD=∠EBD=α，则∠CBE=60°−2α，由BA=BC得BE=BC，求出∠BEC=60°+α，根据三角形外角的性质即可得出结论；
(2)如图3，在DB上截取DF=DA，连接AF，AC，则△ADF是等边三角形，证明△ABF≌△ACD(SAS)，根据全等三角形的性质得BF=CD，即可得DA+DC=DF+BF=BD；
如图4，延长AD到点G，使DG=DC，连接CG，AC，由∠ADB=∠EDB=60°可得∠CDG=60°，则△CDG是等边三角形，证明△BCD≌△ACG(SAS)，根据全等三角形的性质得BD=AG，即可得DA+DC=DA+DG=BD；
(3)如图，过点D作DH⊥AB于H，根据线段垂直平分线的性质得DE=BE，可得∠EBD=∠EDB=15°，则∠AED=30°，可得DH=12DE=12BE，根据两点之间线段最短得，当C、D、H三点共线时CD+12BE有最小值，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】解：(1)由于点A(2,1)，而|2|>|1|，
所以点A(2,1)关于x轴对称的点A′(2,−1)；
因为点B的坐标为(−1,m)，其中m<−1，即|−1|<|m|，
所以点B的坐标为(−1,m)关于y轴对称的点B′(1,m)；
答：点A′(2,−1)，点B′(1,m)；
(2)∵A(2,1)，A′(2,−1)，B(−1,m)，B′(1,m)，
∴AB′2=(2−1)2+(1−m)2，A′B2=(2+1)2+(−1−m)2，
即(2−1)2+(1−m)2=(2+1)2+(−1−m)2，
解得m=2．
【解析】(1)根据绝对值的定义以及关于x轴、y轴对称的点的坐标特征进行解答即可；
(2)根据两点间距离的计算公式列方程求解即可．
本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是正确解答的关键．