2024德州一中高三上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024德州一中高三上学期1月期末考试数学含解析，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. iB. C. D. 1
3. 已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为﹐下底面边长为，高为，则茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（ ）
A. 7碗B. 8碗C. 9碗D. 10碗
5. 实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 0
6. 为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A. B.
C D.
7. 设随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全得得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 展开式中项的系数为
B. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立
D. 在回归分析中，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零
10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（ ）
A. B. 抛物线的准线为直线
C. D. 的面积为
11. 已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为，将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（ ）
A. 是图象的一条对称轴B.
C. 奇函数D. 方程有3个实数解
12. 如图，在棱长为1的正方体中，点P满足，其中，则（ ）
A. 当时，
B. 当，时，点P到平面距离为
C. 当时，平面
D. 当时，三棱锥的体积恒为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题目横线上）
13. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则________.
14. 设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是__________．
15. 已知△ABC中，M为BC边上一个动点，若，则的最小值为_____．
16. 已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 设为数列的前项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
18. 在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）为边上一点，，且，求的值．
19. 把矩形以所在的直线为轴旋转180°，得到几何体如图所示.其中等腰梯形为下底面的内接四边形，且，点G为上底面一点，且，.

（1）若P为的中点，求证：平面；
（2）设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
20. 已知点为椭圆C：的左焦点，在C上．
（1）求C的方程；
（2）已知两点与，过点A的直线l与C交于P，Q两点，且，试判断mn是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
21. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在[12，38）的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，，求的分布列与期望；
（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
参考公式：，.
附：
22. 已知函数.
（1）当时，讨论函数零点的个数；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.使用频率
偶尔1次
30
15
5
10
每周1~3次
40
40
30
50
每周4~6次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3841
6.635
7.879
10828
高三数学期末试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合A，B，根据集合的补集、交集运算即可得解.
【详解】因为，
所以，.
故选：B
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. iB. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】先求，再求.
【详解】由已知，
所以.
故选：A.
3. 已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.
【详解】命题p：因为，所以，解得，
命题q：，
因为p是q的充分不必要条件，
所以.
故选：C
4. 盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为﹐下底面边长为，高为，则茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（ ）
A 7碗B. 8碗C. 9碗D. 10碗
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由条件可得，茶碗的上底面面积，
茶碗的下底面面积，茶碗高，
则茶碗的体积，
所以，即茶水至少可以喝9碗.
故选：C
5. 实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】可化为，表示圆心为，半径为的圆,表示圆上的点与点连线的斜率, 设过且与圆相切的直线为，利用点到直线的距离等于半径，结合图形即可求解.
【详解】可化为，
表示圆心为，半径为的圆.
表示圆上的点与点连线的斜率.
设过且与圆相切的直线为，即，
所以，化简可得，解得或，
由图可得的最大值为.
故选:A.
6. 为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将图形置于直角坐标系中，结合奇偶性和单调性即可得结果.
【详解】将图形置于直角坐标系中，如图所示：
由图易知该函数为偶函数，
对于选项B，满足，即为奇函数，故可排除；
对于选项D，满足，即为非奇非偶函数，故可排除；
对于选项C， ，
令，所以在恒成立，
所以在单调递增，
所以在恒成立，
即在单调递增，故排除；
故选：A.
7. 设随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】解：因为随机变量，
所以，
因为，
所以，
所以，根据正态分布的对称性，.
故选：A
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.
【详解】设,则,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
故当时,函数取得最大值,
因为,,
,
当时,,函数单调递减,可得,
即.
故选:C
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全得得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 展开式中项的系数为
B. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立
D. 在回归分析中，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，利用二项式定理的通项公式求解即可；选项B，根据相关系数的定义判断即可；选项C，根据独立性检验的思想判断；选项D，根据相关指数的定义判断即可.
【详解】对于A，设展开式的通项为，
令可得展开式中项的系数为，A正确；
对于B，样本相关系数的范围在到之间，有正有负，相关性有正相关和负相关，
样本相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之．线性相关性越弱，B错误；
对于C，由独立性检验可知，没有充分证据推断零假设不成立，即认为与独立，C正确；
对于D，在回归分析中，残差和为：
，
用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零，D正确．
故选：ACD．
10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（ ）
A. B. 抛物线的准线为直线
C. D. 的面积为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度可求出值，即可判断选项，根据点在抛物线上即可求出点的纵坐标，即可判断选项，利用三角形的面积公式即可求出的面积，即可判断选项.
【详解】抛物线的准线为直线，设点在第一象限，过点向准线作垂线垂足为，
由抛物线的定义可知，解得，
则抛物线的方程为，准线为直线，故A正确，B错误；
将代入抛物线方程，解得，故C错误；
焦点，点，即，
所以，故D正确；
故选：AD．

11. 已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为，将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（ ）
A. 是图象的一条对称轴B.
C. 是奇函数D. 方程有3个实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】由的最小正周期为，求出，由最值点和最值，求出，得的解析式，判断AB选项；由函数图象的变换，求的解析式，验证C选项，数形结合验证D选项．
【详解】，其中，
的最小正周期为，则有，故，
函数在处取得最大值2，则，
解得，则，B选项错误；
函数在处取得最大值2，则是图象的一条对称轴，A选项正确；
将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数的图象，
再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，
，函数为奇函数，C选项正确；
在同一直角坐标系下作出函数和函数的图象，如图所示，
两个函数图象有3个交点，可知方程有3个实数解，D选项正确.
故选：ACD
12. 如图，在棱长为1的正方体中，点P满足，其中，则（ ）
A. 当时，
B. 当，时，点P到平面的距离为
C. 当时，平面
D. 当时，三棱锥的体积恒为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正方体的几何性质，确定各选项下点P的位置，根据线线关系判断A；根据线面平行确定点到平面的距离来判断B；由面面平行的性质得线面平行来判断C；利用等体积转换法确定三棱锥的体积可判断D.
【详解】对于A，

当时，此时点与点重合，由正方体性质可得，，
所以四边形平行四边形，从而，
又因为，所以，即，故A正确；
对于B，当时，此时点为的中点，

由A选项分析可知，平面，平面，
所以平面，从而得点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，且为边长为的等边三角形，
所以，从而得，解得，故B错误；
对于C，

当时，此时三点共线，
由B选项分析可知平面，同理可证平面，
又因为平面，，平面，
所以平面平面，又平面，从而得平面，故C正确；
对于D，

当时，点在中与平行的中位线上，即，
由B选项分析可知平面，且平面，
所以平面，从而点到平面的距离为定值，为点到平面的距离的一半，即，
底面为边长为的等边三角形，所以，则的体积为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题目横线上）
13. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则________.
【答案】
【解析】
【分析】由成等比数列结合等差数列的性质可得，解出，即可求出.
【详解】由题意知，.
∵成等比数列，∴，
∴，解得，
∴.
故答案为：
14. 设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案.
【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根，
分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设，
显然关于对称，故，
另一个交点位于一次函数图象上，令 −2x+6=−1 ，解得 x=72 ，
显然它在和以及的交点和之间，
故，
所以，
故答案为： ．
15. 已知△ABC中，M为BC边上一个动点，若，则的最小值为_____．
【答案】16
【解析】
【分析】根据已知结合图形可得出，进而根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.
【详解】
由已知可得，共线，
所以，，使得，
所以有，
整理可得，.
又，不共线，
所以有，则有.
显然，
所以，，
当且仅当，即时等号成立.
所以，的最小值为16.
故答案为：16.
16. 已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线的定义得，结合离心率得，在中利用余弦定理得，结合椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大值，分析求解即可.
【详解】由题设，又，
直线与轴的交点的坐标为，则，
中，
综上，，整理得，可得或（舍），
由，则，
由椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大，此时，
由，则，即，故.

故答案为：
【点睛】关键点点睛：关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解.
四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 设为数列的前项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用推导求解即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可得解.
【小问1详解】
当时，，当时，，
两式相减得，则，
当时，，
又当时，，当时，，则，
显然符合，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以
.
18. 在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）为边上一点，，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；
（2）在和分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得，再由余弦定理求得，然后可解.
【小问1详解】
因为，
所以，由正弦定理可得，
又，
所以，
整理得，
因为，所以，
又，所以，即.
【小问2详解】
由（1）知，因为，所以，
记，则，
在中，由正弦定理得，得，
在中，有，
因，所以，得，
在中，由余弦定理可得，即，
所以.
19. 把矩形以所在的直线为轴旋转180°，得到几何体如图所示.其中等腰梯形为下底面的内接四边形，且，点G为上底面一点，且，.

（1）若P为的中点，求证：平面；
（2）设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可；
（2）空间向量法求线面角正弦值计算求参可得.
【小问1详解】
证明：因为为直径，
所以，
因为平面，平面
所以，
因为,平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，P为中点，所以，
因为，平面,平面,
所以平面
【小问2详解】
因为等腰梯形为底面半圆的内接四边形，，
所以，
所以，
如图，以为坐标原点，在底面半圆过点垂直于平面作直线为x轴，
分别以，为y，z轴建立空间直角坐标系，
由于，，由（1）可知，
故，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，
由，，，
可得，所以，
设直线与平面所成角为，，
则，
即得，
解得或，符合，
故或
20. 已知点为椭圆C：的左焦点，在C上．
（1）求C的方程；
（2）已知两点与，过点A的直线l与C交于P，Q两点，且，试判断mn是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）为定值，4
【解析】
【分析】（1）根据椭圆交点以及椭圆定义求标准方程；
（2）由，可得，直线与椭圆方程联立，解方程，得到答案.
【小问1详解】
由已知可得，且C的另一焦点坐标为，设为，
所以有，
所以，所以，所以C的方程为
【小问2详解】

设l：，代入C整理可得：，
设，，则 ①，②，
由，可得，
③，
由①②③可得：，
恒成立，所以，为定值．
21. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在[12，38）的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，，求的分布列与期望；
（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
参考公式：，.
附：
【答案】（1）有关 （2）分布列见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定数表完善列联表，再计算的观测值并与临界值表比对作答.
（2）利用分层抽样求出8人中这两个年龄段的人数，求出的可能值及各个值及各个对应的概率，列出分布列并求出期望作答；
（3）利用全概率公式即可得解.
【小问1详解】
补全的列联表如下：
所以，
所以有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关.
【小问2详解】
由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为.
【小问3详解】
记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件，
晚餐选择低卡甜品为事件，
则，，
所以，
所以小李晚餐选择低卡甜品的概率为.
22. 已知函数.
（1）当时，讨论函数零点的个数；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，通过讨论函数单调性决定函数零点个数即可；
（2）首先将原不等式转化为，再构造函数，通过研究的单调性判断出，从而求解取值范围即可.
【小问1详解】
由得，
当时，，在区间上单调递增，且无限趋近于0时，，
又，故只有1个零点；
当时，令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增；
所以当时，取得最小值，
当时，，所以函数无零点，
当时，恒成立，所以函数无零点，
综上所述，当时，无零点，当时，只有一个零点；
【小问2详解】
由已知有，所以，
所以，
构造函数，则原不等式转化为在上恒成立，
，记，所以，
令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，即单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，
令，解得，令，解得，
故在单调递减，单调递增，
故的最小值为，
故的取值范围是.
【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方.
使用频率
偶尔1次
30
15
5
10
每周1~3次
40
40
30
50
每周4~6次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3841
6.635
7.879
10.828
青少年
中老年
合计
食用轻食频率低
125
95
220
食用轻食频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2
P