2024廊坊部分高中高三上学期期末考试数学含解析

这是一份2024廊坊部分高中高三上学期期末考试数学含解析，共30页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，本卷命题范围， 设，且，若能被7整除，则， 已知，且，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
2. 已知集合，则满足⫋的集合的个数为（ ）
A. 8B. 7C. 4D. 3
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（ ）
A. ①③②④B. ①④③②C. ③①②④D. ③①④②
5. 设，且，若能被7整除，则（ ）
A. -4B. -5C. -6D. -7
6. 如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A. B. C. D.
7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
8. 已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，直线与直线分别相交于两点，为坐标原点，若，则直线的方程为（ ）
A. 或B.
C. 或D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是边的中点
B. 若，则在边的延长线上
C. 若，则是的重心
D. 若，则的面积是面积的
10. 已知，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 的最小值为4D. 的最小值为
11. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面圆的一条直径长为为底面圆周上不同于的一个动点，为线段（不含端点）上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 面积的最大值为
B. 三棱锥体积的最大值为1
C. 存在点，使得
D. 当为的中点时，的最小值为
12. 已知曲线C：，为C上一点，则（ ）
A. 取值范围为B. 的取值范围为
C. 不存在点，使得D. 的取值范围为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某学校高三12个班级某次朗诵比赛的得分情况如表，则第75百分位数是__________.
14. 已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则__________.
15. 在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为___________.
16. 已知函数若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列是递增的等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18. 在锐角中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围.
19. 如图，在三棱锥中，是的中点，是的中点，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）若平面，且，求直线与平面所成角的余弦值.
20. 为学习贯彻中央农村工作会议精神“强国必先强农，农强方能国强”，某市在某村积极开展香菇种植，助力乡村振兴.香菇生产可能受场地､基料､水分､菌种等因素的影响，现已知香菇有菌种甲和菌种乙两个品种供挑选，菌种甲在温度时产量为28吨/亩，在温度30℃时产量为20吨/亩；菌种乙在温度20℃时产量为22吨/亩，在气温时产量为30吨/亩.
（1）请补充完整2×2列联表，根据2×2列联表和小概率值的独立性检验，判断菌种甲､乙的产量与温度是否有关？
（2）某村选择菌种甲种植，已知菌种甲在气温为时的发芽率为，从菌种甲中任选3个，若设为菌种甲发芽的个数，求的分布列及数学期望.
附：参考公式：，其中.
临界值表：
21. 已知函数．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
22. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的浙近线方程为分别是双曲线的左､右顶点.
（1）求标准方程；
（2）设是直线上的动点，直线分别与双曲线交于不同于的点，过点作直线的垂线，垂足为，求当最大时点的纵坐标.
班级得分
9
9.2
9.4
96
9.8
10
频数
1
2
2
4
1
2
合计
菌种甲
菌种乙
合计
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6635
2023-2024学年高三上学期期末考试
数学
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数为纯虚数，则（ ）
A -1B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算法则以及纯虚数的定义求解.
【详解】因为为纯虚数，
所以解得，
故选：.
2. 已知集合，则满足⫋的集合的个数为（ ）
A. 8B. 7C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】确定集合的元素，根据A⫋，可判断集合等价于集合的非空子集，由此可得答案.
【详解】由题意得，
又A⫋，所以，所以集合等价于集合的非空子集，
所以集合的个数为，
故选：B.
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先由余弦函数单调性得出，然后结合二倍角公式，商数关系即可判断大小.
【详解】因为，所以，所以.
故选：C
4. 现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（ ）
A. ①③②④B. ①④③②C. ③①②④D. ③①④②
【答案】A
【解析】
【分析】判断已知的四个函数的奇偶性，结合它们的函数值正负情况以及零点情况，即可判断出答案.
【详解】设，定义域为R，满足，
即为偶函数，对应的图象为图，
设，定义域为R，满足，
即为奇函数，且当时，，对应的图象为图；
设，定义域为R，满足，
为奇函数，且零点为，对应的图象为图；
设，定义域为R，满足，
为奇函数，且零点为0和，对应的图象为图4.
故选：A.
5. 设，且，若能被7整除，则（ ）
A. -4B. -5C. -6D. -7
【答案】C
【解析】
【分析】，由二项式定理将其展开，因为能被7整除，故能被7整除，结合的范围，即可得出答案.
【详解】，
因为能被7整除，
且能被7整除，
故能被7整除，
又，所以.
故选：C.
6. 如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解.
【详解】如图所示，
过点作于点，因为，
所以，
则四棱台的高为，则四棱台的体积为，
解得，所以侧棱长为.
如图所示：
过于点，于点，连接，
由对称性可知，
所以，
而，
所以，
所以，同理，
分别在棱上取点，使得，
易得，
所以截面多边形的周长为.
故选：D.
7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数运算将变形化简得到，结合的表达式可得，结合，即可求出答案.
【详解】因为，
所以，
即
故，
故，所以，
由斐波那契数列可知，则，
所以的最小值为9，
故选：D.
8. 已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，直线与直线分别相交于两点，为坐标原点，若，则直线的方程为（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】当的斜率为时直接分析即可，当的斜率不为时，设出的横截式方程，联立与抛物线得到纵坐标的韦达定理形式，利用直线相交表示出的坐标，由两点间距离公式可表示出，则的方程中的参数可求，则的方程可知.
【详解】由题意知，当直线的斜率为0时，直线与抛物线有且只有一个交点，不满足要求，
故可设的方程为，
联立整理得，
所以，，
直线的方程为，直线的方程为，
因为不与平行，显然，
联立方程组，所以，
因为，所以，同理可得，
由
，
解得或，
故直线的方程为或，即或，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用，涉及到抛物线的焦点弦方程、两点间距离公式等问题，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键在于：正确运用两点间距离公式（弦长公式）表示出，将问题转化为纵坐标的韦达定理从而完成计算.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是边的中点
B. 若，则在边的延长线上
C. 若，则是的重心
D. 若，则的面积是面积的
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算对选项一一判断即可.
【详解】对于，因为，所以，即，
则是边的中点，故正确；
对于，由得，所以，
则在边的延长线上，故错误；
对于，设的中点为，则，故C正确；
对于D，由知，，
所以，故D错误.
故选：AC.
10. 已知，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 的最小值为4D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式及其的代换求解.
【详解】对于选项，因为，所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于选项，由可知，因为，，所以，所以，
所以，故错误；
对于选项，，当且仅当,时取等号，故正确；
对于选项，,当且仅当,时取等号，故正确；
故选：.
11. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面圆的一条直径长为为底面圆周上不同于的一个动点，为线段（不含端点）上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 面积的最大值为
B. 三棱锥体积的最大值为1
C. 存在点，使得
D. 当为的中点时，的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】求出圆锥的轴截面的顶角大小，结合三角形面积公式，即可判断A；根据三棱锥的体积公式可判断B；假设存在点，使得，结合线面垂直推出矛盾，判断C；求出的边PC上的高，即可求得的最小值，判断D.
【详解】对于，由题意知圆锥的顶点为，母线长为2，底面圆的直径长为，
记圆锥底面圆心为，则PO为圆锥的高，
故，为锐角，所以，
所以，设，则，
当时，的最大值为2，故A错误；
对于B，因为点到的距离的最大值为底面圆的半径，圆锥的高，
所以三棱锥体积的最大值为，故B正确；
对于C，假设存在点，，使得，
因为平面，
则平面，平面，所以，即，
又，显然在中，不可能有两个直角，故假设错误，故错误；
对于，当为的中点时，，
由题意可得和全等，在中，，
所以，为锐角，
进而，记边上的高为（垂足为），
则，所以，
当与重合时取等号，故D正确.
故选：BD.
12. 已知曲线C：，为C上一点，则（ ）
A. 的取值范围为B. 的取值范围为
C. 不存在点，使得D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题可得到曲线的不同方程，作出曲线的图形，结合所得方程可判断A，根据的几何意义结合条件可判断B，根据双曲线的性质可判断C，根据椭圆方程及点到直线距离公式结合条件可判断D.
【详解】由题设得：曲线，可得曲线图形，
A：由曲线方程及图形可知，故A错误；
B：因为，由图可知当在时，才能最小，，时等号成立，故B正确；
C：因为直线与渐近线平行，由图可知与曲线没有公共点，
即不存在点，使得，故C正确；
D：因为表示点到直线距离的倍，又直线与渐近线平行且距离为1，故，
由图可知当在时，到直线距离有最大值，
设，则到直线距离为，当时等号成立，即，
所以的取值范围为，故D正确.
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：首先讨论的符号得到曲线为，再由各曲线的性质，结合图形逐项分析即得.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某学校高三12个班级某次朗诵比赛的得分情况如表，则第75百分位数是__________.
【答案】9.7
【解析】
【分析】将12个班级的得分按照从小到大排序，根据百分位数的含义即可求得答案.
【详解】将12个班级的得分按照从小到大排序为：
，
因为，可得第75百分位数是，
故答案为：9.7
14. 已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知得直线过圆心可求出，再利用直线与直线垂直求出即可.
【详解】圆可化为，其圆心为，
由题意知直线过圆心，则，所以，
因为直线与直线垂直，所以，则，
所以；
故答案为：.
15. 在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为点，再由函数性质进一步求解参数即可
【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点，其中点与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于，不可能为，因此点也舍去，只有点满足题意.此时点为最大值点，所以，又，则，所以点，之间的图像单调，将，代入的表达式有
由知，因此.
故答案为：
【点睛】本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题
16. 已知函数若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导函数，得到函数的单调区间与极值，从而得到函数图像，由，得到或，由图可知有一个实数根，则有两个实数根，即与有两个交点，结合函数图像即可得解；
【详解】因为当时，则，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，在取得极小值，，，当时，当时，
当时，；
当时，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递增，
所以在取得极大值，，当时，，
当时，；
所以的函数图像如下所示：
方程，即，即或，
因为方程有个不同的实数根，
由图可知有一个实数根，
所以有两个实数根，即与有两个交点，
所以，；
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列是递增的等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意结合等比数列性质求出的值，即得公比，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案.
【小问1详解】
因为数列是递增等比数列，所以，
所以,解得，所以公比，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以
.
18. 在锐角中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，利用向量数量积和正弦定理化简，可求的值；
（2）由，在锐角三角形中，求出的范围，得的取值范围.
【小问1详解】
由向量数量积得，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
【小问2详解】
由（1）知，，
中，因为，
所以.
因为为锐角三角形，所以，
所以，
所以，，
所以，即的取值范围为.
19. 如图，在三棱锥中，是的中点，是的中点，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）若平面，且，求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）几何法证明空间直线与平面平行.
（2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，进而求出余弦值.
【小问1详解】
过点作交于点，过点作交于点，则.
因为是的中点，是的中点，所以，
因为，所以，则，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，
所以.
设平面的法向量为，则即
令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，
故直线与平面所成角的余弦值为.
20. 为学习贯彻中央农村工作会议精神“强国必先强农，农强方能国强”，某市在某村积极开展香菇种植，助力乡村振兴.香菇的生产可能受场地､基料､水分､菌种等因素的影响，现已知香菇有菌种甲和菌种乙两个品种供挑选，菌种甲在温度时产量为28吨/亩，在温度30℃时产量为20吨/亩；菌种乙在温度20℃时产量为22吨/亩，在气温时产量为30吨/亩.
（1）请补充完整2×2列联表，根据2×2列联表和小概率值的独立性检验，判断菌种甲､乙的产量与温度是否有关？
（2）某村选择菌种甲种植，已知菌种甲在气温为时的发芽率为，从菌种甲中任选3个，若设为菌种甲发芽的个数，求的分布列及数学期望.
附：参考公式：，其中.
临界值表：
【答案】（1）表格见解析，有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由题中数据先完善列联表，然后根据卡方计算公式进行独立性检验即可.
（2）由二项分布的概率计算公式即可得相应的概率，从而得分布列，根据期望公式计算即可求解.
【小问1详解】
零假设：菌种甲､乙的产量与温度没有关系，根据表中数据，计算得，
根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为菌种甲､乙的产量与温度有关.
【小问2详解】
由题意可知，的可能取值有，
由公式可得，
，
所以的分布列为
所以.
21. 已知函数．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）答案见解析；
（2）存在，0＜a＜2﹒
【解析】
【分析】(1)由，可求得，然后分与讨论导数的正负即可得f(x)的单调区间；
(2)由(1)可知，当，函数有极大值，结合化简极大值，令＞0，解出a的范围即可．
【小问1详解】
，，，
当时，由于，故，于是，
，故在上单调递增；
当时，令，即，
解得，
，
，
时，，单调递增，当时，，单调递减.
综上，时，f(x)的单调增区间是，无单调减区间；
时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是.
【小问2详解】
由(1)可知，当时，在上单调递增，为极大值；
当时，f(x)在处取到极大值.
由(1)可知，，即，
极大值，
令，∵在单调递增，且，
时，，即时，，
∴，
当时，，不等式显然成立；
当，即时，，∴，
综上，0＜a＜2.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用.第二问的关键是看出极大值在定义域内单调递增，且g(1)＝0，利用单调性将函数值大于0转化为自变量大于1，从而简化计算．
22. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的浙近线方程为分别是双曲线的左､右顶点.
（1）求的标准方程；
（2）设是直线上的动点，直线分别与双曲线交于不同于的点，过点作直线的垂线，垂足为，求当最大时点的纵坐标.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的渐近线方程求出即可得双曲线方程.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理、三点共线探求直线过的定点，结合几何意义求解即得.
【小问1详解】
双曲线的渐近线方程为，即，依题意，，
所以的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，设，
显然直线不垂直于轴，否则由双曲线的对称性，点在轴上，不符合题意；
设直线，
由消去得，
有，
则，于是，
由三点共线得直线的斜率满足，同理，由三点共线得，
消去，得，即，
整理得，即，
则，因此或，
若，又，得，
结合，从而，即，不成立，
即，因此，满足，
则直线恒过点，点在以为直径的圆上，
当与重合时，最大，此时轴，，
所以当最大时，点的纵坐标为.
【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.
班级得分
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
频数
1
2
2
4
1
2
合计
菌种甲
菌种乙
合计
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
合计
菌种甲
28
20
48
菌种乙
22
30
52
合计
50
50
100
0
1
2
3