宁夏银川市第二中学2022届高三一模数学（理）试题含答案

这是一份宁夏银川市第二中学2022届高三一模数学（理）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共12小题）
1. 设集合，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2. 若，则（ ）
A．B．C．D．
3. 某高校有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶､短道速滑､花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，每个项目至少安排一名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．72种B．81种C．6种D．36种
4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5. 2022年北京冬奥会成功举办．中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（ ）
A．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降
B．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加
C．2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为
6. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．5
7. 已知命题p：，.命题q：某物理量的测量结果服从正态分布，则该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等.下列命题中的假命题是（ ）
A．B．C．D．
8. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是图象的一个对称中心
C．是图象的一条对称轴
D．将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象
9. 已知四棱锥的底面为正方形，平面为等腰三角形，若分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10. 若函数在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．6B．3C．4D．8
11. 已知抛物线上一点，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足，则（ ）
A．B．C．D．
12. 若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共3小题）
13. 已知变量满足约束条件，则的最小值为 .
14. 已知非零向量，，满足且，则向量与的夹角为 .
15. 若直线与圆交于、两点，则弦长的最小值为 .
三、双空题（本大题共1小题）
16. 我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则 ；如果对折次，则 .
四、解答题（本大题共7小题）
17. 在中，分别为内角的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
18. 随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券.为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的.
（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？
（2）为配合政府消费券的宣传，现需该市45岁及以下的3位市民参与线上访谈.用随机抽样的方法从该市45岁及以下市民中每次抽取1人，共抽取3次，每次抽取的结果相互独立.记抽取的3人中“没使用过政府消费券”的人数为，以样本频率作为概率，求随机变量的分布列和数学期望.
附：，其中.
19. 如图，已知直三棱柱分别为线段的中点，为线段上的动点，.
(1)若，试证：；
(2)在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值为.
20. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，直线和的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值.
21. 已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将通过伸缩变换后，得到曲线．
(1)求的普通方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
23. 已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)已知函数的最小值为t，正实数a，b，c满足，证明：.
参考答案
1.【答案】B
【分析】
先求出，再由已知条件可求出集合B
【详解】
，
因为，，
所以，
所以，
故选：B
2.【答案】A
【分析】
先通过复数的四则运算求出z，进而求出其共轭复数.
【详解】
由题意，.
故选：A.
3.【答案】D
【分析】
依题意先将4人分成3组，其中一组有2人，另外一组各1人，再对三组人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】
解：先将4人分成3组，其中一组有2人，另外一组各1人，共有种，然后将3个项目全排列，共有种排法，
故每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，
故选：D
4.【答案】D
【分析】
由空间中线线，线面，面面间的位置关系判断即可.
【详解】
A：，，则无法判断n与的位置关系，A为假命题；
B：，，则无法判断n与的位置关系，B为假命题；
C：，，则m∥n或m与n是异面直线，C为假命题；
D：，，则n⊥β，D为真命题.
故选：D.
5.【答案】B
【分析】
根据图表分别判断各选项.
【详解】
对于A，2016年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加，2018年至2021年同比增长率逐年下降，故A错误；
对于B，由条形图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故B正确；
对于C，由条形图可知，2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是2015年滑雪人次为万，2020年滑雪人次为万，同比增长基数差距大，同比增长人数不相等，故C错误；
对于D，由统计图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的增长率约为，故D错误，
故选：B.
6.【答案】A
【分析】
设等比数列的公比，根据题意列出方程组，解得答案.
【详解】
设等比数列的公比为 ， ，
故由题意可得： ，，
解得 ， ，
故选：A
7.【答案】C
【分析】
先根据题目条件判断命题p、q的真假，再根据或、且、非命题判断真假即可.
【详解】
对于命题p：，，取 则，所以命题p为真命题.
对于命题q，该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等，则该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等，所以命题q为假命题.
则，，为真命题，为假命题.
故选：C.
8.【答案】B
【分析】
利用三角恒等变换化简函数可得，再根据正弦函数的性质及平移变换的特征逐一分析，即可得出答案．
【详解】
解：
，
对于A，，故A正确；
对于B，因为，
所以不是图象的一个对称中心，故B错误；
对于C，因为为最大值，
所以是图象的一条对称轴，故C正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，
即可得到函数的图象，故D正确．
故选：B．
9.【答案】B
【分析】
根据题意画出图形，建立空间直角坐标系，设，
然后写出的坐标，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】
由题意可知，平面，底面为正方形，以为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，
，
因为分别为的中点，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
10.【答案】A
【分析】
根据函数解析式可得，可知函数图象关于点中心对称，即可得解．
【详解】
由，
得
故，
则的图象关于点中心对称，
故在上的最大值与最小值之和为6．
故选：A
11.【答案】C
【分析】
设出点B坐标，利用向量关系求出，进而求出.
【详解】
由题意得：，设，因为，所以，解得：，故，当时，，所以.
故选：C
12.【答案】A
【分析】
由题意可得，，分析可得，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得，结合函数的单调性可得出结论.
【详解】
由题意可知，，则，
构造函数，其中，则，
当且仅当时，等号成立，所以，函数在上单调递增，
由可得，所以，，则，
A对B错，无法判断CD选项的正误.
故选：A.
13.【答案】
【分析】
先根据约束条件画出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】
解：因为变量满足约束条件，画出可行域如下图所示：
由解得，即，由，则，当直线过点时在轴的截距最大，此时取得最小值，即；
故答案为：
14.【答案】
【分析】
根据垂直向量的运算可得，结合题意和平面向量数量积的夹角表示可得，进而得出结果.
【详解】
，
，
.
又因为，所以，
设与的夹角为，，
则，
.
故答案为：
15.【答案】
【分析】
求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，取最小值，结合勾股定理可求得的最小值.
【详解】
直线的方程可化为，由，得，
所以，直线过定点，因为，即点在圆内，
圆的圆心为原点，半径为，
当时，圆心到直线的距离取得最大值，
此时取最小值，故.
故答案为：.
16.【答案】；
【分析】
首先根据题意得到，再计算即可；根据题意得到，再利用分组求和法求和即可.
【详解】
因为，，
所以，
所以.
.
故答案为： ；
17.【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理，可求出，由已知条件得出角的范围，进而求出角．
（2）由，的值，利用正弦定理表示出，，进而表示出三角形的周长，利用三角形的内角和定理及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质确定出周长的取值范围．
(1)
解：由及正弦定理得：，又，所以，
所以，
又，所以，
(2)
解：由正弦定理可得，所以，，
所以的周长
，
因为，所以，所以
所以，
即，
所以周长的取值范围为．
18.【答案】（1）表格答案见解析，有的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）求出年龄在45岁及以下的人数，没使用过政府消费券的人数，再由列联表中数据可填写列联表，然后计算可得结论；
（2）抽取1人，没使用政府消费券的频率为，所以，由二项分布可得概率，得分布列，由二项分布期望公式得数学期望．
【详解】
解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为人，
没使用过政府消费券的人数为人，
完成表格如下：
由列联表可知，
因为，
所以有的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关.
（2）由题意可知，从该市45岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，
没使用政府消费券的频率为，所以，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
19.【答案】(1)证明见详解；
(2)为的中点．
【分析】
（1）先证平面，得，结合已知条件得出，根据及勾股定理的逆定理，得出，进而得出平面，即证；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量和直线的方向向量，再由向量的夹角公式可求出线面角，解方程即可得结果．
(1)
在中，
∵为中点且，
∴.
∵平面平面交线为，
∴平面，∴.
∵，分别为，的中点，
∴.
∴.
在直角和直角中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴平面，平面，
∴.
(2)
∵平面，由（1）得，，三线两两垂直，以为原点，
以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
∴，.
设平面的一个法向量为，
则，
令得，，
设，，则，
∴，，
设直线与平面所成的角为，
则
即，为的中点．
20.【答案】(1)；
(2)证明见详解．
【分析】
（1）根据离心率为，再根据点是椭圆上一点，求得，即得答案；
（2）考虑直线斜率是否存在情况，然后设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合可得到，进而表示出四边形ABCD的面积，化简可得结论.
(1)
离心率为，则∴
又∵点是椭圆上一点，∴，又
解得
因此，椭圆的方程为
(2)
证明:：当直线AB的斜率不存在时，不妨设 ，
则 ，又 ，解得 ，
根据椭圆的对称性，不妨取 ,则，
则 ,
所以 ;
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，设点
联立，得，
则
因为，得，即，
所以，，解得，
，
原点到直线AB的距离为，
因为
且
所以（定值），
综上述四边形ABCD的面积为定值．
21.【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间
(2)证明见解析
【分析】
（1）求得，分析导数的符号变化，由此可得出结论；
（2）设，由已知得出，变形得出，设，将所证不等式转化为，构造函数，利用导数证明出对任意的恒成立，即可证得结论成立.
(1)
解：依题意，.
令，则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，
故函数的单调递增区间为，无单调递减区间.
(2)
证明：要证，即证.
依题意，、是方程的两个不等实数根，不妨令，
因为，故，
两式相加可得，
两式相减可得，
消去，整理得，故，
令，故只需证明，即证明，
设，故，故在上单调递增，
从而，因此.
故原不等式得证.
22.【答案】(1)
(2)或
【分析】
（1）求得的参数方程，并转化为的普通方程.
（2）联立直线和曲线的的极坐标方程，由此求得的极坐标方程.
(1)
经过伸缩变换后，
曲线的方程为，
即，，平方相加并化简得.
则的普通方程为：；
(2)
设直线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为：，将两方程联立得：，则，，
解得，所以直线的极坐标方程为或.
23.【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据已知条件，分，，三种情况，求解不等式，取其并集，即可求解．
（2）利用绝对值不等式的性质，可得，对通分化简，可得，再结合基本不等式，即可证明结果．
(1)
解：由题设，
∴要使，
由得；由得；由得；
综上，的解集为或.
(2)
解：因为，
当且仅当时，取“”，所以的最小值为，即.
∵ ∴
∴，
∵为正实数，
当且仅当时等号成立，
∴得证.
使用过政府消费券
没使用过政府消费券
总计
45岁及以下
90
45岁以上
总计
200
0.15
0.10
0.05
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
使用过政府消费券
没使用过政府消费券
总计
45岁及以下
90
30
120
45岁以上
50
30
80
总计
140
60
200
0
1
2
3