三年湖南中考数学模拟题分类汇总之尺规作图

这是一份三年湖南中考数学模拟题分类汇总之尺规作图，共31页。

A．7B．6C．5D．4
2．（2021•益阳模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则S△DAC：S△ABC等于（ ）
A．1：2B．2：3C．1：3D．1：3
3．（2021•邵阳县模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点H，若CH＝2，P为AB上一动点，则HP的最小值为（ ）
A．12B．1C．2D．无法确定
4．（2022•宁远县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO交BC于点D，若点D到AB的距离为3，则BC的长为（ ）
A．6B．63C．3+22D．3+32
5．（2022•长沙县校级三模）如图，在中△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交CB于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝9，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．18C．19D．20
6．（2022•宁远县模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023•安化县二模）如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝48°，DI是AB的垂直平分线，连接AD．以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两圆弧交于G点，作射线AG交BC于点H，则∠DAH的度数为​（ ）
A．36°B．25°C．24°D．21°
二．填空题（共7小题）
8．（2021•湘潭模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，BC＝1，以点B为圆心，以BC长度为半径作弧，交BA于点D，以点C为圆心，以大于12CD为半径作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为 ．
9．（2021•长沙模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果ABBC=23，求S△ABGS△BGC= ．
10．（2022•长沙一模）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：
①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN，交OB于点C，连接CD．
②以D为圆心，DO长为半径画GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为 ．
11．（2022•凤凰县模拟）如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，AB＝10，点E是边AB的中点．分别以点B，D为圆心，以BE的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CB，CD，则四边形BCDE的面积为 ．
12．（2022•开福区校级二模）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若∠B＝30°，∠A＝65°，则∠ACD的度数为 ．
13．（2023•湖南模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN为半径作弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，若BC＝5，AD＝2，则△BCD的面积为 ．
14．（2023•天心区校级三模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4．依据尺规作图的痕迹，当CD＝3时，BC的长是 ．
三．解答题（共8小题）
15．（2021•岳麓区校级一模）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB．
作法：如图①作射线O'A'；
②以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；③以O′为圆心，OC为半径作弧C'E'，交OA'于C'；
④以C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；⑤过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是 ．（填序号）①ASA②SAS③AAS④SSS．
（2）请证明∠A'O'B'＝∠AOB．
16．（2021•芙蓉区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ACB＝50°，∠ACB的平分线交AB于点D．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线BO交CD于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求∠BOD的度数．
17．（2021•望城区模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）如图1，作△ABC的高线CD；
（2）直接写出ADBD的值 ；
（3）在BC边上取点E，使得tan∠BAE=34；
（4）如图2，在（1）的条件下，在AC边上取一点P，使BP+DP的值最小．
18．（2022•长沙一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l，
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC＝AP，
∴BC= ．
∴∠ABP＝∠BPC（ ）（填推理依据）．
∴直线PC∥直线l．
19．（2022•开福区校级模拟）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC．点D在BC上，且到边AC和AB的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B＝36°，求∠CAD的度数．
20．（2022•开福区三模）已知：如图1，∠MON．
求作：∠BAD，使∠BAD＝∠MON．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法，如图2：
①在OM上取一点A，以A为圆心，OA为半径画弧，交射线OA于点B；
②在射线ON上任取一点C，连接BC，分别以B，C为圆心，大于12BC为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF，与BC交于点D；
③作射线AD，∠BAD即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下列证明．
证明：∵EF垂直平分BC，
∴ ＝DC．
∵AO＝AB，
∴AD∥OC（ ）（填推理依据）．
∴∠BAD＝∠MON．
21．（2023•郴州模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线BE，交AD于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）点F是BC上一点，连接EF．已知BF＝AB，求证：四边形ABFE为菱形．
22．（2023•长沙模拟）如图，已知直线l及直线l外一点P，按照如下步骤进行尺规作图：
①在直线l上取一点A，连接PA；
②分别以点P，A为圆心、大于12PA的长为半径画弧，分别交于M，N两点，作直线MN，交PA于点O，交直线l于点B；
③以点O为圆心、OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q，作直线PQ．
根据上述尺规作图的步骤和痕迹，请回答下列问题：
（1）下列结论不一定成立的是 （填序号）；
①BQ⊥AP
②PQ＝AB
③PQ∥AB
④OM＝QM
（2）若∠PQB＝45°，PA＝2，求BQ的长．
湖南三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总--尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2021•长沙模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则BD的长是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；尺规作图．
【答案】B
【分析】作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得DE＝CD＝3，由∠B＝30°知BD＝2DE＝6．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
∵AD为∠CAB的平分线，
∴DE＝CD＝3，
∵∠B＝30°，
则BD＝2DE＝6，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
2．（2021•益阳模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则S△DAC：S△ABC等于（ ）
A．1：2B．2：3C．1：3D．1：3
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】D
【分析】利用30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【解答】解：根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∴CD=12AD，
∵AD＝DB，
∴CD=12DB，
∴CD=13CB，
∴S△ACD=12CD•AC，S△ACB=12CB•AC，
∴S△ACD：S△ACB＝1：3，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是证明BC＝3CD，属于中考常考题型．
3．（2021•邵阳县模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点H，若CH＝2，P为AB上一动点，则HP的最小值为（ ）
A．12B．1C．2D．无法确定
【考点】作图—基本作图；垂线段最短；角平分线的性质．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】C
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理得到GH＝HC＝2，利用垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点H作GH⊥AB于G．
由作图可知，HB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，HC⊥BC，
∴GH＝HC＝2，
根据垂线段最短可知，HP的最小值为2，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2022•宁远县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO交BC于点D，若点D到AB的距离为3，则BC的长为（ ）
A．6B．63C．3+22D．3+32
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；等腰直角三角形．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD＝DH＝2，进而求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝3，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD＝DH＝3，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴△DHB为等腰直角三角形，
∴BD=2HD＝32，
∴BC＝CD+BD＝3+32，
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
5．（2022•长沙县校级三模）如图，在中△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交CB于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝9，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．18C．19D．20
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，再利用等线段代换得到AC+BC＝10，然后计算△ABC的周长．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+CD+AD＝10，
∴AC+CD+DB＝10，
即AC+BC＝10，
∵AB＝9，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝10+9＝19．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
6．（2022•宁远县模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A．B．
C．D．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】点P到AB、BC的距离相，则点P在∠ABC的角平分线上．
【解答】解：∵点P到AB、BC的距离相等，
∴点P在∠ABC的角平分线上，
∴选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
7．（2023•安化县二模）如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝48°，DI是AB的垂直平分线，连接AD．以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两圆弧交于G点，作射线AG交BC于点H，则∠DAH的度数为​（ ）
A．36°B．25°C．24°D．21°
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】求出∠DAC＝48°，再利用角平分线的定义求解．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，
∵DI垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠B＝∠DAB＝42°，
∴∠DAC＝90°﹣42°＝48°，
∵AH平分∠DAC，
∴∠DAH=12∠DAC＝24°．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共7小题）
8．（2021•湘潭模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，BC＝1，以点B为圆心，以BC长度为半径作弧，交BA于点D，以点C为圆心，以大于12CD为半径作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为 33−π9 ．
【考点】作图—复杂作图；扇形面积的计算．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据S阴＝S△ABF﹣S扇形BGF，求解即可．
【解答】解：由作图可知，BE平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBF＝∠FBA＝30°，
∵BC＝1，
∴CF＝BC•tan30°=33，AC＝BC•tan60°=3，BF＝2CF=233，
∴S阴＝S△ABF﹣S扇形BGF=12×233×1−30π⋅(233)2360=33−π9，
故答案为：33−π9．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．
9．（2021•长沙模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果ABBC=23，求S△ABGS△BGC= 23 ．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】23．
【分析】如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．证明GM＝GN，可得结论．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．
由作图可知，BG平分∠ABC，
∵GM⊥BA，GN⊥BC，
∴GM＝GN，
∴S△ABGS△BCG=12⋅AB⋅GM12⋅BC⋅GN=ABBC=23，
故答案为：23．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
10．（2022•长沙一模）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：
①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN，交OB于点C，连接CD．
②以D为圆心，DO长为半径画GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为 30° ．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】30°．
【分析】由作法得OD＝OC，DO＝DE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠DEO＝∠DOE＝40°，∠ODE＝100°，∠ODC＝70°，然后计算∠ODE﹣∠ODC即可．
【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，
∵DO＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝40°，
∴∠ODE＝180°﹣∠DOE﹣∠DEO＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD=12（180°﹣∠DOC）=12×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CDE＝∠ODE﹣∠ODC＝100°﹣70°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
11．（2022•凤凰县模拟）如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，AB＝10，点E是边AB的中点．分别以点B，D为圆心，以BE的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CB，CD，则四边形BCDE的面积为 2532 ．
【考点】作图—复杂作图；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定与性质．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】2532．
【分析】根据直角三角形的性质得到DE＝BE＝AE，推出四边形BCDE是菱形，求得△BDE是等边三角形，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠ADB＝90°，BE＝AE，
∴DE＝BE＝AE，
∵BC＝DC＝BE，
∴BE＝BC＝CD＝DE，
∴四边形BCDE是菱形，
∵∠ADB＝90°，∠A＝30°，
∴∠DBE＝60°，
∵EB＝ED，
∴△BDE是等边三角形，
∴菱形BCDE的面积＝2S△BDE＝2×34×52=2532，
故答案为：2532．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（2022•开福区校级二模）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若∠B＝30°，∠A＝65°，则∠ACD的度数为 55° ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】55°．
【分析】由作图可知，MN垂直平分线段BC，推出DC＝DB，可得∠B＝∠DCB＝30°，求出∠CDA即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝30°，
∴∠CDA＝∠B+∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，
故答案为55°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（2023•湖南模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN为半径作弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，若BC＝5，AD＝2，则△BCD的面积为 5 ．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】5．
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
由作法得BD平分∠ABC，
∵∠A＝90°，
∴DA＝DE＝2，
∵BC＝5，
∴△BCD的面积=12×5×DE=12×5×2=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
14．（2023•天心区校级三模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4．依据尺规作图的痕迹，当CD＝3时，BC的长是 8 ．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】8．
【分析】先利用基本作图得到DE垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，接着利用勾股定理计算出AD＝5，则BD＝5，然后计算CD+BD即可．
【解答】解：由作图痕迹得DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，CD＝3，
∴AD=32+42=5，
∴BD＝5，
∴BC＝CD+BD＝3+5＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
三．解答题（共8小题）
15．（2021•岳麓区校级一模）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB．
作法：如图①作射线O'A'；
②以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；③以O′为圆心，OC为半径作弧C'E'，交OA'于C'；
④以C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；⑤过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是 ④ ．（填序号）①ASA②SAS③AAS④SSS．
（2）请证明∠A'O'B'＝∠AOB．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【专题】作图题；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）④；
（2）见解析．
【分析】（1）利用基本作图得到得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，C′D′＝CD，然后根据全等三角形的判定方法证明两三角形全等，从而利用对应角相等得到∠A'O'B'就是所求作的角；
（2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）解：由作法得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，C′D′＝CD，
所以根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD，
所以∠O′＝∠O．
故答案为：④；
（2）证明：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'
在△OCD和△O'C'D'中，
OC=O′C′OD=O′D′CD=C′D′，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．
16．（2021•芙蓉区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ACB＝50°，∠ACB的平分线交AB于点D．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线BO交CD于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求∠BOD的度数．
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）图形见解答；
（2）55°．
【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠ABC的平分线BO交CD于点O；
（2）根据角平分线定义和内角和定理即可求∠BOD的度数
【解答】解：（1）如图，BO即为所求；
（2）∵∠BAC＝70°，∠ACB＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵CD平分∠ACB，BO平分∠ABC，
∴∠OCB=12∠ACB＝25°，∠OBC=12∠ABC＝30°，
∴∠BOD＝∠OCB+∠OBC＝25°+30°＝55°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
17．（2021•望城区模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）如图1，作△ABC的高线CD；
（2）直接写出ADBD的值 76 ；
（3）在BC边上取点E，使得tan∠BAE=34；
（4）如图2，在（1）的条件下，在AC边上取一点P，使BP+DP的值最小．
【考点】作图—应用与设计作图；轴对称﹣最短路线问题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形的高的定义即可作△ABC的高线CD；
（2）根据等面积法求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，即可得ADBD的值；
（3）根据正切的定义即可在BC边上取点E，使得tan∠BAE=34；
（4）根据两点之间线段最短，使DP和BP能在一条直线上，作AC的垂线BG，再作AC的平行线JK，交BG于点H，使得AC垂直平分BH，连接DH交AC于点P，即可使BP+DP的值最小．
【解答】解：（1）如图1，高线CD即为所求；
（2）∵S△BCF=12×BC•BF=12FC•BD，
∴3×2=13BD，
∴BD=613，
∵AB＝CF=22+32=13，
∴AD＝AB﹣BD=13−613=713，
∴ADBD=713613=76．
∴ADBD的值为76；
故答案为：76；
（3）如图2，点E即为所求；
（4）如图3，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短路线问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解决本题的关键是根据题意准确画图．
18．（2022•长沙一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l，
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC＝AP，
∴BC= PA ．
∴∠ABP＝∠BPC（ 同弧或等弧所对的圆周角相等 ）（填推理依据）．
∴直线PC∥直线l．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）连接PB，只要证明∠ABP＝∠CPB即可．
【解答】解：（1）如图，直线PC即为所求作．
（2）证明：连接PB．
∵BC＝AP，
.∴BC=AP，
∴∠ABP＝∠BPC（同弧或等弧所对的圆周角相等），
∴直线PC∥直线l．
故答案为：PA，同弧或等弧所对的圆周角相等．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2022•开福区校级模拟）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC．点D在BC上，且到边AC和AB的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B＝36°，求∠CAD的度数．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）27°．
【分析】（1）作∠CAB的角平分线交BC于点D，点D即为所求；
（2）利用三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
（2）∵∠C＝90°，∠B＝36°，
∴∠CAB＝90°﹣36°＝54°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=12∠CAB＝27°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
20．（2022•开福区三模）已知：如图1，∠MON．
求作：∠BAD，使∠BAD＝∠MON．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法，如图2：
①在OM上取一点A，以A为圆心，OA为半径画弧，交射线OA于点B；
②在射线ON上任取一点C，连接BC，分别以B，C为圆心，大于12BC为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF，与BC交于点D；
③作射线AD，∠BAD即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下列证明．
证明：∵EF垂直平分BC，
∴ BD ＝DC．
∵AO＝AB，
∴AD∥OC（ 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 ）（填推理依据）．
∴∠BAD＝∠MON．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；证明题；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）图形见解答；
（2）BD，三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
【分析】（1）根据题意即可完成作图；
（2）根据作图过程可得EF是BC的垂直平分线，然后根据三角形中位线定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∵AO＝AB，
∴AD∥OC（三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
∴∠BAD＝∠MON．
故答案为：BD，三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
21．（2023•郴州模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线BE，交AD于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）点F是BC上一点，连接EF．已知BF＝AB，求证：四边形ABFE为菱形．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；尺规作图；推理能力．
【答案】（1）图形见解析；
（2）答案见解析．
【分析】（1）在线段AD上截取线段AE，使得AE＝AB，作射线BE即可；
（2）根据已知条件结合作图可得AB＝BF＝AE，AE∥BF，由菱形的判定即可证得结论．
【解答】（1）解：如图，射线BE即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，
由作图可知AE＝AB，
∵BF＝AB，
∴AE＝BF，
∴四边形ABFFE是平行四边形，
∴四边形ABFE为菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（2023•长沙模拟）如图，已知直线l及直线l外一点P，按照如下步骤进行尺规作图：
①在直线l上取一点A，连接PA；
②分别以点P，A为圆心、大于12PA的长为半径画弧，分别交于M，N两点，作直线MN，交PA于点O，交直线l于点B；
③以点O为圆心、OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q，作直线PQ．
根据上述尺规作图的步骤和痕迹，请回答下列问题：
（1）下列结论不一定成立的是 ④ （填序号）；
①BQ⊥AP
②PQ＝AB
③PQ∥AB
④OM＝QM
（2）若∠PQB＝45°，PA＝2，求BQ的长．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图．
【答案】（1）④；
（2）BQ＝2．
【分析】（1）由作图可得BQ垂直平分AP，OB＝OQ，根据SAS可得△POQ≌△AOB（SAS），根据全等三角形的性质可得PQ＝AB，∠PQO＝∠ABO，可得PQ∥AB，无法得出OM＝QM，即可得出结论；
（2）根据BQ垂直平分AP得OP＝OA=12PA＝1，根据平行线的性质得∠ABO＝∠PQB＝45°，则△ABO、△PQO是等腰直角三角形，可得OB＝OQ＝1，即可求解．
【解答】解：（1）由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，
∴OP＝OA，PA⊥BQ，
在△POQ和△AOB中，
OP=OA∠POQ=∠AOBOQ=OB，
∴△POQ≌△AOB（SAS），
∴PQ＝AB，∠OQP＝∠OBA，
∴PQ∥AB，
∵点M的位置不确定，
∴OM＝QM不一定成立；
故答案为：④；
（2）∵∠PQB＝45°，
∴∠ABO＝∠PQB＝45°，
∵BQ垂直平分PA，
∴△ABO、△PQO是等腰直角三角形，
∴OB＝OA，OQ＝OP，
∵BQ垂直平分AP，
∴OP＝OA=12PA＝1，
∴OB＝OA＝1，OQ＝OP＝1，
∴BQ＝OB+OQ＝2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质。