三年湖南中考数学模拟题分类汇总之二次根式

这是一份三年湖南中考数学模拟题分类汇总之二次根式，共14页。
A．2+3=5B．10＝0
C．（﹣3a）3＝﹣27a3D．a6÷a2＝a3
2．（2023•衡南县三模）下列计算正确的是（ ）
A．5−3=2B．35×23=615C．(22)2=16D．33=1
3．（2023•长沙县二模）下列根式中与2是同类二次根式的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．（2023•芙蓉区校级三模）下列计算正确的是（ ）
A．8÷2=22B．9=±3C．(−3)2=3D．12×4=2
5．（2022•雨花区校级二模）下列各运算中，正确的运算是（ ）
A．2+3=5B．（2a）3＝8a3
C．a8÷a4＝a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
6．（2022•江华县模拟）下列计算正确的是（ ）
A．2×5=10B．a6÷a2＝a3
C．（﹣2a2）3＝6a5D．3a3•2a2＝6a6
7．（2022•湘潭县校级模拟）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积为（ ）
A．14B．214C．314D．414
8．（2021•涟源市一模）若代数式xx−2有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥0C．x＞0且x≠2D．x≥0且x≠2
9．（2021•零陵区一模）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2B．（a3）2＝a5C．6÷2=3D．22+33=55
10．（2021•零陵区二模）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4B．（2a）2＝2a2C．3×3=3D．23−3=2
二．填空题（共8小题）
11．（2021•长沙模拟）若二次根式2x−1有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2021•芦淞区模拟）若3x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．（2021•娄星区模拟）函数y=1−x的自变量x的取值范围是 ．
14．（2022•永州一模）若二次根式x+2有意义，则x的取值范围为 ．
15．（2022•岳麓区校级三模）x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
16．（2022•天心区二模）若式子x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
17．（2023•邵阳县一模）古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c．记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=P(P−a)(P−b)(P−c)，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为 ．
18．（2023•望城区模拟）若1−3x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
三．解答题（共4小题）
19．（2023•天心区校级一模）计算：
（1）48÷8−23−16．
（2）(52+25)(52−25)+(3−1)2．
20．（2022•祁阳县校级模拟）计算(−12)0+(13)−1×23−(tan45°−3)2．
21．（2023•桑植县模拟）我们以前学过完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3＝（3）2，5＝（5）2，下面我们观察：（2−1）2＝（2）2﹣2×1×2+12＝2﹣22+1＝3﹣22．
反之，3﹣22=2﹣22+1＝（2−1）2
∵3﹣22=（2−1）2
∴3−22=2−1．
仿上例，求：
（1）4−23；
（2）计算：3−22+5−26+7−212+⋯⋯+19−290；
（3）若a=12−1，则求4a3﹣9a2﹣2a+1的值．
22．（2023•怀化二模）先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2−1．
湖南三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总--二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023•湖南模拟）下列运算正确的是（ ）
A．2+3=5B．10＝0
C．（﹣3a）3＝﹣27a3D．a6÷a2＝a3
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；零指数幂．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用二次根式的加法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、2与3不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、10＝1，故B不符合题意；
C、（﹣3a）3＝﹣27a3，故C符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2023•衡南县三模）下列计算正确的是（ ）
A．5−3=2B．35×23=615C．(22)2=16D．33=1
【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、5与−3不能合并，故A不符合题意；
B、35×23=615，故B符合题意；
C、（22）2＝8，故C不符合题意；
D、33=3，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2023•长沙县二模）下列根式中与2是同类二次根式的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】同类二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、5与2不是同类二次根式，不符合题意；
B、6与2不是同类二次根式，不符合题意；
C、7与2不是同类二次根式，不符合题意；
D、8=4×2=22，与2是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
4．（2023•芙蓉区校级三模）下列计算正确的是（ ）
A．8÷2=22B．9=±3C．(−3)2=3D．12×4=2
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、8÷2=4=2，故此选项错误；
B、9=3，故此选项错误；
C、(−3)2=3，正确；
D、12×4=22×4＝22，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
5．（2022•雨花区校级二模）下列各运算中，正确的运算是（ ）
A．2+3=5B．（2a）3＝8a3
C．a8÷a4＝a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式．
【专题】计算题；整式；二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】分别按照二次根式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂顶点除法的法则及完全平方公式分析即可．
【解答】解：A、∵2与3不是同类二次根式，
∴2与3不能合并，故A错误；
B、按照积的乘方的运算法则可知，（2a）3＝8a3，故B正确；
C、按照同底数幂的除法的运算法则可知，a8÷a4＝a4，故C错误；
D、根据完全平方公式可知，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D错误．
综上，只有B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的加法运算及整式乘除法的相关运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．（2022•江华县模拟）下列计算正确的是（ ）
A．2×5=10B．a6÷a2＝a3
C．（﹣2a2）3＝6a5D．3a3•2a2＝6a6
【考点】二次根式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；单项式乘单项式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用二次根式的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、2×5=10，题干计算正确，符合题意；
B、a6÷a2＝a4，题干计算错误，不符合题意；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，题干计算错误，不符合题意；
D、3a3•2a2＝6a5，题干计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式，掌握相应的运算法则是关键．
7．（2022•湘潭县校级模拟）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积为（ ）
A．14B．214C．314D．414
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据海伦﹣秦九韶公式即可解决此题．
【解答】解：∵a＝3，b＝5，c＝6，
∴p=a+b+c2=3+5+62=7．
∴S△ABC=7×(7−3)×(7−5)×(7−6)=214．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
8．（2021•涟源市一模）若代数式xx−2有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥0C．x＞0且x≠2D．x≥0且x≠2
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：
x≥0x−2≠0，
∴x≥0且x≠2，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
9．（2021•零陵区一模）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2B．（a3）2＝a5C．6÷2=3D．22+33=55
【考点】二次根式的混合运算；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，二次根式的除法法则及二次根式的加法法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；
C、6÷2=3，故C符合题意；
D、22与33不属于同类二次根式，不能合并，故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．（2021•零陵区二模）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4B．（2a）2＝2a2C．3×3=3D．23−3=2
【考点】二次根式的混合运算；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、幂的乘方法则、二次根式的乘法法则、合并同类二次根式法则逐项判断．
【解答】解：a2+a2＝2a2，故A不正确，不符合题意；
（2a）2＝4a2，故B不正确，不符合题意；
3×3=3，故C正确，符合题意；
23−3=3，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式、二次根式的运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．
二．填空题（共8小题）
11．（2021•长沙模拟）若二次根式2x−1有意义，则x的取值范围是 x≥12 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得出x的取值范围．
【解答】解：∵二次根式2x−1有意义，
∴2x﹣1≥0，
解得：x≥12．
故答案为：x≥12．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握：二次根式有意义，被开方数为非负数．
12．（2021•芦淞区模拟）若3x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥13 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得，x≥13，
故答案为：x≥13．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13．（2021•娄星区模拟）函数y=1−x的自变量x的取值范围是 x≤1 ．
【考点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的意义，列不等式求x的取值范围．
【解答】解：根据二次根式的意义，
1﹣x≥0，解得x≤1．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14．（2022•永州一模）若二次根式x+2有意义，则x的取值范围为 x≥﹣2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
15．（2022•岳麓区校级三模）x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥2．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
16．（2022•天心区二模）若式子x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；推理能力．
【答案】x≥1．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得x﹣1≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子x−1在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1，
∴实数x的取值范围是x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
17．（2023•邵阳县一模）古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c．记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=P(P−a)(P−b)(P−c)，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为 45 ．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】45
【分析】先根据△ABC的三边长求出p的值，然后再代入面积公式S=P(P−a)(P−b)(P−c)，进行计算即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：a＝6，b＝7，c＝3，
∴p=a+b+c2=6+7+32=8，
∴S=P(P−a)(P−b)(P−c)
=8(8−6)(8−7)(8−3)
=8×2×1×5
=45，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键．
18．（2023•望城区模拟）若1−3x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≤13 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义的条件得出1﹣3x≥0，再求出答案即可．
【解答】解：要使1−3x在实数范围内有意义，必须1﹣3x≥0，
解得：x≤13．
故答案为：x≤13．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记a中a≥0是解此题的关键．
三．解答题（共4小题）
19．（2023•天心区校级一模）计算：
（1）48÷8−23−16．
（2）(52+25)(52−25)+(3−1)2．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先利用二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式=488−63−66
=6−63−66
=62；
（2）原式＝50﹣20+3﹣23+1
＝34﹣23．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
20．（2022•祁阳县校级模拟）计算(−12)0+(13)−1×23−(tan45°−3)2．
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求得：(−12)0=1，(13)−1=3，23=233，(tan45°−3)2=3−1，再求值即可．
【解答】解：(−12)0+(13)−1×23−(tan45°−3)2，
＝1+3×233−3+1，
＝1+23−3+1，
＝2+3．
【点评】此题考查了实数的运算．注意零指数、负指数以及二次根式的化简等知识的合理应用．
21．（2023•桑植县模拟）我们以前学过完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3＝（3）2，5＝（5）2，下面我们观察：（2−1）2＝（2）2﹣2×1×2+12＝2﹣22+1＝3﹣22．
反之，3﹣22=2﹣22+1＝（2−1）2
∵3﹣22=（2−1）2
∴3−22=2−1．
仿上例，求：
（1）4−23；
（2）计算：3−22+5−26+7−212+⋯⋯+19−290；
（3）若a=12−1，则求4a3﹣9a2﹣2a+1的值．
【考点】二次根式的化简求值；规律型：数字的变化类；分母有理化．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（3）各式变形后，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）4−23=(3−1)2=3−1；
（2）3−22+5−26+7−212+⋯⋯+19−290
=(2−1)2+(3−2)2+(4−3)2+⋯⋯+(10−9)2
=2−1+3−2+4−3+⋯⋯+10−9
＝﹣1+10；
（3）∵a=12−1=2+1，
∴a2＝3+22，
∴原式＝4a3﹣8a2﹣a2﹣2a+1
＝4a2（a﹣2）﹣a（a+2）+1
＝4（3+22）（2−1）﹣（2+1）（2+3）+1
＝0．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义以及熟练掌握平方差公式是解题关键．
22．（2023•怀化二模）先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2−1．
【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（xx−1−x−1x−1）÷(x+1)2(x+1)(x−1)
=1x−1×x−1x+1
=1x+1，
当x=2−1时，原式=12−1+1=22．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键。