三年湖南中考数学模拟题分类汇总之一元二次方程

这是一份三年湖南中考数学模拟题分类汇总之一元二次方程，共20页。
A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝82
2．（2022•永州一模）基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+9a≥2a⋅9a=6，当且仅当a＝3时取等号，a+9a的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+1x−1的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．（2023•双峰县三模）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
C．2500（1+x%）2＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
二．填空题（共9小题）
4．（2023•永兴县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
5．（2023•岳麓区一模）方程3x2﹣6x＝0的解是 ．
6．（2023•岳阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，且α+2β＝5，则m的值为 ．
7．（2022•湘潭县校级模拟）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为 ．
8．（2022•攸县模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
9．（2022•凤凰县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
10．（2021•岳阳一模）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
11．（2021•雨花区校级一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则1x1+1x2的值是 ．
12．（2021•岳麓区校级二模）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人．
三．解答题（共10小题）
13．（2021•岳阳一模）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？
14．（2021•娄底模拟）为提高教学质量，市教育局准备采购若干套投影设备升级各学校教学硬件，经考察，某公司有A、B两种型号的投影设备可供选择．
（1）该公司2021年年初每套A型投影设备的售价为2.5万元，经过连续两次降价，年底每套售价为1.6万元，求每套A型投影设备平均下降率n；
（2）2021年年底市教育局经过招标，决定采购并安装该公司A，B两种型号的投影设备共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型投影设备售价为1.6万元，每套B型投影设备售价为1.5（1﹣n）万元，则A型投影设备最多可购买多少套？
15．（2021•湘潭模拟）每年农历五月初五，是中国民间传统节日﹣﹣端午节．今年端午节，某蛋糕店推出了蛋黄肉粽和白粽两种粽子，其中蛋黄肉粽的销售单价为每千克30元，白粽的销售单价为每千克20元.5月份，蛋黄肉粽和白粽共销售了100千克，销售总额为2600元．
（1）5月份，蛋黄肉粽的销售数量是多少千克？
（2）为迎接端午节的到来，6月份该蛋糕店将蛋黄肉粽的销售单价降低了13a%，其销量在5月份的基础上增加了43a%；白粽的销售单价保持不变，其销量在5月份的基础上增加了12a%．6月份两种粽子的销售总额比5月份两种粽子的销售总额增加了913a%，求a的值．
16．（2022•宜章县校级模拟）先化简，再求值：(2m−1m+1−m+1)÷m−2m2+2m+1+2m，其中m是方程x2﹣x﹣5＝0的根．
17．（2022•天心区二模）为了进一步改善生态环境，开州区政府拟对总面积为19000平方米的某公园进行绿化升级．某施工队按计划施工10天后，区政府要求绿化工程必须在15天内完成，于是该施工队将每天的绿化任务提高了80%，圆满的在规定期限内完成了任务．
（1）该工程队原计划每天的绿化任务至少是多少平方米？
（2）如图，在绿化过程中，欲修建一个中间隔有一道篱笆，面积为180平方米的长方形花圃ABCD，该花圃一面靠墙（墙的最大可用长度为18米），其余部分由篱笆围成．为了进出方便，在实际修建过程中，除墙外的其他各边都用木质材料共修建了5个宽都为1米的小门，剩余部分刚好用完总长为43米的篱笆，那么该花圃的长和宽各应设计为多少米？
18．（2022•宁远县模拟）已知一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1•x2﹣（x1+x2）＝﹣3，求m的值．
19．（2023•衡南县三模）国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
20．（2023•湖南模拟）今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，27个旅游景区五天累计接待游客194.98万人，成为全国十大必到城市之一．长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为14.4万元，据估计第3天、第4天营业额的增长率相同．
（1）求该网红店第3，4天营业额的平均增长率；
（2）若第1天的营业额为4.6万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的10%，求该网红店第5天营业额．
21．（2023•宁乡市模拟）为了推A动长沙旅游业跨越发展，某旅行社推出“湖南博物院+岳麓书院+橘子洲”一日游活动团队旅游收费标准：如果人数不超过20人，人均费用为280元；如果超过20人，每增加1人，人均费用降低8元，但人均费用不得低于200元．
（1）当旅游人数为a人时，人均费用为200元，求a的取值范围；
（2）若某团队其支付旅游费用5888元，求该团队有多少人．
22．（2023•武陵区一模）解方程与化简：
（1）解方程：x2﹣10x＝﹣9；
（2）化简：（1−aa2+a）÷a2−1a2+2a+1．
湖南三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总--一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2021•长沙模拟）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝82
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；模型思想；应用意识．
【答案】C
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022•永州一模）基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+9a≥2a⋅9a=6，当且仅当a＝3时取等号，a+9a的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+1x−1的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【考点】配方法的应用；不等式的性质；非负数的性质：偶次方．
【专题】构造法；分式；符号意识；运算能力．
【答案】B
【分析】4x+1x−1=4x﹣4+1x−1+4＝4（x﹣1）+1x−1+4，把（x﹣1）看成一个整体，根据题目中的性质和运算过程运算即可．
【解答】解：4x+1x−1
＝4x﹣4+1x−1+4
＝4（x﹣1）+1x−1+4，
∵x＞1，
∴x﹣1＞0，
∴4x+1x−1=4（x﹣1）+1x−1+4≥24(x−1)⋅1x−1+4＝8，
∴4x+1x−1的最小值是8．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，非负数的性质，不等式的性质，读懂题意，灵活运用非负数的性质是解答此题的关键．
3．（2023•双峰县三模）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
C．2500（1+x%）2＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x，根据计划第二季度的总营业额达到9100万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共9小题）
4．（2023•永兴县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝ 1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根的条件Δ＝0．
5．（2023•岳麓区一模）方程3x2﹣6x＝0的解是 x1＝0，x2＝2 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝0，x2＝2．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：3x（x﹣2）＝0，
3x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
6．（2023•岳阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，且α+2β＝5，则m的值为 1或﹣1 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1或﹣1．
【分析】根据根与系数的关系即可得出α+β＝2，αβ＝﹣3m2，再由α+2β＝5，求出β＝3，α＝﹣1，进而根据αβ＝﹣3m2得出﹣33m2，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣3m2，
∵α+2β＝5，
∴β＝5﹣2＝3，
∴α＝2﹣3＝﹣1，
∴αβ＝﹣3，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3＝﹣3m2，
解得m＝1或﹣1．
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3m2）＝4+12m2＞0，
故m的值为1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式以及一元二次方程的根与系数的关系．
7．（2022•湘潭县校级模拟）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为 4 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】推理填空题．
【答案】4．
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于−ba，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：﹣1+m＝3，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于−ba是解题的关键．
8．（2022•攸县模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝ ﹣1 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣（﹣5）＝5，x1x2＝6，代入即可求出代数式的值．
【解答】解：根据题意，得x1+x2＝﹣（﹣5）＝5，
x1x2＝6，
∴x1+x2﹣x1x2＝5﹣6＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
9．（2022•凤凰县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是 9 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】9．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根得Δ＝36﹣4c＝0，进行计算即可得．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝36﹣4c＝0，
∴c＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系．
10．（2021•岳阳一模）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜5且k≠1 ．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0△=42−4(k−1)＞0，
解得：k＜5且k≠1．
故答案为：k＜5且k≠1．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据二次项系数非零以及根的判别式Δ＞0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
11．（2021•雨花区校级一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则1x1+1x2的值是 −47 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】−47．
【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，利用代数式变形分别得到x1+x2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，
1x1+1x2=x1+x2x1x2=4−7=−47，
故答案为−47．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
12．（2021•岳麓区校级二模）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 12 人．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解．
【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x＝169
x＝12或x＝﹣14（舍去）．
平均一人传染12人．
故答案为：12．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．
三．解答题（共10小题）
13．（2021•岳阳一模）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）20%；
（2）260个．
【分析】（1）设该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据该市2018年底和2020年底的养老床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据床位数＝单人间数+2×双人间数+3×三人间数，即可得出y关于t的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
则y＝t+2×2t+3（100﹣t﹣2t）＝﹣4t+300（10≤t≤30）．
∵k＝﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小，
∴当t＝10时，y取得最大值，最大值＝﹣4×10+300＝260（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于t的函数关系式．
14．（2021•娄底模拟）为提高教学质量，市教育局准备采购若干套投影设备升级各学校教学硬件，经考察，某公司有A、B两种型号的投影设备可供选择．
（1）该公司2021年年初每套A型投影设备的售价为2.5万元，经过连续两次降价，年底每套售价为1.6万元，求每套A型投影设备平均下降率n；
（2）2021年年底市教育局经过招标，决定采购并安装该公司A，B两种型号的投影设备共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型投影设备售价为1.6万元，每套B型投影设备售价为1.5（1﹣n）万元，则A型投影设备最多可购买多少套？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）每套A型投影设备年平均下降率n为20%；
（2）A型投影设备最多可购买40套．
【分析】（1）该每套A型投影设备年平均下降率n，则第一次降价后的单价是原价的（1﹣n），第二次降价后的单价是原价的（1﹣n）2，根据题意列方程解答即可．
（2）设A型投影设备可购买m套，则B型投影设备可购买（80﹣m）套，根据采购专项经费总计不超过112万元列出不等式并解答；
【解答】解：（1）依题意得：2.5（1﹣n）2＝1.6，
则（1﹣n）2＝0.64，
所以1﹣n＝±0.8，
所以n1＝0.2＝20%，n2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：每套A型投影设备年平均下降率n为20%；
（2）设A型投影设备可购买m套，则B型投影设备可购买（80﹣m）套，
依题意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，
整理，得1.6m+96﹣1.2m≤112，
解得m≤40，
即A型投影设备最多可购买40套．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用．解题的关键是读懂题意，找到题中的等量关系，列出方程或不等式，解答即可得到答案．
15．（2021•湘潭模拟）每年农历五月初五，是中国民间传统节日﹣﹣端午节．今年端午节，某蛋糕店推出了蛋黄肉粽和白粽两种粽子，其中蛋黄肉粽的销售单价为每千克30元，白粽的销售单价为每千克20元.5月份，蛋黄肉粽和白粽共销售了100千克，销售总额为2600元．
（1）5月份，蛋黄肉粽的销售数量是多少千克？
（2）为迎接端午节的到来，6月份该蛋糕店将蛋黄肉粽的销售单价降低了13a%，其销量在5月份的基础上增加了43a%；白粽的销售单价保持不变，其销量在5月份的基础上增加了12a%．6月份两种粽子的销售总额比5月份两种粽子的销售总额增加了913a%，求a的值．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）5月份，蛋黄肉粽的销售数量是60千克；
（2）a的值为50．
【分析】（1）设5月份，蛋黄肉粽的销售数量是x千克，白粽的销售数量是y千克，根据“5月份，蛋黄肉粽和白粽共销售了100千克，销售总额为2600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据销售总额＝销售单价×销售数量结合6月份两种粽子的销售总额比5月份两种粽子的销售总额增加了913a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设5月份，蛋黄肉粽的销售数量是x千克，白粽的销售数量是y千克，
依题意，得：x+y=10030x+20y=2600，
解得：x=60y=40．
答：5月份，蛋黄肉粽的销售数量是60千克．
（2）依题意，得：30（1−13a%）×60（1+43a%）+20×40（1+12a%）＝2600（1+913a%），
整理，得：a2﹣50a＝0，
解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝50．
答：a的值为50．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
16．（2022•宜章县校级模拟）先化简，再求值：(2m−1m+1−m+1)÷m−2m2+2m+1+2m，其中m是方程x2﹣x﹣5＝0的根．
【考点】一元二次方程的解；分式的化简求值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣m2+m+2，﹣3．
【分析】先把分式进行计算化简，再把m＝﹣1代入计算即可得出结果．
【解答】解：(2m−1m+1−m+1)÷m−2m2+2m+1+2m
＝（2m−1m+1−m2−1m+1）•(m+1)2m−2+2m
=m(2−m)m+1•(m+1)2m−2+2m
＝﹣m2+m+2，
∵m是方程x2﹣x﹣5＝0的根，
∴m2﹣m＝5，
原式＝﹣5+2＝﹣3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，把分式正确化简是解题的关键．
17．（2022•天心区二模）为了进一步改善生态环境，开州区政府拟对总面积为19000平方米的某公园进行绿化升级．某施工队按计划施工10天后，区政府要求绿化工程必须在15天内完成，于是该施工队将每天的绿化任务提高了80%，圆满的在规定期限内完成了任务．
（1）该工程队原计划每天的绿化任务至少是多少平方米？
（2）如图，在绿化过程中，欲修建一个中间隔有一道篱笆，面积为180平方米的长方形花圃ABCD，该花圃一面靠墙（墙的最大可用长度为18米），其余部分由篱笆围成．为了进出方便，在实际修建过程中，除墙外的其他各边都用木质材料共修建了5个宽都为1米的小门，剩余部分刚好用完总长为43米的篱笆，那么该花圃的长和宽各应设计为多少米？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）1000平方米；
（2）长18米，宽10米．
【分析】（1）设该工程队原计划每天的绿化任务是x平方米，则提高工作效率后每天的绿化面积是（1+80%）x平方米，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合要在15天内完成面积为19000平方米的绿化升级任务，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）设AB＝y米，则BC＝（43+5﹣3y）米，利用长方形的面积计算公式，结合长方形花圃的面积为180平方米，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合墙的最大可用长度为18米，即可得出该花圃的长和宽．
【解答】解：（1）设该工程队原计划每天的绿化任务是x平方米，则提高工作效率后每天的绿化面积是（1+80%）x平方米，
依题意得：10x+（15﹣10）×（1+80%）x≥19000，
解得：x≥1000．
答：该工程队原计划每天的绿化任务至少是1000平方米．
（2）设AB＝y米，则BC＝（43+5﹣3y）米，
依题意得：y（43+5﹣3y）＝180，
整理得：y2﹣16y+60＝0，
解得：y1＝6，y2＝10．
当y＝6时，43+5﹣3y＝43+5﹣3×6＝30＞18，不合题意，舍去；
当y＝10时，43+5﹣3y＝43+5﹣3×10＝18．
答：该花圃的长应设计为18米，宽应设计为10米．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
18．（2022•宁远县模拟）已知一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1•x2﹣（x1+x2）＝﹣3，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m＞﹣1；
（2）m＝5．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得出Δ＞0，求出k的取值范围即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣m，根据x1•x2﹣（x1+x2）＝﹣3列出关于m的方程，然后解方程求出m的值．
【解答】解：（1）由题意可得Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＞0，
解得m＞﹣1；
（2）∵一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣m，
由x1•x2﹣（x1+x2）＝﹣3得﹣m﹣（﹣2）＝﹣3，
解得m＝5．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
19．（2023•衡南县三模）国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣10x+300（12≤x≤30）；
（2）售价应定为16元．
【分析】（1）根据当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，即可得出结论；
（2）根据获得840元利润，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【解答】解：（1）由题意可知，y＝180﹣10（x﹣12）＝﹣10x+300，
即蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系为y＝﹣10x+300（12≤x≤30）；
（2）设王大伯获得的利润为W元，
则W＝（x﹣10）y＝﹣10x2+400x﹣3000，
由题意得：﹣10x2+400x﹣3000＝840，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得：x1＝16，x2＝24（不符合题意，舍去），
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
【点评】本题考查了咿呀UN而出的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找出数量关系，正确求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20．（2023•湖南模拟）今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，27个旅游景区五天累计接待游客194.98万人，成为全国十大必到城市之一．长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为14.4万元，据估计第3天、第4天营业额的增长率相同．
（1）求该网红店第3，4天营业额的平均增长率；
（2）若第1天的营业额为4.6万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的10%，求该网红店第5天营业额．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该网红店第3，4天营业额的平均增长率为x，根据第4天营业额＝第2天营业额（1+该网红店第3，4天营业额的平均增长率）2，列出一元二次方程，解方程即可；
（3）求出前四天营业额，即可得出第五天营业额．
【解答】解：（1）设该网红店第3，4天营业额的平均增长率为x，
由题意得：10（1+x）2＝14.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：该网红店第3，4天营业额的平均增长率为20%；
（3）前四天营业额为：4.6+10+10×（1+20%）+14.4＝41（万元），
第五天营业额为：41×10%＝4.1（万元），
答：该网红店第5天营业额为4.1万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（2023•宁乡市模拟）为了推A动长沙旅游业跨越发展，某旅行社推出“湖南博物院+岳麓书院+橘子洲”一日游活动团队旅游收费标准：如果人数不超过20人，人均费用为280元；如果超过20人，每增加1人，人均费用降低8元，但人均费用不得低于200元．
（1）当旅游人数为a人时，人均费用为200元，求a的取值范围；
（2）若某团队其支付旅游费用5888元，求该团队有多少人．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）a≥30；
（2）23．
【分析】（1）直接表示出人均费用，进而得出答案；
（2）易得人数超过了20人，等量关系为：（人均旅游费用﹣超过20人的人数×8）×人数＝5888，把相关数值代入求得人均旅游费用不得低于200元的旅游方案即可．
【解答】解：（1）由题意可得：280﹣8（a﹣20）＝200，
解得：a＝30，
故当a≥30时，人均费用为30元；
（2）设该团队这次旅游共有x人．
因为280×20＝5600＜5888，所以人数一定超过20人．
可得方程[280﹣8（x﹣20）]x＝5888，x2﹣55x+736＝0，
整理得x2﹣55x+736＝0，
解得：x1＝23，x2＝32，
当x1＝23时，280﹣8（x﹣20）＝256＞200，符合题意；
当x2＝32时，280﹣8（x﹣20）＝184＜200，故舍去．
答：该团队有23人．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，得到旅游总费用的等量关系是解决本题的关键；判断相应的方案是解决本题的易错点．
22．（2023•武陵区一模）解方程与化简：
（1）解方程：x2﹣10x＝﹣9；
（2）化简：（1−aa2+a）÷a2−1a2+2a+1．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；分式的混合运算．
【专题】分式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝9，x2＝1；
（2）aa−1．
【分析】（1）利用配方法解方程可求解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果．
【解答】解：（1）配方，得x2﹣10x+25＝﹣9+25，
（x﹣5）2＝16，
开方，得x﹣5＝±4，
∴x1＝4+5＝9，x2＝﹣4+5＝1；
（2）原式=(1−1a+1)÷(a+1)(a−1)(a+1)2
=aa+1÷a−1a+1
=aa+1⋅a+1a−1
=aa−1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键。