三年湖南中考数学模拟题分类汇总之圆

这是一份三年湖南中考数学模拟题分类汇总之圆，共34页。

A．40°B．35°C．30°D．25°
2．（2023•石峰区模拟）如图，等腰△ABC内接于⊙O，点D是圆中优弧上一点，连接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．（2023•郴州模拟）如图，已知点A，B，C都在⊙O上，∠BOC＝110°，则∠A等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
4．（2023•宁乡市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为（ ）
A．4B．42C．43D．8
5．（2022•衡阳模拟）如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（ ）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
6．（2022•攸县模拟）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70°B．110°C．120°D．140°
7．（2022•茶陵县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD＝35°，∠ACB＝45°，则∠BAD等于（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
8．（2021•张家界模拟）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
二．填空题（共7小题）
9．（2023•湖南模拟）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
10．（2023•邵阳县校级模拟）有位同学把一块圆形玻璃打碎，如图．他把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃的周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，他就知道圆玻璃的半径是 cm．
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11．（2023•邵阳县校级模拟）如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO＝45cm，CO＝15cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为 （结果保留π）．
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12．（2022•岳麓区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 米．
13．（2022•开福区校级二模）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，则该扇形纸片的面积为 cm2．
14．（2022•雁峰区校级模拟）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为216°、半径为15cm的扇形，这个圆锥的底面圆半径为 cm．
15．（2021•张家界模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC=42．分别以点A，B，C为圆心，以12AB的长为半径画弧分别与△ABC的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
三．解答题（共7小题）
16．（2023•湖南模拟）定义：如图1，AB是⊙O的直径，若弦CD∥AB，则称弦CD为⊙O的纬线．
（1）如图1，弦CD是⊙O的纬线，求证：AC=BD；
（2）弦CD和弦EF都是半径为5的⊙O的纬线，CD∥EF，CD＝6，EF＝8，求这两条纬线之间的距离；
（3）如图2，弦MN和弦PQ是直径AB两侧的纬线，连接OM、ON、OP、OQ、PM、QN，⊙O的半径为r，记四边形MPQN，△OMN，△OPQ的面积依次为S，S1，S2，若同时满足下列两个条件时，求S的最大值（用含r的式子表示）．
①S1+S2=12S；
②其中的一条纬线长不超过半径r．
17．（2023•天心区校级三模）如图1：在⊙O中，AB为直径，C是⊙O上一点，AC＝3，BC＝4．过O分别作OH⊥BC于点H，OD⊥AC于点D，点E、F分别在线段BC、AC上运动（不含端点），且保持∠EOF＝90°．
（1）OC＝ ；四边形CDOH是 （填矩形/菱形/正方形）；S四边形CDOH＝ ；
（2）当F和D不重合时，求证：△OFD∽△OEH；
（3）①在图1中，⊙P是△CEO的外接圆，设⊙P面积为S，求S的最小值，并说明理由；
②如图2：若Q是线段AB上一动点，且QA：QB＝1：n，∠EQF＝90°，⊙M是四边形CEQF的外接圆，则当n为何值时，⊙M的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．
18．（2022•天心区二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线，交OD的延长线于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC＝6，tanE=34，求BE的长．
19．（2022•攸县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝BC，AD是⊙O的直径，AC，BD交于点E，P为DB的延长线上一点，且PB＝BE．
（1）求证：△ABE∽△DBA；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若E为BD的中点，求tan∠ADC的值．
20．（2022•澧县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．
（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为5，tan∠BDC=12，求AC的长．
21．（2021•湖南模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD、BC，若∠ABD＝2∠BDC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：△ABC∽△CBE；
（3）若⊙O的半径为5，tan∠BDC=12，求BE的长．
22．（2021•渌口区模拟）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA=35时，求AF的长．
湖南三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总--圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•雨花区校级二模）如图A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=12∠AOB，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB=12∠AOB＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠ACB=12∠AOB是解此题的关键．
2．（2023•石峰区模拟）如图，等腰△ABC内接于⊙O，点D是圆中优弧上一点，连接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】D
【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝70°，再利用三角形内角和定理可得∠A＝40°，然后利用同弧所对的圆周角相等，即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°，
∴∠A＝∠BDC＝40°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及圆周角定理是解题的关键．
3．（2023•郴州模拟）如图，已知点A，B，C都在⊙O上，∠BOC＝110°，则∠A等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠A和∠BOC都对BC，
∴∠A=12∠BOC=12×110°＝55°．
故选：A．
【点评】本题考查了周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．（2023•宁乡市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为（ ）
A．4B．42C．43D．8
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OD交AC于F，如图，根据垂径定理得到OD⊥AC，则AF＝CF，根据圆周角定理得到∠C＝90°，所以OD∥BC，接着证明△BCE≌△DFE得到BC＝DF，则OF=12BC，所以OF=13OD＝1，然后利用勾股定理计算出AF，从而得到AC的长．
【解答】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
在△BCE和△DFE中，
∠CBE=∠DBE=DE∠BEC=∠DEF，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OF=12BC，
∴OF=12DF，
∴OF=13OD＝1，
在Rt△OAF中，AF=32−12=22，
∴AC＝2AF＝42．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
5．（2022•衡阳模拟）如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（ ）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】正多边形与圆．
【答案】D
【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CP=2≠PA，于是得到结论．
【解答】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP=2≠PA，
∴排除C选项，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
6．（2022•攸县模拟）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70°B．110°C．120°D．140°
【考点】圆周角定理．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】作AB所对的圆周角∠ADB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠ADB＝70°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：作AB所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（2022•茶陵县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD＝35°，∠ACB＝45°，则∠BAD等于（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】A
【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等求得∠ADB的度数，然后利用三角形内角和定理求得答案即可．
【解答】解：∵∠ACB＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°，
∵∠ABD＝35°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣35°﹣45°＝100°，
故选：A．
【点评】考查了圆周角定理及圆内接四边形的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆周角相等，难度不大．
8．（2021•张家界模拟）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【考点】圆周角定理．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得出∠COB＝2∠CAB，代入求出即可．
【解答】解：∵BC对的圆心角为∠COB，对的圆周角为∠CAB，∠BAC＝25°，
∴∠COB＝2∠CAB＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠COB＝2∠CAB是解此题的关键．
二．填空题（共7小题）
9．（2023•湖南模拟）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 3π ．
【考点】弧长的计算．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据弧长公式计算．
【解答】解：该扇形的弧长=90π×6180=3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了弧长的计算：弧长公式：l=nπr180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
10．（2023•邵阳县校级模拟）有位同学把一块圆形玻璃打碎，如图．他把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃的周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，他就知道圆玻璃的半径是 5 cm．
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【考点】圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据圆周角定理可得MN是直径，再由勾股定理可求出MN，进而求出半径即可．
【解答】解：如图，连接MN，
∵∠MON＝90°，
∴MN是圆的直径，
∵OM＝8cm，ON＝6cm，
∴MN=OM2+ON2=10（cm），
∴半径为5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，掌握“90°的圆周角所对的弦是直径”以及勾股定理是正确解答的关键．
11．（2023•邵阳县校级模拟）如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO＝45cm，CO＝15cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为 450π （结果保留π）．
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【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】450π．
【分析】易证三角形AOC与三角形A′OC′全等，故雨刷器AC扫过的面积等于扇形AOA′的面积减去扇形COC′的面积．
【解答】解：∵OA＝OA′，OC＝OC′，AC＝A′C′
∴△AOC≌△A′OC′（SSS），
∴雨刷器AC扫过的面积＝扇形AOA′的面积﹣扇形COC′的面积=452−1524×π＝450π（cm2），
故答案为：450π．
【点评】本题主要考查了根据扇形面积公式计算扇形面积的能力，解题时注意利用面积相等将图形转化为熟悉的面积．
12．（2022•岳麓区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 （4−7） 米．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（4−7）．
【分析】连接OA、OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD=12AB＝3（米），再由勾股定理得OD=7（米），然后求出CD的长即可．
【解答】解：连接OA、OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝4米，OC⊥AB，
∴AD＝BD=12AB＝3（米），∠ADO＝90°，
∴OD=OA2−AD2=42−32=7（米），
∴CD＝OC﹣OD＝（4−7）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（4−7）米，
故答案为：（4−7）．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
13．（2022•开福区校级二模）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，则该扇形纸片的面积为 175π cm2．
【考点】圆锥的计算；扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】175π．
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形，利用圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，列式计算即可．
【解答】解：∵生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，
∴圆锥的母线长为72+242=25（cm）．
∵底面圆半径r为7cm，
∴底面周长＝14πcm，
∴该扇形纸片的面积为=12×14π×25＝175π（cm2）．
故答案为：175π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．（2022•雁峰区校级模拟）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为216°、半径为15cm的扇形，这个圆锥的底面圆半径为 9 cm．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】9．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=216π×15180，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为rcm，
根据题意得2πr=216π×15180，
解得r＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（2021•张家界模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC=42．分别以点A，B，C为圆心，以12AB的长为半径画弧分别与△ABC的边相交，则图中阴影部分的面积为 8﹣2π ．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AD，BD的长，再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC=42．
∴AB＝BC•sin45°=42×22=4，
∴S△ABC=12×4×4=8，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴12AB=12×4=2，
以2为半径，180°扇形是半圆=12π×22=2π，
阴影面积＝8﹣2π．
故答案为：8﹣2π．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，得出AD，BD的长是解题关键．
三．解答题（共7小题）
16．（2023•湖南模拟）定义：如图1，AB是⊙O的直径，若弦CD∥AB，则称弦CD为⊙O的纬线．
（1）如图1，弦CD是⊙O的纬线，求证：AC=BD；
（2）弦CD和弦EF都是半径为5的⊙O的纬线，CD∥EF，CD＝6，EF＝8，求这两条纬线之间的距离；
（3）如图2，弦MN和弦PQ是直径AB两侧的纬线，连接OM、ON、OP、OQ、PM、QN，⊙O的半径为r，记四边形MPQN，△OMN，△OPQ的面积依次为S，S1，S2，若同时满足下列两个条件时，求S的最大值（用含r的式子表示）．
①S1+S2=12S；
②其中的一条纬线长不超过半径r．
【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）1或7；
（3）3r2．
【分析】（1）连接BC，根据平行线的性质和圆周角定理即可证明；
（2）作OH⊥CD交EF于I，则OI⊥EF，连接OD，OF；根据勾股定理可得OH＝4，OI＝3，分类讨论：当弦CD和弦EF在圆心的同一侧时；HI＝OH﹣OI，即可求得；当弦CD和弦EF在圆心的两侧时；HI＝OH+OI，即可求得；
（3）过点O作OE⊥MN于点E，OF⊥PQ于点F，设MN＝a，PQ＝b，OE＝m，OF＝n，分别求出S1=12am，S₂=12bn，s=12（a+b）（m+n），根据S1+S2=12S，可得a＝b，m＝n，故s2＝4a2m2，根据勾股定理可得a24+m2＝r2，令t＝a2，故S2＝4t（r2−t4）＝﹣t2+4r2t，分析该二次函数可得当t＝2时，S2有最大值为3r4，即可求得．
【解答】解：（1）如图，连接BC，
∵CD∥AB，
∴∠DCB＝∠ABC，
∴∠DCB和∠ABC所对的弧相等，
∴AC=BD，
（2）∵弦CD和弦EF都是⊙O的纬线，
∴CD∥AB，EF∥AB，
作OH⊥CD交EF于I，则OI⊥EF，连接OD，OF，
∵CD＝6，EF＝8，OD＝OF＝5，
根据勾股定理可得OH＝4，OI＝3，
有两种情况：
当弦CD和弦EF在圆心的同一侧时，HI＝OH﹣OI＝4﹣3＝1；
当弦CD和弦EF在圆心的两侧时，HI＝OH+OI＝4+3＝7，
∴CD和EF的距离是1或7；
（3）过点作OE⊥MN于点E，OF⊥PQ于点F，
设MN＝a，PQ＝b，OE＝m，OF＝n，
则S1=12am，S₂=12bn，s=12（a+b）（m+n），
∵S1+S2=12S，
∴12am+12bn=12×12（a+b）（m+n），
即（a﹣b）（m﹣n）＝0，
∴a＝b或m＝n，
若m＝n，则a＝b
若a＝b，则m＝n
∴S＝2am，
则S2＝4a2m2，
∵OE⊥MN，
∴ME=12MN=a2，
在Rt△OEM中，OE2+EM2＝OM2，
∴a24+m2＝r2，
则m2﹣r2﹣号
令t＝a2，
∴S2＝4t（r2−t4）＝﹣t2+4r2t，
对称轴为t＝2r2，
∵0＜a≤r，
∴0＜t≤r2，
当t＝r2时，S2有最大值为3r4，
∴S的最大值为3r2．
【点评】本题考查平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，二次函数的性质等，运用分类讨论思想和借助二次函数求最值是解题的关键．
17．（2023•天心区校级三模）如图1：在⊙O中，AB为直径，C是⊙O上一点，AC＝3，BC＝4．过O分别作OH⊥BC于点H，OD⊥AC于点D，点E、F分别在线段BC、AC上运动（不含端点），且保持∠EOF＝90°．
（1）OC＝ 2.5 ；四边形CDOH是 矩形 （填矩形/菱形/正方形）；S四边形CDOH＝ 3 ；
（2）当F和D不重合时，求证：△OFD∽△OEH；
（3）①在图1中，⊙P是△CEO的外接圆，设⊙P面积为S，求S的最小值，并说明理由；
②如图2：若Q是线段AB上一动点，且QA：QB＝1：n，∠EQF＝90°，⊙M是四边形CEQF的外接圆，则当n为何值时，⊙M的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．
【考点】圆的综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）2.5；矩形；3；
（2）见解答；
（3）①25π16，理由见解答；
②n=169时，S有最小值为3625π．
【分析】（1）根据圆周角定理及勾股定理得出AB＝5，再由直角三角形斜边中线的性质得出OC＝2.5；利用矩形的判定得出四边形CDOH的形状，再由相似三角形的判定和性质及矩形的面积求法即可得出结果；
（2）圆周角定理及等量代换得出∠FOD＝∠EOH，再由相似三角形的判定即可证明；
（3）①由（2）得∠ACB＝90°，∠EOF＝90°，确定圆P经过C、F、O、E，即为△COE的外接圆，且EF为直径，由（1）得出EF取得最小值为AB＝2.5，利用圆的面积求解即可；
②根据题意得：当GE⊥AC，GF⊥BC时，圆M的直径EF有最小值，再由三角函数得出EG=41+n，GF=3n1+n，利用勾股定理及二次函数的性质求解即可．
【解答】（1）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5．
∴OC=12AB＝2.5；
∵OD⊥AC，OH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CDOH是矩形；
∴OD⊥AC，ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∴△OAD∽△BAC，
∴ODBC=AOAB，
∴OD＝2，
同理得OH＝1.5，
∴S四边形CDOH＝2×1.5＝3；
故答案为：2.5；矩形；3；
（2）证明：∵OD⊥AC，OH⊥CB，
∴∠FDO＝∠EHO＝90°，
又∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DOH＝90°＝∠EOF，
即∠FOD+∠DOE＝∠DOE+∠EOH，
∴∠FOD＝∠EOH，
∴△OFD∽△OEH．
（3）①如图，∵∠ACB＝90°，∠EOF＝90°，
∴圆P经过C、F、O、E，即为△COE的外接圆，且EF为直径，
当EF最小时，圆P的面积S有最小值，
当F和D重合、E和H重合时，
由（1）得OF＝2，OE＝1.5取得最小值，EF也取得最小值为12AB＝2.5，
此时S＝π•（EF2）2=25π16为最小值．
②根据题意得：当GE⊥AC，GF⊥BC时，
圆M的直径EF有最小值，
此时AG=51+n，BG=5n1+n，∠AGE＝∠ABC，EG＝cs∠AGE•AG=41+n，GF＝sin∠AGB•BG=3n1+n．
∴EF2＝EG2+GF2=9n2+16(1+n)2，
∴S＝π•（EF2）2=π4EF2，
当EF最小时，S最小，
令t＝n+1，则EF2=9(t−1)2+16t2=25（1t）2−181t+9为关于1t的二次函数，
当1t=925，即n=169时，s有最小值，代入得S最小值为3625π．
【点评】题目主要考查圆与四边形综合问题，包括圆周角定理，矩形的判定和性质，内接三角形和四边形，解直角三角形等，理解顾意，作出相应辅助线求解是解题关键．
18．（2022•天心区二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线，交OD的延长线于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC＝6，tanE=34，求BE的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】见解答．
【分析】（1）如图，连接OC，由“垂径定理”可知，OP垂直平分AC，所以∠AOP＝∠COP，由SAS可证明△OAP≌△COP，所以∠OCP＝∠OAP，由切线的性质可知，∠OAP＝90°，所以∠OCP＝90°，即OC⊥PC，由此可得结论；
（2）连接BC，根据正切函数可得AE的长，利用勾股定理可得PE的长，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°＝∠ECO，所以∠ECB＝∠ACO，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝∠ECB，易证△ECB∽△EAC，所以EC：EA＝EB：EC，代入数值可得答案．
【解答】证明：（1）如图，连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过原点，
∴OP垂直平分AC，
∴∠AOP＝∠COP，
在△OAP和△COP中，
OA=OC∠AOP=∠COPOP=OP，
∴△OAP≌△COP（SAS），
∴∠OCP＝∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）连接BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ECO，
∴∠ECB+∠BCO＝∠BCO+∠ACO，
∴∠ECB＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝∠ECB，
∵∠E＝∠E，
∴△ECB∽△EAC，
∴EC：EA＝EB：EC，
∴EC2＝EA•EB，
∵tanE=APAE=34，PA＝PA＝6，
∴AE＝8，PE=AP2+AE2=62+82=10，
∴EC＝PE＝PC＝4，
∴BE=168=2．
【点评】本题考查了切线的性质及判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
19．（2022•攸县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝BC，AD是⊙O的直径，AC，BD交于点E，P为DB的延长线上一点，且PB＝BE．
（1）求证：△ABE∽△DBA；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若E为BD的中点，求tan∠ADC的值．
【考点】圆的综合题．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；应用意识．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）22．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADB＝∠EAB，即可得证△ABE∽△DBA；
（2）根据角的关系得出∠ADB＝∠BAP，再根据角的代换得出∠DAB+∠BAP＝90°，即PA⊥AD，即可得证结论；
（3）设BE＝DE＝a，则BD＝2a，根据线段比例关系得出AB=2α，根据勾股定理得出AE=AB2+BE2=3α，证△ABE∽△DCE，根据线段比例关系得出CD=63α，CE=33α，AC＝AE+EC=3α+33α=433α，即可得出tan∠ADC的值．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴AB=BC，
∴∠ADB＝∠EAB，
又∵∠ABD＝∠EBA，
∴△ABE∽△DBA；
（2）证明：∵AD 是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
又∵PB＝BE，
∴AB是PE的垂直平分线，
∴AP＝AE，
∴∠BAP＝∠BAE
又∵∠ADB＝∠EAB，
∴∠ADB＝∠BAP，
在△ABD中，∠ABD＝90°，
∴∠DAB+∠ADB＝90°；
∴∠DAB+∠BAP＝90°，
即∠PAD＝90°，
即PA⊥AD，
又∵点A在⊙O上，
∴PA 是⊙O 的切线；
（3）解：设BE＝DE＝a，则BD＝2a，
∵△ABE∽△DBA，
∴ABDB=BEBA，
即AB2α=αBA，
故AB=2α，
在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=3α，
∵∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴ABDC=BECE=AEDE，
即2CD=αCE=3αα，
故CD=63α，CE=33α，
∴AC＝AE+EC=3α+33α=433α；
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACDC=22．
【点评】本题主要考查圆的综合题型，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
20．（2022•澧县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．
（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为5，tan∠BDC=12，求AC的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OC，可证明OC∥DE，由于CE⊥DB，∠CED＝90°，所以∠OCE＝90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案．
（2）连接BC，由于∠BDC＝∠BAC，所以tan∠BAC＝tan∠BDC=12，设BC＝x，AC＝2x，所以AB=5x，列出方程即可求出x的值．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠OAC，
∵∠BDC＝∠OAC，∠ABD＝2∠BDC，
∴∠COB＝∠ABD，
∴OC∥DE，
∵CE⊥DB，∠CED＝90°，
∴∠OCE＝90°，OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．
（2）连接BC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴tan∠BAC＝tan∠BDC=12，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴BCAC=12，
设BC＝x，AC＝2x，
∴AB=5x，
∵⊙O的半径为5，
∴5x＝25，
∴x＝2，
∴AC＝2x＝4．
【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理，本题属于中等题型．
21．（2021•湖南模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD、BC，若∠ABD＝2∠BDC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：△ABC∽△CBE；
（3）若⊙O的半径为5，tan∠BDC=12，求BE的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】综合题；推理能力．
【答案】（1）（2）证明见解答；
（3）2．
【分析】（1）先判断出∠BOC＝2∠BAC，进而判断出OC∥BD，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABC＝∠CBE，再判断出∠ACB＝∠CEB＝90°，即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出BC，再借助（2）的相似得出比例式，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BOC＝2∠BDC，
∵∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BOC＝∠ABD，
∴OC∥DB，
∵CE⊥BD，
∴CE⊥OC，
∵点C在⊙O上，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：如图，连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
由（1）知，OC∥BD，
∴∠CBE＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°＝∠ACB，
∴△ABC∽△CBE；
（3）由（1）知，∠BDC＝∠BAC，
∵tan∠BDC=12，
∴tan∠BAC=12，
在Rt△ABC中，AB＝10，tan∠BAC=BCAC=12，
∴AC＝2BC，
根据勾股定理得，BC2+AC2＝AB2，
∴BC2+4BC2＝102，
∴BC＝25，
由（2）知，△ABC∽△CBE，
∴BEBC=BCAB，
∴BE25=2510，
∴BE＝2，即BE的长为2．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出OC平行于BD是解本题的关键．
22．（2021•渌口区模拟）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA=35时，求AF的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OE，BE，因为DE＝EF，所以DE=EF，从而易证∠OEB＝∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；
（2）设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，在Rt△AOE中，sinA=OEOA=r5−r=35，从而可求出r的值．
【解答】解：（1）证明：连接OE，BE，
∵DE＝EF，
∴DE=EF，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BC，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴BC⊥AC，
∴∠C＝90°；
（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA=35，
∴AB＝5，
设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，
在Rt△AOE中，sinA=OEOA=r5−r=35，
∴r=158，
∴AF＝5﹣2×158=54．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识。