2023-2024学年吉林省普通高中G6教考联盟高二（上）期末数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省普通高中G6教考联盟高二（上）期末数学试卷（A卷）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数列−1，12，−13，14，⋯的一个通项公式为an=( )
A. (−1)nnB. (−1)n+1nC. (−1)n+1n+1D. (−1)nn+1
2.直线l的一个方向向量为(−2,1,−1)，平面α的一个法向量为n=(3,3,−3)，则( )
A. l/​/αB. l⊥α
C. l/​/α或l⊂αD. l与α的位置关系不能判断
3.已知圆(x−2)2+(y+1)2=5，过点P(1,−3)作圆的切线.则该切线的一般式方程为( )
A. x+2y+5=0B. x−2y−7=0C. 2x−y−5=0D. 2x−y+1=0
4.如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为(结果精确到0.01)( )
A. 4.96
B. 5.06
C. 4.26
D. 3.68
5.函数f(x)=lnx+2x2在点(1,2)处的切线方程为( )
A. y=3x−1B. y=5x−3C. y=−3x+5D. y=−5x+7
6.设直线l的方程为x+ycsθ+3=0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围( )
A. [0,π)B. [π4,π2)C. [π4,3π4]D. [π4,π2)∪(π2,3π4]
7.已知公差d≠0的等差数列{an}放n项和为Sn，满足S2000=S2024，则下列结论中正确的是( )
A. S2012=0B. S4024=0
C. S2012是Sn中的最大值D. S2012是Sn中的最小值
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，M和N分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点F的直线l交C的右支于A，B两点.若存在直线l使得点M为△NAB的重心，则C的离心率为( )
A. 43B. 2C. 2D. 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q=( )
A. −12B. 12C. −1D. 1
10.已知圆C：(x+2)2+y2=4，直线l：(m+1)x+2y−1+m=0(m∈R)，则( )
A. 直线l恒过定点(−1,1)
B. 当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C. 直线l与圆C有两个交点
D. 圆C与圆x2+y2−2x+8y+8=0恰有三条公切线
11.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an1−2an(n∈N*)，数列{bn}满足bn=anan+1.记数列{bn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是( )
A. a3=−3B. 数列{1an}是等差数列
C. Sn0)的一条渐近线为y=x，且双曲线C的虚轴长为2 2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点M、N，若△OMN的面积为2 2，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年(第1年)年底该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造成绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设绿洲面积为a1万平方千米，第n年绿洲面积为an万平方千米．
(1)求第n年绿洲面积an(单位：万平方千米)与上一年绿洲面积an−1(单位：万平方千米)之间的数量关系(n≥2)；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)至少经过n(n∈N*)年，绿洲面积可超过60%，求n的值.(参考数据：lg2≈0.301)
22.(本小题12分)
已知B(−2,0)，C(2,0)为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC，AB上的两条中线长度之和为3 6．
(1)求点P的轨迹Γ的方程；
(2)过C作不平行于坐标轴的直线交Γ于D，E两点，若DM⊥x轴于点M，EN⊥x轴于点N，直线DN与EM交于点Q．
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求△DEQ面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意，观察数列−1，12，−13，14，⋯
每个项的分母为n，其分子是−1，1交替出现，故分子可为(−1)n，
所以该数列的一个通项公式为an=(−1)nn．
故选：A．
根据题意，归纳数列的变化规律，分析可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，直线l的一个方向向量l=(−2,1,−1)，
平面α的一个法向量为n=(3,3,−3)，
则l⋅n=−2×3+1×3+(−1)×(−3)=0，
由空间线面关系，可得l/​/α或l⊂α．
故选：C．
由直线的方向向量和平面的法向量的位置关系与直线和平面的位置关系即可得解．
本题考查向量法判定空间线面关系，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：(x−2)2+(y+1)2=5的圆心为(2,−1)，半径为 5，
当过P(1,−3)的直线斜率不存在时，直线方程为x=1，
此时圆心(2,−1)到直线x=1的距离为2−1=1< 5，故x=1不是圆的切线，
当过P(1,−3)的直线斜率存在时，设直线方程为y+3=k(x−1)，
则|−1+3−k(2−1)| 1+k2= 5，解得k=−12，
则直线方程为y+3=−12(x−1)，化为一般式为x+2y+5=0．
故选：A．
考虑过P(1,−3)的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，结合圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出直线方程．
本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
4.【答案】A
【解析】解：如图，设抛物线的方程为x2=−2py，抛物线经过点(5,−6)，
所以25=12p，解得p=2512，所以抛物线顶点到焦点的距离为p2=2524，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为6−p2=6−2524≈4.96米．
故选：A．
建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点(5,−6)，把点(5,−6)代入抛物线方程即可求出p，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为6−p2，即可求出答案．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：由f(x)=lnx+2x2，得f′(x)=1x+4x，
∴f′(1)=1+4=5．
∴函数f(x)=lnx+2x2在点(1,2)处的切线方程为y=5(x−1)+2，
即y=5x−3．
故选：B．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意，当csθ=0时，l的方程化x+3=0，
此时，直线l的倾斜角α为90°；
当csθ≠0时，将直线化成斜截式：y=−1csθx−3csθ
直线x+ycsθ+3=0(θ∈R)的倾斜角为α，可得tanα=−1csθ
∵−1≤csθ≤1且csθ≠0
∴tanα=−1csθ∈(−∞,−1]∪[1,+∞)，
∵0°≤α0时，可得a14.1，∴n>5.1，
∵n∈N*，∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%；
综上，an=45an−1+425，an=−12⋅(45)n−1+45，至少经过6年，绿洲面积可超过60%．
【解析】(1)由题意，列出第n年绿洲面积与上一年绿洲面积an−1的关系，即可得到答案；
(2)利用递推数列，构造新数列{an−1−45}是首项为−12，公比为45的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可；
(3)由题意，列出不等关系，然后利用指数与对数的运算性质求解即可．
本题考查了函数解析式的求法，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
22.【答案】(1)解：因为P为△ABC的重心，且边AC，AB上的两条中线长度之和为6，
所以|PB|+|PC|=23×3 6=2 6>|BC|，
故由椭圆的定义可知P的轨迹Γ是以B(−2,0)，C(2,0)为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，
且a= 6,c=2，所以b= 2，
所以P的轨迹Γ的方程为x26+y22=1(x≠± 6)．
(2)证明：①依题意，设直线DE方程为x=my+2(m≠0)．
联立x=my+2x26+y22=1，得(m2+3)y2+4my−2=0，
易知Δ=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0
设D(x1,y1)，E(x2,y2)，则y1+y2=−4mm2+3，y1⋅y2=−2m2+3．
因为DM⊥x轴，EN⊥x轴，
所以M(x1,0)，N(x2,0)．
所以直线DN：y=y1x1−x2(x−x2)，
直线EM：y=y2x2−x1(x−x1)，
联立解得xQ=x1y2+x2y1y1+y2=(my1+2)y2+(my2+2)y1y1+y2=2+2my1y2y1+y2=3．
从而点Q在定直线x=3上．
②解：因为S△DEQ=12|EN|⋅|xQ−x1|=12|y2|⋅|3−x1|=12|y2(3−x1)|
=12|3y2−(my1+2)y2|=12|y2−my1y2|，
又my1y2y1+y2=12，则S△DEQ=12|y1−y1+y22|=14|y1−y2|=14 (y1−y2)2= 62 m2+1m2+3，
设 m2+1=t>1，则S△DEQ= 62⋅tt2+2= 62⋅1t+2t≤ 34，
当且仅当t=2t，即m=±1时，等号成立，
故△DEQ面积的最大值为 34．
【解析】(1)根据椭圆的定义求解即可；
(2)①求出直线DN与EM方程，得到Q点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值．
本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的综合问题，属于难题．