2023-2024学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线a，b和平面α，若a/​/α，则“b⊥a”是“b⊥α”的条件．( )
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要
2.某家大型超市近10天的日客流量(单位：千人次)分别为：3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是( )
A. 散点图B. 条形图C. 茎叶图D. 扇形图
3.甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较(成绩均为整数满分100分)，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为( )
A. 25B. 12C. 35D. 45
4.已知点M为正方体ABCD−A1B1C1D1内部(不包含表面)的一点.给出下列两个命题：
q1：过点M有且只有一个平面与AA1和B1C1都平行；
q2：过点M至少可以作两条直线与AA1和B1C1所在的直线都相交．
则以下说法正确的是( )
A. 命题q1是真命题，命题q2是假命题B. 命题q1是假命题，命题q2是真命题
C. 命题q1，q2都是真命题D. 命题q1，q2都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设A是一个随机事件，则P(A)的取值范围是______ ．
6.已知向量a=(−m,1,3)，b=(2,n,1)，若a//b，则mn的值为______ ．
7.抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为______ ．
8.一个球的体积为4π3，则此球的表面积为______ ．
9.管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______ 条鱼．
10.在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm，则这个点到二面角的棱的距离为______．
11.用斜二测画法画一个水平放置的边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的面积为______ ．
12.某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm)的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______ ．
13.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=16.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为______ ．
14.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数x−<4且极差小于或等于3；②平均数x−<4且标准差s≤4；③众数等于5且极差小于或等于4，则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是______ ．
15.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且AB=2，AA1=4，经过顶点A和C1各作一个平面与平面CB1D1平行，前者与平面ABCD交于l1，后者与平面ABB1A1交于l2，则异面直线l1与l2所成角的余弦值为______ ．
16.点O是正四面体A1A2A3A4的中心，|OAi|=1(i=1,2,3,4).若OP=λ1OA1+λ2OA2+λ3OA3+λ4OA4，其中0≤λi≤1(i=1,2,3,4)，则动点P扫过的区域的体积为______ ．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某中学有高一年级学生600人，高二年级学生400人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取100名学生，对其成绩进行统计分析.得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)求从该校高一年级、高二年级学生中各抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图，估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分以上的人数．
18.(本小题16分)
在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB/​/CD，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2，CD=3，E为A1B的中点，点F在A1C上，且满足A1FA1C=13．
(1)求直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧面积；
(2)设点G在A1D上，且A1GA1D=23，试判断直线AG是否在平面AEF内，并说明理由．
19.(本小题16分)
甲乙两人进行某项比赛．
(1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，求甲乙两人取得平局的概率；
(2)若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为p(0(说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束)
20.(本小题16分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，DE/​/BF，AD=DE=2，BF=12．
(1)求证：AC⊥EF；
(2)在线段DE上是否存在点G，使得直线BG与AD所成角的余弦值为23；若存在，求出点G到平面ACF的距离，若不存在，请说明理由．
21.(本小题16分)
如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC=2AA1=2A1C1=4，B为底面圆周上异于A，C的点．
(1)若P是线段BC的中点，求证：C1P/​/平面A1AB；
(2)若AB=BC，设直线l为平面A1AB与平面C1CB的交线，点Q∈l，BC1与平面QAC所成角为α，求sinα的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：直线a，b和平面α，若a/​/α，当b⊥a时，b⊥α或b⊆α，即充分性不成立，
当b⊥α时，b⊥a一定成立，即必要性成立．
故选：B．
结合线线及线面的位置关系检验充分及必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，
故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适．
故选：A．
根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可得解．
本题主要考查了茎叶图、条形图、扇形图以及散点图的性质与应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可得x甲−=16(88+87+85+92+93+95)=90，
设被污损的数字为x，
则x乙−=16(85+86+88+90+99+x)=89+x6，
满足题意时，x甲−>x乙−．
即：90>89+x6，解得x<6，
即x可能的取值为0，1，2，3，4，5，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p=610=35．
故选：C．
首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可．
本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
4.【答案】A
【解析】解：如图，
∵点M为正方体ABCD−A1B1C1D1内部(不包含表面)的一点，
∴M∉AA1，M∉B1C1，由AA1与M可确定一个平面，在该平面内过M作直线a，使a//AA1，
由B1C1与M可确定以平面，在该平面内过M作直线b，使b//B1C1，则由两相交直线a与b确定平面α，使得平面α与AA1和B1C1都平行，故命题q1是真命题；
由正方体的结构特征可知，AA1和B1C1所在直线为异面直线，若过点M作两条直线与AA1和B1C1所在的直线都相交，则不存在两交点重合，可得AA1和B1C1所在的直线共面，与AA1和B1C1所在直线为异面直线矛盾，故命题q2是假命题．
故选：A．
由题意画出图形，由平面的基本性质逐一判断两命题的真假得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
5.【答案】(0,1)
【解析】解：因为A是一个随机事件，则P(A)的取值范围是(0,1)．
故答案为：(0,1)．
根据随机事件的定义可解．
本题考查随机事件的定义，属于基础题．
6.【答案】−2
【解析】解：∵a/​/b，且a=(−m,1,3)，b=(2,n,1)，
∴−m2=1n=31，
解得m=−6，n=13，
∴mn=−2．
故答案为：−2．
根据向量共线定理的坐标式，建立方程，即可求解．
本题考查向量共线定理的坐标式，方程思想，属基础题．
7.【答案】12
【解析】解：抛掷3枚质地均匀的硬币，恰好一枚正面朝上的概率为p1=3×(12)3=38，
没有正面朝上的概率为p2=(12)3=18，
因为这两个事件互斥，
所以最多1枚朝上的概率为p=p1+p2=12．
故答案为：12．
求一枚正面朝上的概率与没有正面朝上的概率，利用加法公式，可得结果．
本题考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．
8.【答案】4π
【解析】解：设球的半径为R，则
∵球的体积为4π3，
∴4π3×R3=4π3，解之得R=1
由此可得球的表面积为S=4πR2=4π
故答案为：4π
根据球的体积公式，可算出球的半径R=1，再结合球的表面积公式即可算出该球的表面积．
本题给出球的体积，求它的表面积，着重考查了球的表面积、体积公式及其应用的知识，属于基础题．
9.【答案】50000
【解析】解：令这个水库里大概有n条鱼，
由题意有1000n=201000，解得n=50000条．
故答案为：50000．
设这个水库里大概有n条鱼，利用等比例性质求n即可．
本题主要考查概率及其性质，属于基础题．
10.【答案】20cm
【解析】解：如简图所示，两平面相交于l，PA⊥1，PA⊂α，MA⊥l，
MA⊂β，PM⊥β，PM=10．
则∠PAM为二面角的平面角，且∠PAM=30°，AP=20，
即点P到二面角的棱l的距离为PA=20cm．
故答案为：20cm．
画出简图，结合三角函数关系即可求解．
本题考查二面角的平面角的求法，属于中档题．
11.【答案】9 6
【解析】解：△ABC是边长为12的正三角形，△A′B′C′是正△ABC的直观图，如图所示：
则A′B′=AB=12，C′D′为正△ABC高CD的一半，
即C′D′=12×12×sinπ3=3 3，
所以直观图△A′B′C′的高C′E=C′D′sinπ4=3 3× 22=3 62，
所以△A′B′C′的面积为：12×12×3 62=9 6．
故答案为：9 6．
根据斜二测画法规则与平面直观图的关系进行求解即可．
本题考查了斜二测画法应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
12.【答案】10.8
【解析】解：数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，
所以12×80%=9.6，
所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8．
故答案为：10.8．
将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可．
本题考查百分位数的运算，属于基础题．
13.【答案】12
【解析】解：设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，
侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V=34S△ABC⋅AA1=34a⋅16=12a，
当底面ABC水平放置时，水的体积为V=S△ABCh=ah，
于是ah=12a，解得h=12，
所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．
故答案为：12．
根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答．
本题考查棱柱的结构特征，训练了等体积法的应用，考查运算求解能力，属基础题．
14.【答案】①③
【解析】解：根据题意，依次分析三组数据：
对于①，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3，
得到此数据中最小值为10−3=7，此时数据的平均数必然大于7，
与x<4矛盾，故假设错误，
∴此组数据全部小于10，一定符合入冬指标；
对于②，举反例：1，1，1，1，11，平均数x=3<4，且标准差s=4，
但不符合入冬指标；
对于③，众数为5，极差小于等于4，
则最大数不超过9，一定符合入冬指标．
故答案为：①③．
根据题意，由平均数和极差的定义分析①③，举出反例可得②不符合题意，综合可得答案．
本题考查平均数，众数，极差，标准差等概念，注意平均数，众数，极差，标准差的计算公式，属于基础题．
15.【答案】 1010
【解析】解：设平面CB1D1∩平面ABCD=m，因为α/​/平面CB1D1，所以m//l1，
又因为平面ABCD//平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1，
所以B1D1//m，B1D1//l1，
因为平面ABB1A1/​/平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1，
同理可证CD1//l2，异面直线l1与l2所成的角即B1D1，CD1所成的∠CD1B1，
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且AB=BC=2，AA1=4，
B1D1= 22+22=2 2,CD1=CB1= 22+42=2 5，
cs∠CD1B1=CD12+B1D12−CB122×CD1×B1D1=20+8−202×2 5×2 2= 1010，
所以异面直线l1与l2所成的角的余弦值为 1010．
故答案为： 1010．
利用平面与平面平行的性质定理，得B1D1//l1，CD1//l2，求B1D1与CD1所成角的余弦值即为所求．
本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．
16.【答案】4 69
【解析】解：作出正四面体A1A2A3A4，如图，
将正四面体A1A2A3A4放入正方体中，如图，
则O是该正方体的中心，
设该正方体的棱长为a，则a2+a2+a2=1×2，解得a= 63，
∵OP=λ1OA1+λ2OA2+λ3OA3+λ4OA4，0≤λi≤1(i=1,2,3,4)，
则知P扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，
其中两个面如图，
可得动点P扫过的区域的体积为该正方体的体积的2倍，
即动点P扫过的区域的体积为V=2×( 63)3=4 69．
故答案为：4 69．
将正四面体A1A2A3A4放入正方体中，得到正方体的对角线是2|OA1|，从而得到正方体的棱长，再根据条件得到P扫过的区域的体积即可．
本题考查正四面体、正方体的结构特征，几何体体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)依题意从高一年级学生中抽取100×600600+400=60人，
从高二年级学生中抽取100×400600+400=40人；
(2)由频率分布直方图可得竞赛成绩在60分(含60分)的频率为：
(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，
所以估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分(含60分)以上的人数为1000×0.75=750人．
【解析】(1)根据分层抽样计算方法计算可得；
(2)由频率分布直方图求出竞赛成绩在60分(含60分)的频率，即可估计人数．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，梯形ABCD中，AB/​/CD，AB⊥BC，
上底AB=2，下底CD=3，直角腰BC=2，所以AD= 12+22= 5，
则直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧面积为(AD+DC+BC+AB)×AA1=( 5+3+2+2)×2=14+2 5．
(2)如图所示，过A作AH⊥CD交CD于点H，以AH、AB、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(2,−1,0)，A1(0,0,2)，
因为E为A1B的中点，点F在A1C上，且满足A1FA1C=13，点C在A1D上，且A1GA1D=23，
所以E(0,1,1)，F(23,23,43)，G(43,−23,23)，AE=(0,1,1)，AF=(23,23,43)，
设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量，则y+z=023x+23y+43z=0，取y=1，得n=(1,1,−1)．
因为AG=(43,−23,23)，所以AG⋅n=43−23−23=0，
即AG⊥n，结合点A∈平面AEF，可知直线AG在平面AEF内．
【解析】(1)在底面直角梯形ABCD中，算出线段AD的长，然后根据直棱柱的侧面积公式，算出答案；
(2)过A作AH⊥CD交CD于点H，以AH、AB、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，然后算出平面AEF的一个法向量，且向量AG垂直于平面AEF的法向量，得出直线AG在平面AEF．
本题主要考查直棱柱的结构特征、利用空间向量研究直线与平面的位置关系等知识，考查了计算能力、空间想象能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意，可得甲乙两人取得平局的概率为0.9−0.4=0.5；
(2)对于甲来说，在一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为p，
在三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为p2+2p2(1−p)，
因为0所以p2+2p2(1−p)【解析】(1)甲不输是甲获胜与平局互斥的和事件，利用互斥事件的概率加法公式，求出平局的概率；
(2)分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，再比较两个概率的大小可得结论．
本题主要考查互斥事件的概率公式、相互独立事件的概率乘法公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
20.【答案】解：依题意，以D为原点，分别以DA，DC，DE的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，F(2,2,12)，
(1)证明：因为AC=(−2,0,0)，EF=(2,2,−32)，
所以AC⋅EF=(−2)×2+2×2+0=0，
所以AC⊥EF，所以AC⊥EF；
(2)设线段DE上存在一点G(0,0,h)，使得BG与AD所成角的余弦值为23，
则BG=(−2,−2,h)，又因为AD=(−2,0,0)，
所以cs|=|BG⋅AD||BG||AD|=|4 8+h2×2|=23，解得h=1，
所以存在G(0,0,1)满足条件，所以AG=(−2,0,1)，
因为AC=(−2,2,0)，AF=(0,2,12)，
设n=(x,y,Z)为平面ACF的法向量，
则n⋅AC=−2x+2y=0n⋅AF=2y+12z=0，
设x=1，可得n=(1,1,−4)，
所以点G到平面ACF的距离为|AG⋅n||n|=63 2= 2．
【解析】(1)依题意，以D为原点，分别以DA,DC,DE的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，计算AC⋅EF，即可得出答案；
(2)设线段DE上存在一点G(0,0,h)，使得BG与AD所成角的余弦值为23，则|cs|=|4 8+h2×2|=23，解得h，进而可得点G到平间ACF的距离为|AG⋅n||n|．
本题考查直线与直线的位置关系，点到平面的距离，属于中档题．
21.【答案】证明：(1)取AB中点H，连接A1H，PH，如图，

因为P为BC中点，所以PH//AC,PH=12AC，
在等腰梯形A1ACC1中，A1C1//AC,A1C1=12AC，
所以HP//A1C1，HP=A1C1，
所以四边形A1C1PH为平行四边形，
所以C1P//A1H，又A1H⊂平面A1AB，C1P⊄平面A1AB，
所以C1P/​/平面A1AB；
解：(2)延长AA1，CC1交于点O，作直线BO，则直线BO即为直线l，
∵AB=BC，则O2B⊥AC，
以直线O2A，O2B，O2O分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

在等腰梯形A1ACC1中，AC=2AA1=2A1C1=4，
此梯形的高为h= AA12−(AC−A1C12)2= 3，
因为A1C1=12AC,A1C1//AC，所以A1C1为△OAC的中位线，
则O2(0,0,0),O(0,0,2 3),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(−1,0, 3)，
所以BC1 =(−1,−2, 3),AB=(−2,2,0),BD=(0,−2,2 3),O2A=(2,0,0)，
设BQ=λBO，则AQ=AB+BQ=AB+λBO=(−2,2−2λ,2 3λ)，
设平面QAC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅O2A=2x=0n⋅AQ=−2x+(2−2λ)y+2 3λz=0，令y= 3λ，得n=(0, 3λ,λ−1)，
则有：sinα=|cs〈n,BC1 〉|=|n⋅BC1||n||BC1|=|−2× 3λ+ 3(λ−1)| ( 3λ)2+(λ−1)2× (−1)2+(−2)2+( 3)2= 3|λ+1|2 2× 4λ2−2λ+1，
令t=λ+1，则sinα= 3|t|2 2× 4t2−10t+7，
当t=0时，sinα=0，此时λ=−1，
当t≠0时，0当且仅当t=75，即λ=25时取等号，
综上所述，sinα的最大值为 144．
【解析】(1)取AB中点H，连接A1H，PH，通过证明四边形A1C1PH为平行四边形得到C1P//A1H，然后根据线面平行的判定定理完成证明；
(2)延长AA1，CC1交于点O，建立空间直角坐标系，然后利用向量法表示出sinα，再根据二次函数的性质求解出最大值即可．
本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于难题．