【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题04 一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法（知识精讲+综合训练）（习题及答案）

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知识精讲
知识点01 一元二次方程的概念
一元二次方程的概念
1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．
1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
1.3判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住4个方面：化简后①“一个未知数”；②“未知数的最高次数是2”；③“二次项的系数不等于0”；④“整式方程”．
一元二次方程一般式的概念
任何一个关于的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中叫做二次项，是二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项．
注意事项：
（1）一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
3一元二次方程的解
能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．
一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
【典例分析】
1．若 是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】．A
【分析】根据一元二次方程的定义列方程和不等式，即可求得．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程，
，解得
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键．
2．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】．B
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；
②，当a=0时不是一元二次方程；
③，是一元二次方程；
④，整理后不含二次项，不是一元二次方程，
所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个，
故选：B
【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】．D
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得4a-b=2，再把变形为2+2（4a-b），最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴4a-2-b=0，
∴4a-b=2，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键．
4．根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（ ）
﹣1【答案】．C
【分析】利用表中数据得到x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0，x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0，则可以判断方程x2 +12x﹣15=0时，有一个解x满足1.1【详解】∵x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0，
x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0，
∴ 1.1即方程x2 +12x﹣15=0必有一个解x满足1.1故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．是19的算术平方根B．是19的平方根
C．是19的算术平方根D．是19的平方根
【答案】．C
【分析】根据平方根和算术平方根的意义解答．
【详解】解：∵，，为方程的两根，且a>b，
∴
∴a−5 是19的算术平方根，C正确，
故选C．
【点睛】本题考查平方根与方程的综合应用，熟练掌握平方根与算术平方根的意义、方程根的意义是解题关键．
知识点02 特殊的一元二次方程的解法
1、特殊的一元二次方程的解法
特殊的一元二次方程的解法主要有两种即：①直接开平方②因式分解．
1.1、直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
1.2、因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法的一般步骤：
将方程右边化为零；
将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；
令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
【典例分析】
6．给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（ ）
A．，B．，
C．D．，
【答案】．B
【分析】据题目中给出的运算求出，令即可求出的值．
【详解】解：由题意可知，，令即，
解得，，
故选B．
【点睛】本题变相考查一元二次方程的解法，但在解一元二次方程之前需要先根据题意写出再求解，理解题目中定义的新运算的意义是解题的关键．
7．若对于任意实数a，b，c，d，定义 ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】．D
【分析】根据新定义可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1），
整理得：x2=3，
两边直接开平方得：x=±，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．
8．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】．C
【分析】一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】解：
开方得，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
9．小虎同学在一次测验中解答的填空题：①若，则；② 方程的解为；③ 若，令，则或-1；④ 经计算整式与的积为，则一元二次方程的所有根是，．则其中答案完全正确的是（ ）
A．① ③ ④ B．② ③ ④C．③ ④D．④
【答案】．D
【分析】对各个方程一一计算看是否是所给答案，由此判断即可．
【详解】①，故①错误；
②，即


，或 ，故②错误；
③若，令

或
，故③错误；
④=（）（）=0
或，故④正确，
故选D.
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法．
10．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．12B．14C．12或14D．15
【答案】．B
【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，但，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为4，此时三角形三边长度为4、4、6，可以构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
综合训练
一、单选题
1．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12B．9C．15D．12或15
3．方程的解是（ ）
A．B．
C．，D．，
4．我们规定一种新运算“★”，其意义为，若（x-2）★（1-x）=28，则x的值为（ ）
A．x=-26B．=4, =11C．=2，=- D．=-2，=
5．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2022B．2026C．2030D．2034
6．若关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值为（ ）
A．4B．3C．2D．
7．下列属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．是分式方程B．是二元二次方程组
C．是无理方程D．是二项方程
9．对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．无实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判定
10．对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
11．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程(a，b是常数，)是“差1方程”设，t的最大值为__________．
12．对于二次三项式，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．
13．已知，那么的值是______．
14．方程的两个实数根是，则把这个二次三项式进行因式分解的结果是____________．
15．已知三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长等于_________．
16．方程的根是______．
17．已知矩形ABCD，AB= 4，AD=10，P为BC边上一点，若∠APD= 90°，则BP的长为____________．
18．若分式的值为0，则的值是______．
19．当k_____时，关于x的方程有两个实数根．
20．关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是___________．
三、解答题
21．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有________：（只填写序号即可）
①
②
③
(2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值．
22．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
23．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)若此方程的一个实数根为2，求a的值；
(3)直接写出所有不大于5的正整数a的值，使原方程的两个根均为有理数．
x
﹣1
1
1.1
1.2
x2+12x﹣15
﹣26
﹣2
﹣0.59
0.84
参考答案：
1．A
【分析】利用完全平方公式的特征就可以解决本题．
【详解】解：


，
故选：A．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是把握完全平方公式的特征：．
2．C
【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解
【详解】解：∵ x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论．
3．D
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
4．D
【分析】根据可得，进而可得方程，再解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
可得：，
，
，
解得： =-2， = ，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数运算，以及解方程，关键是正确理解所给条件所表示的意义．
5．C
【分析】先根据一元二次方程的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵是方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，
．也考查了一元二次方程的解．
6．B
【分析】把x=1代入方程，即可得到关于m的方程，然后再求解即可．
【详解】解：把x=1代入方程得：1-m+2=0，解得：m =3．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，理解方程的解的定义是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据一元二次方程的定义判断．
【详解】因为是一元一次方程，
故不符合题意；
因为是一元二次方程，
故符合题意；
因为不是一元二次方程，
故不符合题意；
因为不是一元二次方程，
故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程即含有一个未知数且含有未知数项的次数最高是2次的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
8．B
【分析】分别根据一元二次方程的定义、二元二次方程组的定义、分式方程的定义、二项方程的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、是一元二次方程，则此项不符合题意；
B、是二元二次方程组，则此项符合题意；
C、是分式方程，则此项不符合题意；
D、不是二项方程，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程，较难的是二项方程的判断，解题的关键是掌握二项方程的定义：如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．
9．B
【分析】先计算根的判别式的值，得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵
，
∴方程无实数根．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程的根的关系，即当> 0时，方程有两个不相等的实数根，当= 0时，方程有两个相等的实数根，当 < 0时， 方程无实数根．
10．B
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、因式分解法解一元二次方程等知识对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①错误．
②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确．
③由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、因式分解法解一元二次方程、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
11．
【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．
【详解】解：由题可得：
∴解方程得，
关于的方程、是常数，是“差1方程”，
，
，
，
，
，
时，的最大值为9．
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．
12．-9
【分析】先将原式进行配方后即可得出m，n的值，再代入计算即可．
【详解】解：
=
=，
∵，
∴，即当时，二次三项式的最小值为-6，
∴，
∴，
故答案为：-9．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确进行配方是解答本题的关键．
13．-5
【分析】先利用配方法把所求的代数式配方，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：-5．
【点睛】本题主要考查了配方法的使用和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．
14．
【分析】根据方程的两个实数根求解即可．
【详解】，即得该式可分解为．
故答案为：．
【点睛】考查二次三项式的因式分解，方程有实数根的前提下进行分解．
15．13
【分析】首先从方程中，确定第三边的边长为2或4；再检验2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【详解】解：由方程，得：
解得，，
当第三边是2时，，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，，能构成三角形，三角形的周长为4＋3＋6＝13．
故答案为：13．
【点睛】本题解一元二次方程和三角形三边关系，求三角形的周长，注意检验三边长能否成三角形．
16．，，
【分析】先把方程的左边分解因式，即可得出三个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：，
，
，
或或，
解得：，，，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．
17．2或8
【分析】设BP的长为x，则CP的长为(10-x)，分别在Rt△ABP和Rt△DCP中利用勾股定理用x表示出和，然后在Rt△ADP中利用勾股定理得出关于x的一元二次方程，解出x的值即可．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，DC=AB=4，
设BP的长为x，则CP的长为(10-x)，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
，
在Rt△DCP中，由勾股定理得：
，
又∵∠APD=90°，
在Rt△APD中，，
∴
整理得：-10x+16=0，
解得：，=8，
故答案为2或8．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理及一元二次方程，学会利用方程的思想求线段的长是关键．
18．2
【分析】根据分式值为0的条件解答即可．
【详解】∵分式的值为0，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查分式值为0的条件，解一元二次方程．掌握分式值为0的条件：分子为0，分母不为0是解题关键．
19．且
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式，列出关于的不等式组，然后求出不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：关于x的方程有两个实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式是解题的关键，一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
20．
【分析】先利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，解题的关键是掌握：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
21．(1)①②
(2)或
(3)或3
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的新定义列出有关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出n的值．
【详解】（1）①
解得：，
②，
解得：，
③，
解得，
∴属于“同伴方程”的有①②，
故答案是：①②；
（2）一元二次方程的解为，
当相同的根是时，则m−1=0，解得；
当相同的根是时，则，解得；
综上，m的值为1或；
（3）∵关于x的一元二次方程同时满足和，
∴关于x的一元二次方程的两个根是；
∵的两个根是，
∵关于x的一元二次方程与互为“同伴方程”，
∴或3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键．
22．(1)①不是；②是
(2)
(3)b2＝a2+4a
【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可．
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到b2＝a2+4a．
（1）
解：①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴|x1﹣x2|＝，
∴方程2x2﹣2+1＝0是差根方程；
（2）
x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）
设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即，
∴b2＝a2+4a．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
23．(1)且a≠0；
(2)
(3)当a为1或5时，原方程的两个根均为有理数．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到a≠0且Δ=22-4a×（-3）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）把x=2代入ax2+2x-3=0得4a+4-3=0，然后解关于a的方程即可；
（3）利用求根公式得到当Δ=4+12a为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，然后对a=1、2、3、4、5依次进行判断．
（1）
解：根据题意得a≠0且Δ=22-4a×（-3）＞0，
解得：且a≠0；
（2）
解：把x=2代入ax2+2x-3=0得4a+4-3=0，
解得：；
（3）
解：当Δ=4+12a为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，
当a=1时，Δ=4+12=16；
当a=2时，Δ=4+24=28（舍去）；
当a=3时，Δ=4+36=40（舍去）；
当a=4时，Δ=4+48=52（舍去）；
当a=5时，Δ=4+60=64，
综上所述，当a为1或5时，原方程的两个根均为有理数．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．