【专项练习】全套专题数学八年级上册 特训08 期末解答题汇编（精选39题）-八年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）（习题及答案）

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1．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可；
（3）利用积的乘方得：原式，然后利用平方差公式计算即可；
（4）将原式变形得：，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．
2．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)2
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用二次根式的性质及运算法则求解；
（2）利用二次根式的性质及运算法则求解；
（3）利用二次根式的性质及运算法则求解；
（4）利用二次根式的性质及运算法则求解．
【解析】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
3．计算：．
【答案】
【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法的法则计算即可．
【解析】解：根据题意：，，，
又∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查二次根式的加减法，利用二次根式的性质化简．解题的关键是将二次根式化为最简二次根式．
4．已知，求的值．
【答案】
【分析】先根据分式混合运算的法则和二次根式的性质把原式进行化简，再把a的值代入代数式进行计算即可．
【解析】解：
∵，
∴，
∴原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的性质，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
5．已知，求的值．
【答案】
【分析】根据分母有理化得出，然后根据分式的加减运算以及二次根式的性质化简，最后将，代入进行计算即可求解．
【解析】解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
6．计算：
【答案】
【分析】根据分数指数幂进行计算即可求解．
【解析】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了分数指数幂及平方差公式，正确的计算是解题的关键．
7．先化简再求值：，其中， ．
【答案】
【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
【解析】解：原式
＝
，
当，
时：
原式．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
8．先化简，再求值，其中，．
【答案】，
【分析】根据分母有理化和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
9．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，4
【分析】根据分式以及二次根式的运算法则，先将原式进行化简，再将，代入即可得出答案．
【解析】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查分式的化简求值以及二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是本题解题关键．
10．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据公式法求解即可；
（2）根据因式分解法求解即可．
【解析】（1）解：，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，即，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活选择适当的方法进行求解是解题的关键．
11．解方程
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程；
（3）先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程；
（4）利用换元法解方程：设，原方程化为，解得，然后分别解和即．
【解析】（1）解：
，
或，
所以；
（2）解：
，
，
所以；
（3）解：
，
，
所以；
（4）解：
设，
原方程化为，
，
，
所以，
当时，，此方程没有实数解；
当时，，解得，
所以原方程的解为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
12．在实数范围内因式分解：．
【答案】
【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．
【解析】解：
＝
＝
．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键．
13．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数a，方程总有实数根；
(2)若方程的一个根是3，求a的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)，方程的另一个根是1
【分析】（1）要想证明对于任意实数a，方程有两个不相等的实数根，只要证明即可；
（2）把方程的一根代入原方程求出a的值，然后把a的值代入原方程求出方程的另一个根．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴对于任意实数a，方程总有实数根；
（2）解：把代入原方程，得：
，
解得：．
把代入原方程，得．
∴．
∴方程的另一个根是1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法是解题的关键．
14．学校阅览室每天中午放学时间都向师生开放．据统计，第一个月进阅览室128人次，若进阅览室人次逐月增加，且月平均增长率相同，预计到第三个月末累计进阅览室608人次．求进阅览室人次的月平均增长率．
【答案】进阅览室人次的月平均增长率为．
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进阅览室的人次，再根据到第三个月末累计进阅览室608人次，列方程求解．
【解析】解：设进阅览室人次的月平均增长率为，
根据题意，得：
解得；（舍去）．
答：进阅览室人次的月平均增长率为．
【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
15．如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为米，设栅栏的长为x米，解答下列问题：
(1)_____米（用含x的代数式表示）；
(2)若矩形场地面积为平方米，求栅栏的长．
【答案】(1)
(2)栅栏的长为米
【分析】（1）直接根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解答．
【解析】（1）解：根据题意，米，
故答案为：；
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：，.
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意.
答：栅栏的长为10米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，根据题意，正确列出一元二次方程并正确求解是解答的关键，注意要检验解符合题意．
16．德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
(1)用含x的代数式表示：经过第一轮传染后，共有多少人感染了德尔塔病毒？
(2)列方程求解：在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
【答案】(1)人；
(2)11．
【分析】（1）因为每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，经过第一轮传染后，共有人感染了德尔塔病毒；
（2）两轮传播了人，列方程得，解方程即可．
【解析】（1）解：设平均一个人传染了x人，
根据题意，经过第一轮传染后，共有人感染了德尔塔病毒；
（2）解：由题意可知：，
整理得，
解得或（舍去）．
答：平均一轮传染11个人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用传播问题，熟练掌握传播问题解法是解题的关键．
17．某商店将进价为8元的商品按每件元售出，每天可售出件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少件．
(1)若售价提高3元，此时单件利润为______元，销售量为______件；
(2)在每件盈利不少于5元的前提下，应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为元？
【答案】(1)5，
(2)每件售价应定为元
【分析】（1）利用售价成本求利润；由原来的销量减少的销量就可以得出现在的销量而得出结论；
（2）设每件售价定为x元，由利润每件利润销售数量建立方程求出其解，再根据每件盈利不少于5元求出x的值．
【解析】（1）解：若售价提高3元，此时单件利润为（元），
销售量为（件），
故答案为：5，；
（2）设每件售价定为x元，
由题意，得，
解得，，
∵每件盈利不少于5元，
∴，
解得，
∴，
答：要使每天利润达到元，则每件售价应定为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键．
18．已知，并且与x成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求：y关于x的函数解析式．
【答案】
【分析】设所求的函数解析式为，再将所给的点代入可求得，即可求函数解析式．
【解析】解：设所求的函数解析式为，
当时，；当时，，代入，
∴，解得．
∴函数解析式是：．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、正比例函数、反比例函数的定义等知识点，掌握用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
19．若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数．
(1)求的值；
(2)反比例函数图象过点（其中），求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据和是关于的方程的两个不相等实数根，可得，求出k的取值范围，再根据是非负整数即可确定的值；
（2）根据根与系数的关系可得，进一步可得的值．
【解析】（1）解：∵和是关于的方程的两个不相等实数根，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵是非负整数，
∴；
（2）原方程化为：，
∴和是关于的方程的两个不相等实数根，
∴，
∵反比例函数图象过点（其中），
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
20．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）
(1)求k的值；
(2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
(3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为 ．
【答案】(1)k=6；
(2)一、三；减小
(3)点B（﹣1，6）不在这个函数的图象上，理由见解析
(4)﹣6＜y＜﹣2
【分析】（1）利用待定系数法求出k的值即可；
（2）利用反比例函数的性质进而得出答案；
（3）利用函数图象上点的坐标特点得出即可；
（4）利用x的取值范围，得出y得取值范围即可．
（1）
解：∵点A（2，3）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×3=6；
（2）
解：∵k=6＞0，
∴此函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
故答案为：一、三；减小；
（3）
解：∵k=6，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵当x=-1时，y==-6，
∴点B（-1，6）不在这个函数的图象上；
（4）
解：当-3＜x＜-1时，x=-3时，y=-2；x=-1时，y=-6，
则y的取值范围为：-6＜y＜-2．
故答案为：-6＜y＜-2．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的性质等知识，熟练应用相关性质是解题关键．
21．已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）如图（见解析），过点作轴于点，从而可得，设点的坐标为，从而可得，再根据三角形的面积公可求出的值，由此即可得出答案．
【解析】解：（1）设正比例函数的解析式为，
将点代入得：，解得，
则正比例函数的解析式为；
（2）如图，过点作轴于点，
，
，
设点的坐标为，则，
的面积是，
，即，
解得或，
故点的坐标为或．
【点睛】本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键．
22．如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点，过点C的直线（，b为常数）与x轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求的面积．
【答案】（1）；（2）6
【分析】（1）将点C代到反比例函数解析式中，可求得结果；
（2）求出直线解析式，即可得解；
【解析】（1）∵点在反比例函数图象在第一象限的分支上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）当时，，
∴交点坐标为，
∵和在直线上，
∴，解得，
∴，
∵在直线上，
∴令，则，
∴，
∴S．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确分析计算是解题的关键．
23．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)请直接写出点B所对应的数；
(2)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
(3)轿车出发多长时间追上货车？
【答案】(1)1.5
(2)轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米
(3)轿车出发2.4小时追上货车
【分析】（1）点B所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可；
（2）根据图象先算出货车的速度，用轿车到达乙地所用的时间乘以货车的速度可算出货车与甲地的距离；
（3）由图象可知两车相遇在第2.5小时之后，算出轿车在CD段的速度，根据等量关系，轿车行驶路程＝货车行驶路程，列出方程解决问题即可．
（1）
解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时除法，
∴轿车第1.5小时出发，
∴点B所对应的数是1.5；
（2）
解：根据图象可知，货车速度是（千米/小时），
（千米），
∴轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（3）
解：∵轿车在CD段的速度是：（千米/小时），
设轿车出发x小时追上货车，
∴，
解得，
∴轿车出发2.4小时追上货车．
【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，能够在图象中提取有用信息并解决问题是解决本题的关键．
24．如图，点A、B在 反比例函数的图像上，且A、B 横坐标分别是a、2a．轴，垂足为C，三角形的面积为2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点也在反比例函数的图像上，试比较的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形的面积为2，可得，从而可得答案；
（2）由时，反比例函数图像在每个象限内，y随x的减小而增大，结合，可得答案．
【解析】（1）解：根据反比例函数的几何意义，可得
，由，即得：，
则反比例函数解析式为；
（2）当时，反比例函数图像在每个象限内，
y随x的减小而增大，由，即得：，
由此即得：．
【点睛】考查反比例函数的几何意义，反比例函数的增减性，掌握“的几何意义”是解本题的关键．
25．如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点C（m，n）, .过点A作轴垂线，垂足为B，过点C作轴垂线，垂足为D，联结OC．
（1）求的值；
（2）设的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系；
（3）联结AC，当第（2）问中S的值为1时，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题．
（2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题．
（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题．
【解析】（1）设A点的坐标为（4，）；
由题意得：，解得：k=8，
即k的值为8．
（2）如图，设C点的坐标为C（m，n）．
则n=m，即DE=m；而OD=m，
∴S=OD•DE=m×m=m2，
即S关于m的函数解析式是S=m2．
（3）当S=1时，m2=1，解得m=2或-2（舍去），
∵点C在函数y=的图象上，
∴CD==4；
由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4-2=2；
∴S梯形ABDC＝ (4+2)×2=6，
S△AOB＝×4×2＝4，
S△COD＝×2×4=4；
∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD-S△AOB=6+4-4=6．
【点睛】该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明．
26．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
【答案】（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学生能安全进入教室，计算说明过程见解析．
【分析】（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，再根据题干信息建立二元一次方程组，然后解方程组即可得；
（2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出时，y的值，与1进行比较即可得．
【解析】（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和
则
解得
答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和；
（2）一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要
当时，
则点A的坐标为
设反比例函数表达式为
将点代入得：，解得
则反比例函数表达式为
当时，
故一班学生能安全进入教室．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、反比例函数与一次函数的综合等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确求出反比例函数的解析式是解题关键．
27．如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）直接利用证明即可；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，即可求出的度数．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
在和中，，
∴（）；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
由（1）知：，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
28．在中，，D为中点，于E，交的延长线于F．
(1)求证：；
(2)求证：垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由证明，即可得出结论；
（2）连接，交于点G，由（1）得，再由，得，则，然后由等腰三角形的性质即可得出结论．
【解析】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：如图，连接，交于点G，
由（1）得：，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
即垂直平分．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
29．已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC.
【答案】证明见解析
【分析】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论.
【解析】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴∠EAD＝∠ADC，
∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ADC.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
30．在中，．
(1)尺规作图：求作的垂直平分线，分别交，于点，；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】(1)画图见解析；
(2)．
【分析】（1）作的垂直平分线即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得，由，得，再根据三角形内角和定理即可求的度数．
【解析】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：，
，
又垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了作图基本作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
31．已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且．
(1)求证：；
(2)当点是边的中点时，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，先根据，且可知，再根据，即可得出，进而可得出，由等角对等边可知；
（2）先根据（1）中可知，由全等三角形的判定定理可得出，再根据全等三角形的性质可得出，，同理证明，得出，推出，由等腰三角形三线合一即可得出．
（1）
证明：连接．
，且，
，
又，
，
，
；
（2）
证明：由（1）可知，，
在与中，
，，，
，
，，
在与中，
，，，
，
，
，
又为的中点，
垂直平分．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
32．已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证：
(1)DG＝DE；
(2)∠DEG＝∠DEC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据AD⊥BC，∠ABC＝45°，可以得到△ABD是等腰直角三角形，得到AD=BD，根据BE⊥AC，得到∠C+∠CBE=90°，根据∠CAD+∠C＝90°，得到∠FBD＝∠CAD，推出△BDF≌△ADC，得到BF＝AC，根据G为BF的中点，得到DG＝BF，根据AB＝CB，BE⊥AC，得到E为AC的中点．推出DE＝AC，得到DG＝DE；
（2）根据BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，得到BG＝AE，根据∠DBG＝∠DAE，AD=BD，推出△BDG≌△ADE，得到∠BDG＝∠ADE，推出∠DGE＝∠DBG+∠BDG，根据∠DEC＝∠DAE+∠ADE，得到∠DGE＝∠DEC，根据DG＝DE，得到∠DGE＝∠DEG，推出∠DEG＝∠DEC．
【解析】（1）证明：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD＝90°-∠ABC=45°，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵∠CAD+∠C＝90°，
∴∠FBD＝∠CAD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF＝AC，
∵G为BF的中点．
∴DG＝BF，
∵AB＝CB，BE⊥AC，
∴E为AC的中点．
∴DE＝AC，
∴DG＝DE；
（2）（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，
∴BG＝AE，
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴∠BDG＝∠ADE，
∴∠DGE＝∠DBG+∠BDG，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，
∴∠DGE＝∠DEC，
∵DG＝DE，
∴∠DGE＝∠DEG，
∴∠DEG＝∠DEC．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形，等腰三角形，直角三角形斜边上的中线，三角形外角．解决本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形外角性质．
33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CDBE；
(2)如果CE=3BE，求的值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)=．
【分析】（1）过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，先根据AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，再证Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后证明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即可；
（2）先求出BC= 4BE， CD= 2BE,，然后S△ABC=，S△ADC=即可．
（1）
证明：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴CE=CF，
∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；
（2）
解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，
∴S△ABC=，
∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，
∴S△ADC=，
∴=．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分是解题关键．
34．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
(1)若，则_________；
(2)若周长，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，，利用三角形内角和求出，再利用三角形外角和求出即可；
（2）根据得出的长，再推出，即可列式求解．
【解析】（1），，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵垂直平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵周长，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力．
35．如图，点E是的中点，，平分．求证：
(1)平分；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由角平分线的性质得到，等量代换得到，利用证明，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由（1）得出，利用证明，得到，再根据线段的和差即可得解．
【解析】（1）证明：如下图，过E作于F，
∵，平分，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1）知，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解决问题的关键．
36．如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形．
(1)在y轴正半轴取一点E，使得是一个等腰直角三角形，与交于M，已知，求．
(2)若等边的边长为6，点C在边上，点D在边上，且．反比例函数的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）过M作轴交x轴于点H，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，再在中，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出即可；
（2）过C作轴交x轴于点F，过D作轴交x轴于点G，设，分别用含a的代数式表示出C点和D点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
【解析】（1）解：如图，过M作轴交x轴于点H，设，
∵，是等腰直角三角形，
∴，，
∴也是等腰直角三角形，即，
∵，
∴，
解得：，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，（舍），
∴；
（2）解：如图，过C作轴交x轴于点F，过D作轴交x轴于点G，设，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，，
∵点C和点D在上，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含直角三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法求反比例函数，作出合适的辅助线，求出相关线段的长度是解题的关键．
37．如图，中，，，．点P是射线CB上的一点（不与点B重合），EF是线段PB的垂直平分线，交PB与点F，交射线AB与点E，联结PE、AP．
（1）求的度数；
（2）当点P在线段CB上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果，请直接写出的面积．
【答案】（1）；（2），定义域为：；（3）当点P在线段CB上时，，当点P在线段CB延长线上时，．
【分析】（1）由题意及勾股定理逆定理可得，取BC的中点H，连接AH，则有，然后可得，则有，最后问题可求证；
（2）过A作，垂足为点D，根据含30度直角三角形的性质可得，，然后根据勾股定理可得，进而根据三角形面积公式可进行求解；
（3）由题意可分①当点P在线段CB上时，②当点P在线段CB延长线上时，然后分类求解即可．
【解析】（1）解：∵中，，，，
∴，．
∴，
∴．
∵中，，，
∴．
取BC的中点H，连接AH，如图所示：
∴，，
∴，
∴△AHC是等边三角形，
∴，
∴．
（2）过A作，垂足为点D．
中，∵，，
∴．同理：．
中，，
∴，
∴．
∴，，
∴，
∴所求函数解析式为，
∵点P在线段CB上，且不与点B重合，
∴，
∴定义域为：．
（3）当时，①当点P在线段CB上时，由（2）可知：，
②当点P在线段CB延长线上时，过A作，垂足为点M．如图所示：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
38．如图1，和均为等腰三角形，，，，，且点A、D、E在同一直线上，连结
(1)求证：．
(2)如图2，若，于．若，，试求的长．
(3)如图3，若，于，于，，，直接写出的值（用，的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据“SAS”证明，即可得出；
（2）设交于点H，由全等三角形的性质得出，，证出，是等腰直角三角形，得出，得出，求出，由勾股定理即可得出答案；
（3）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，，．由全等三角形的性质得，，然后由30°角的性质和勾股定理求出和，即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：设AE交BC于点H，如图2所示：
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵和均为等腰三角形，且，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴．
连接．
由（1）知，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点P是边AC上的动点（点P与点A不重合），D是边AB上的动点，且PA=PD，ED⊥DP，交边BC于点E．
(1)求证：BE=DE；
(2)若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
(3)延长ED交CA的延长线于点F，连接BP，若△BDP与△DAF全等，求线段PE的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3)
【分析】（1）利用等角的余角相等证明，从而证明；
（2）过作于，在中计算，从而得出的长，；
（3）由全等推出是顶角为的等腰三角形，从而推出是的中点，与重合，计算此时的长度即可．
（1）
证明：，
，
，
又，
，
，
，
，
．
（2）
如图1，过点作于，
在中，，，，
，，．
，，
，
在中，，
，，
，
，
，，
是等边三角形，
当点与点重合时，，即，解得；
当点与点重合时，，即，解得．
点与点不重合，．
；
（3）
如图2，延长交的延长线于点，连接，．
则，
，
是顶角为的等腰三角形，
与全等，，
，
，
，点与点重合，
，，即，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的应用，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．