河北省保定市部分高中2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省保定市部分高中2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题（Word版附解析），共28页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 若函数，则等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟，满分：150分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若虚数是关于的方程的一个根，且，则（ ）
A. 6B. 4C. 2D. 1
3. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A B. C. D.
4. 已知函数，数列满足，，，则（ ）
A. 0B. 1C. 675D. 2023
5. 已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为，上口的内径约为，圆柱的深度和底面内径分别约为，则“何尊”的容积大约为（ ）
A. B. C. D.
7. 直三棱柱中，，P为BC中点，，Q为上一点，，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（ ）
A. B. 4C. D. 5
8. 若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（ ）
A. B.
C D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9 已知实数a，b满足，则（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为1
10. 若函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的定义域为
C. 在上单调递增
D. 的图象关于点对称
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为B.
C. 的面积为D.
12. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的值可以为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，请写出一个使为假命题的实数的值，______．
14. 2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.
15. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若为该抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为__________.
16. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点满足，，则该“鞠”的表面积为_______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列满足______，求的通项公式；
（2）已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．
18. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的值；
（2）若，求周长的取值范围．
19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，，，，，E为PD中点.
（1）求证：面PAB；
（2）点Q在棱PA上，设，若二面角P－CD－Q余弦值，求.
20. 全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．

（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
（2）由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）
附：①；②若，则，；③．
21. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当的面积最大时，求此时直线l的方程．
22. 已知，．
（1）求在点的切线方程；
（2）设，，判断的零点个数，并说明理由．
2023-2024学年高三年级上学期期末考试
数学试题
（考试时间：120分钟，满分：150分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合B，后由交集定义可得答案.
【详解】集合，因在上单调递减，则，得
故选：B．
2. 若虚数是关于的方程的一个根，且，则（ ）
A. 6B. 4C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】设复数，将其代入方程求得，，然后利用复数即可求解.
【详解】依题意，设（且），
代入方程，得，
整理得．
所以，解得，
因为，即，所以．
故选：C．
3. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.
【详解】依题意，函数的大致图像如下图：
因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
则当或时，；当时，，
不等式化为或，
所以或或，
解得或或，即或，
即原不等式的解集为；
故选：C.
4. 已知函数，数列满足，，，则（ ）
A. 0B. 1C. 675D. 2023
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数计算可得，再利用数列的周期性可求.
【详解】的定义域为，且，
故为上的奇函数.
而，
因在上为增函数，在为增函数，
故为上的增函数.
又即为，故，
因为，故为周期数列且周期为3.
因为，
所以.
故选：B.
5. 已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得，从而得解..
【详解】因为，，，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：A.
6. 如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为，上口的内径约为，圆柱的深度和底面内径分别约为，则“何尊”的容积大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆柱以及圆台的体积公式计算，即可得答案.
【详解】由题意可知圆台的高为，
故组合体的体积大约为，
故选：C
7. 直三棱柱中，，P为BC中点，，Q为上一点，，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】如图，在上取点M，使得，取的中点N，连接，则，利用线面垂直的判定定理与性质可得，则截面为直角梯形APQM，结合题意求出QM、AP、PM，由梯形的面积公式计算即可求解.
【详解】如图，在上取点M，使得，取的中点N，连接，
则，又，所以，
得A、P、M、Q四点共面，又，为BC的中点，所以，
由，得，又平面，
所以平面，由平面，得，
所以截面为直角梯形APQM，且，得，
所以，
作于D，则，
所以.
故选：C．
8. 若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围.
【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点，
对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ，
所以切线方程分别为：，，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得：，解得（），令 （），
，得：，
当 时， ，是减函数，
当 时， ，是增函数，
∴且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于；
∴，∴；
故选：D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 已知实数a，b满足，则（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质可得.结合对数函数、幂函数的单调性即可判断AB；利用作差法计算即可判断C；结合基本不等式计算即可判断D.
【详解】由可知，，由不等式的性质可知，则．
选项A：因为对数函数为减函数，，所以，故A错误；
选项B：由函数的单调性可知，故B正确；
选项C：因为，所以，故C正确；
选项D：，
当且仅当，即时取得等号，显然等号不成立，故D错误．
故选：BC.
10. 若函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的定义域为
C. 在上单调递增
D. 的图象关于点对称
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，由求出最小正周期；B选项，整体法得到，求出定义域；C选项，得到，得到在上单调递增；D选项，整体法求解出函数的对称中心.
【详解】A选项，的最小正周期为，A错误；
B选项，由，得，B正确；
C选项，由，得，因为在上单调递增，
所以在上单调递增，C正确；
D选项，由，得，当时，，
所以的图象关于点对称，错误.
故选：BC
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为B.
C. 的面积为D.
【答案】AB
【解析】
【分析】先根据抛物线方程得出的坐标，即的值，进而求出，得出双曲线的方程.即可得出A项；联立双曲线与抛物线的方程，求出点坐标，即可求得的值，判断B项、得出的面积，判断C项、求得的值，根据余弦定理，得出的值，判断D项.
【详解】
由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即.
又，所以，
所以，双曲线的方程为.
对于A项，双曲线的的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，
整理可得，，解得或（舍去负值），
所以，代入可得，.
设，又，所以，故B项正确；
对于C项，易知，故C项错误；
对于D项，因为，
所以，由余弦定理可得，，故D项错误.
故选：AB.
12. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的值可以为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】CD
【解析】
【分析】将问题转化为方程恰有3个实数根，再讨论时可得有1个根，进而当时，方程有2个实数根，再构造函数，求导分析单调性与最值即可.
【详解】令，解得，故问题转化为方程恰有3个实数根.
当时，令，解得，
故当时，方程有2个实数根.
令，即，显然不是该方程的根，
.令，
则，
故当时，，当时，，
故当时，有极小值6，而时，，当，且时，，
故实数的取值范围为.
故选：CD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，请写出一个使为假命题的实数的值，______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.
【详解】由题意，，为真命题，
当时，恒成立，满足题意，
故答案为：0（答案不唯一）.
14. 2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用计数原理和排列组合公式，分别计算甲、乙分配到同一个场馆的方法数和甲分配到游泳馆的方法数，根据古典概型的计算公式计算.
【详解】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：
（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为种；
（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为种，
即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为.
若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为，
故所求的概率为.
故答案为：
15. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若为该抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用直线的点斜式方程写出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，结合三点共线线段最小及两点间的距离公式即可求解.
【详解】由题可知直线的方程为，设，则
由,消去，整理得，，
所以，
所以，解得，
所以，而圆的圆心,
因为，
当且仅当点在同一条直线上取等号，且点位于点之间，如图所示：
又，
所以的最小值为.
故答案为：.
16. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点满足，，则该“鞠”的表面积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积.
【详解】取的中点，连接，
因为，所以且，
故，
因为，所以，
故，
在上取点，使得，则点为等边的中心，则，
设点为三棱锥的外接球球心，则平面，
连接，设外接球半径为，则，
过点作⊥，交延长线于点，则，
由于在平面中，故，故平面，
过点作⊥于点，则，
，，，
故，设，则，
由勾股定理得，，
故，解得，
故，
故该“鞠”的表面积为.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列满足______，求的通项公式；
（2）已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，由已知可推得，进而得出数列是常数列，从而得出；若选②，由已知推得，进而根据与的关系，即可推得；若选③，根据等差中项的性质，可推得数列是等差数列.然后由已知求得，即可得出.
（2）根据已知可求出，然后根据对数运算以及裂项化简可得，然后相加即可得出.
【小问1详解】
若选①且
由可得.
又，
所以数列是常数列，且，所以.
若选②
由已知可得，.
当时，有；
当时，有，
，
两式作差可得，，
所以.
又满足，所以.
若选③且，
由可得，，
所以，数列是等差数列.
又，，
所以，所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，所以.
设等比数列公比为，
由已知可得，解得，
所以.
所以，
所以.
18. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的值；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得，应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C；
（2）法一：将用的三角函数表示出来，结合求周长范围；法二：首先得到，再用表示周长，利用函数的单调性求范围.
【小问1详解】
，
（法一），，，
∴，则，又为锐角三角形，故.
（法二）则，，
∴，且锐角三角形，故.
【小问2详解】
，，
由于为锐角三角形，则，且，解得，
（法一）周长
，而，即，
∴，故的周长l的取值范围为．
（法二）由上，由余弦定理得，
周长，
记，则在单调递增，
∴周长l的取值范围为．
19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，，，，，E为PD中点.
（1）求证：面PAB；
（2）点Q在棱PA上，设，若二面角P－CD－Q余弦值为，求.
【答案】（1）答案见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）取PA中点为F，连接EF，FB.通过证明，可得面PAB.
（2）如图建立以C为原点，CM所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CN所在直线为z轴的空间直角坐标系，由，可得，后分别求出平面PCD法向量，平面CDQ法向量，则，据此可得答案.
【小问1详解】
取PA中点为F，连接EF，FB.因E，F分别为PD，PA中点，则
，即四边形ECBF平行四边形，
则，又平面PAB，平面PAB，则面PAB；
【小问2详解】
取CD中点为G，因，则.
又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDC，
则平面ABCD.过C点作BA平行线，交AD于M.因平面ABCD，
则.过C做PG平行线CN，则以C为原点，CM所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CN所在直线为z轴，如图建立空间直角坐标系.
则
注意到，则，故.
则，，，
.
设平面PCD法向量为，则，取；
设平面CDQ法向量为，则，
令，则，故取.
因二面角P－CD－Q余弦值为，则，
即.
又，则.
.
20. 全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．

（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
（2）由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）
附：①；②若，则，；③．
【答案】（1），
（2）①317户；②
【解析】
【分析】（1）由平均数和方差的计算公式求解即可；
（2）①根据正态分布的对称性得出，进而得出所求户数；②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.
【小问1详解】
这2000户农户家庭年收入的样本平均数
.
这2000户农户家庭年收入的样本方差
.
【小问2详解】
①农户家庭年收入近似服从正态分布.
因为，所以.
因为，
所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.
②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布.
所以
21. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当的面积最大时，求此时直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得、，结合求出a、b即可求解；
（2）设直线l的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，根据弦长公式表示，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
椭圆C的离心率为，
又点M到右焦点距离的最大值为，即，
解得，．
又由，可得．
∴椭圆C的方程为：．
【小问2详解】
由题意，设直线l的方程为，
联立得，
设，，
则，，
，
当且仅当即时取等号．
∴所求直线l的方程为或．
22. 已知，．
（1）求在点的切线方程；
（2）设，，判断的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）
（2）存在唯一零点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程即可；
（2）先根据题意得到，再分，，三种情况讨论，结合构造函数，二次求导，零点存在性定理即可得到结论．
【小问1详解】
由，，
则，
所以，，
所以在点的切线方程为．
【小问2详解】
依题意得，
①当时，因为，，所以，即无零点；
②当时，，，
因为，，所以，即在上递减，
令，，
则，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，
所以当，，即；
当，，即，即，
则，，
所以存在，使得在上递增，在上递减，
又，所以，而，
所以在上存在唯一零点；
③当时，设，则，，
因，所以，即在上递减，
又，，
所以存在，使得在上递增，在上递减，
又，，
所以存在，使得在上递增，在上递减，
又，，所以在上递增，所以，
所以在上无零点，
综上可知，在上存在唯一零点．
【点睛】关键点点睛：涉及函数零点问题，利用导函数研究函数的单调性，极值和最值情况，结合零点存在性定理是解答这类题的关键．