江苏省启东市东南中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省启东市东南中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分。）
1.焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，长轴长为10的椭圆的标准方程为( )
A. x2100+y296=1B. x225+y221=1C. x296+y2100=1D. x221+y225=1
2.已知函数f(x)=alnx+x2在x=1处的切线与直线x+y−1=0垂直，则a的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.《九章算术》中的“竹九节”问：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A. 6766升B. 6566升C. 6366升D. 6166升
4.已知空间向量a=(0,1,2)，b=(−1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A. (−13,23,23)B. (−23,43,43)C. (−2,4,4)D. (−43,23,23)
5.过圆C ​1：x ​2+y ​2=1上的点P作圆C ​2：(x−3)2+(y−4)2=4的切线，切点为Q，则切线段|PQ|长的最大值为 ( )
A. 2 3B. 21C. 4 2D. 35
6.已知数列{an}满足an=(3−a)n−2,n⩽6an−5,n>6，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A. (167,3)B. [167,3)C. (1,3)D. (2,3)
7.已知函数f(x)=13x3−axlna在其定义域(0,+∞)内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是( )
A. (0,1)∪(1,e2e)B. (0,1)C. (e2e,+∞)D. (1,e2e)
8.瑞士数学家欧拉(Lenℎard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,2)，其欧拉线方程为2x−y−2=0，则顶点C的坐标是( )
A. (185,165)B. (165,185)C. (3613,5013)D. (5013,3613)
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选2分，错选0分，共20分。）
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)=2，则limΔx→0f(1+2Δx)−f(1)Δx=2
B. 已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=12
C. 若函数f(x)=−13x3+x2+1，则f(x)的极大值为1
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−94
10.已知直线l:kx−y+2k=0和圆O:x2+y2=16，则( )
A. 直线l恒过定点2,0
B. 存在k使得直线l与直线l0:x−2y+2=0垂直
C. 直线l与圆O相交
D. 若k=−1，直线l被圆O截得的弦长为4
11.数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N∗)，则有( )
A. Sn=3n−1B. Sn为等比数列
C. an=2·3n−1D. an=1,n=1,2⋅3n−2,n⩾2
12.已知抛物线y2=mx(m>0)焦点与双曲线点x2−y23=1的一个焦点重合，点P2,y0在抛物线上，则
( )
A. 双曲线的离心率为2B. 双曲线的渐近线为y=±3x
C. m=8D. 点P到抛物线焦点的距离为6
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ．
14.已知O(0,0,0)，A(−2,2,−2)，B(1,4,−6)，C(x,−8,8)，若O、A、B、C四点共面，则x= ．
15.已知函数f(x)=e2x+f′(0)ln(x+4)，则f′(0)= ．
16.在圆x2+y2=5x内，过点P(52,32)有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项为a1，最大弦长为an，若公差d∈[17,12]，那么n的取值集合为 ．
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分。）
17.(本小题10分)
已知直线l：y=ax+3−a5．
(1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限．
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−8lnx．
(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=− 4x+m，求实数a，m的值；
(2)当a=1时，求函数f(x)在区间1e,e上的最值．
19.(本小题12分)
记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=−a5，a3=4．
(1)求an的通项公式;
(2)记Tn=a1+a2+⋯+an，求Tn．
20.(本小题12分)
已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，离心率为2，右顶点为(1,0)．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过E(0,2)的直线l与双曲线C的一支交于M、N两点，求EM⋅EN的取值范围．
21.(本小题12分)
记等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，等比数列bn的公比为q，已知a1=4，b1=2，a3=2b2+2，S9=18b3．
(1)求an，bn的通项公式；
(2)记cn=anbn，记cn的前n项和为Tn，求证：Tn0时，证明：f(x)>0．
高二数学第二次质量检测答案
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，长轴长为10的椭圆的标准方程为( )
A. x2100+y296=1B. x225+y221=1C. x296+y2100=1D. x221+y225=1
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，考查计算能力，属于基础题．
利用已知条件求解a，b，判断椭圆交点位置，求解椭圆方程即可．
【解答】
解：焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，长轴长为10，
可知焦点在x轴，a=5，c=2，则b= a2−c2= 21，
所求的椭圆方程为：x225+y221=1．
故答案选：B．
2.已知函数f(x)=alnx+x2在x=1处的切线与直线x+y−1=0垂直，则a的值为
( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义及两直线垂直的条件，属于基础题．
求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得出a的值．
【解答】
解：函数f(x)=alnx+x2，求导得：f′(x)=2x+ax，
因为fx在x=1处的切线与直线x+y+1=0垂直，
所以f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=2+a=1，
解得a=−1．
故选B．
3.《九章算术》中的“竹九节”问：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A. 6766升B. 6566升C. 6366升D. 6166升
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列的实际应用，等差数列的通项公式，属于基础题．
根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d，利用方程思想求出a1和d，再利用通项公式进行求解．
【解答】
解：根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{an}，
设其首项为a1，公差为d，
由题意可得
所以4a1+6d=33a1+21d=4，解得
所以a5=a1+4d=1322+4×766=6766，
即第5节竹子的容积为6766升．
故选A．
4.已知空间向量a=(0,1,2)，b=(−1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是
( )
A. (−13,23,23)B. (−23,43,43)C. (−2,4,4)D. (−43,23,23)
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的投影向量，属于基础题．
利用投影向量的定义即可求解．
【解答】解：由题意，得a⋅b=0×−1+1×2+2×2=6，b= −12+22+22=3
则向量a在向量b上的投影向量是a⋅b|b|bb=2b3=(−23,43,43).
5.过圆C ​1：x ​2+y ​2=1上的点P作圆C ​2：(x−3)2+(y−4)2=4的切线，切点为Q，则切线段|PQ|长的最大值为
( )
A. 2 3B. 21C. 4 2D. 35
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
因为PQ= PC22−22，所以当点P到圆心C2距离最大时，切线段|PQ|最长，求出|PC2|的最大值，由此可得出答案．
【解答】解：圆C1：x2+y2=1，圆心C1：(0,0)，半径为1，
圆C2：(x−3)2+(y−4)2=4，圆心C2：(3,4)，半径为2，
因为PQ= PC22−22，所以当点P到圆心C2距离最大时，切线段|PQ|最长，
由于|PC2|max=|C1C2|+1= 32+42+1 =6，
此时|PQ|= 62−22=4 2，
即切线段|PQ|的最大值为4 2．
故选C．
6.已知数列{an}满足an=(3−a)n−2,n⩽6an−5,n>6，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是
( )
A. (167,3)B. [167,3)C. (1,3)D. (2,3)
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查数列的单调性，属于基础题．
由题意，得3−a>0a>1a7>a6，解不等式组即可．
【解答】
解：若{an}是递增数列，
则3−a>0a>1a7>a6，即a1a2>6(3−a)−2,
解得20，
g(e)=2e，
其图象如下：
∴lna∈(0,2e)，∴1e2−8 ，
∴函数f(x)在区间1e,e上的最小值f(2) =4−8ln2 ，最大值f(1e)=1e2+8．

【解析】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的最值，属于中档题．
(1)求出导函数 f′(x) ，由 求得 a ，再由f(1)=a=−4+m求得 m ；
(2)求出f ′(x) ，判断函数f(x)的单调性，结合极值以及区间端点处的函数值比较可得最值．
19.(本小题12分)
记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=−a5，a3=4．
(1)求an的通项公式;
(2)记Tn=a1+a2+⋯+an，求Tn．
【答案】解：(1)Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=−a5，a3=4，
设等差数列{an}的公差为d，
可得9a1+9×82×d=−a1−4d，a1+2d=4，
解得a1=8，d=−2，
所以an=a1+(n−1)×(−2)=10−2n;
(2)因为an=10−2n．
可知a5=10−10=0，n>5时，an6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5−(a6+a7+…+an)
=−Tn+2T5=n2−9n+40，
Tn=9n−n2,n≤5n2−9n+40,n>5．
【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
(1)利用已知条件求解数列的首项与公差，然后求解通项公式；
(2)求出数列变符号的项，然后结合等差数列的求和公式转化求解即可．
20.(本小题12分)
已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，离心率为2，右顶点为(1,0)．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过E(0,2)的直线l与双曲线C的一支交于M、N两点，求EM⋅EN的取值范围．
【答案】解：(1)由离心率 e=ca=2, 又 c2=a2+b2 ，所以 b2=3a2 ，
又右顶点为 (1,0) ，所以 a2=1 ，所以 b2=3 ，
故双曲线的标准方程为 x2−y23=1 ．
(2)直线l的斜率显然存在，设直线 l 的方程为 y=kx+2 ，设 M(x1,y1),N(x2,y2) ，
则由 x2−y23=1y=kx+2， 得 (3−k2)x2−4kx−7=0．
因为直线与双曲线一支交于 M 、 N 两点，
所以 3−k2≠0Δ=16k2+28(3−k2)>0x1x2=−73−k2>0 ，解得 3