辽宁省锦州市2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省锦州市2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 命题“”的否定为， 已知，下列不等式中正确的是，8B等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列对事件的表述正确的是（ ）
A. 与互为对立事件B. 与互斥
C. 与相互独立D.
4. 已知，下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）
A. 0.8B. 0.9C. 1.2D. 1.3
6. 已知函数是定义域为偶函数，且在单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在梯形中，直线交于点为中点，设则（ ）
A. B. C. D.
8. 设，用表示不超过的最大整数，例如：，，，则称为高斯函数.已知函数，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某公司为了解用户对其一款产品的满意度，随机调查了10名用户的满意度评分，满意度最低为0分，最高为10分，分数越高表示满意度越高.这10名用户对产品的满意度评分如下：.则下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据的众数为7
B. 这组数据的分位数为8
C. 这组数据的极差为6
D. 这组数据的方差为3.2
10. 若函数有三个零点，且，则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，函数的定义域为
B. 当时，函数的值域为
C. 函数有最小值的充要条件为
D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
12. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 幂函数在上单调递减，则__________.
14. 已知甲､乙､丙三人投篮的命中率分别为，，，若甲､乙､丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至少有一人命中的概率为__________.
15. 已知实数，则的最小值为__________.
16. 已知函数，若方程有4个不同的实数根且，则的取值范围为__________；的取值范围为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 平面内给定两个向量，.
（1）若，求实数；
（2）若向量为单位向量，且，求的坐标.
18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.
设全集，__________，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19. 已知且.
（1）求函数的解析式，并写出函数图象恒过的定点；
（2）若，求证：.
20. 某高中为了解木校高一年级学尘的综合素养情况，从高年级的学生中随机抽取了n名学生作为样本，进行了“综合素养测评”，根据测评结果绘制了测评分数的频率分布直方阁和频数分布表，如下图.
（1）求的值；
（2）由频率分布直方图分别估计该校高一年级学生综合素养成绩的中位数（精确到0.01）､平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）在选取的样本中，从低于60分的学生中随机抽取两人，求抽取的两名学生成绩属于同一组的概率.
21. 某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气．已知每制备氦气所需的原料成本为百元．若氦气日产量不足，日均额外成本为（百元）；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．
（1）写出总成本（百元）关于日产量关系式
（2）当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．
22 已知函数，且满足.
（1）求实数值；
（2）若函数的图像与直线的图像只有一个交点，求的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
4
10
12
8
4
2023~2024学年度第一学期期末考试
高一数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先写出集合，再利用集合的交集运算求解即可.
【详解】，，
.
故选：B.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定求解.
【详解】全称量词命题否定是存在量词命题，
因为命题“”是全称量词的命题，
则“”的否定为“”.
故选：D.
3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列对事件的表述正确的是（ ）
A. 与互为对立事件B. 与互斥
C. 与相互独立D.
【答案】C
【解析】
【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
事件包含的结果有：（正，正），（正，反），
事件包含的结果有：（正，反），（反，反），事件包含的结果有：（正，反），
所以与不互斥，且不对立，故A、B错误；
又，所以，所以与相互独立，故C正确，D错误.
故选：C.
4. 已知，下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于AB：根据不等式的性质分析求解；对于CD：举反例说明即可.
【详解】因，可得，则，故A错误，B正确；
例如，可得，故C错误；
例如，可得，即，故D错误；
故选：B.
5. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）
A. 0.8B. 0.9C. 1.2D. 1.3
【答案】A
【解析】
【分析】由题中等式和对数与指数的互化运算得出.
【详解】因为，
所以，
代入数据可得，
故选：A.
6. 已知函数是定义域为的偶函数，且在单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合偶函数可知，在内单调递减，结合指数函数、对数函数以及幂函数的单调性可得，即可得结果.
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，则，
又因为在内单调递增，则在内单调递减，
由在内单调递增，则；
由在内单调递减，则；
由在内单调递增，则；
综上所述：，所以.
故选：D.
7. 如图，在梯形中，直线交于点为中点，设则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用几何图形，对向量做加减线性运算即可.
【详解】因为，所以，
所以，
又因为为中点，所以,
所以=.
故选：D.
8. 设，用表示不超过的最大整数，例如：，，，则称为高斯函数.已知函数，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的定义可知为奇函数，利用分离常数法可得的值域，由表示不超过的最大整数可求得的值域.
【详解】由题意可知，且， ，
所以为奇函数，
又因为，，，所以的值域为，
根据表示不超过的最大整数可知当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上的值域为，
故选：A
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某公司为了解用户对其一款产品的满意度，随机调查了10名用户的满意度评分，满意度最低为0分，最高为10分，分数越高表示满意度越高.这10名用户对产品的满意度评分如下：.则下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据众数为7
B. 这组数据的分位数为8
C. 这组数据的极差为6
D. 这组数据的方差为3.2
【答案】ACD
【解析】
【分析】把这组数从小到大排列后，再根据相关数字特征的定义求出众数、百分位数、极差和方差.
【详解】这组数从小到大排列为.
对于A，众数为，故A正确；
对于B，因为，所以分位数为第8个数据和第9个数据的平均数，即，故B错误；
对于C，极差为，故C正确；
对于D，这组数据的平均数为，
则方差，故D正确.
故选：ACD.
10. 若函数有三个零点，且，则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由和是的两个零点求得，，可判断选项A和B；然后得到也是函数的零点，即，可判断选项C；根据可判断选项D.
【详解】和是函数的零点，
，解得，，故A错误，B正确；
，
令，得或或，
由题知，，即，故C正确；
，
即，，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，函数的定义域为
B. 当时，函数的值域为
C. 函数有最小值的充要条件为
D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A、B，当时，直接求解函数的定义域和值域即可，对于C，换元后，只需要 即可，对于D，换元后利用复合函数求单调性的方法求解即可.
【详解】当时，，
对任意恒成立，所以的定义域为，
又因为，所以，的值域为，故A正确，B错误.
对于C，令，则，
当时，有最小值，反之也成立，故C正确；
对于D，令，则，
当在区间上单调递增时，，解得，故D错误.
故选：AC.
12. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意可知：可得，根据向量的线性运算结合三角形各心得性质逐项分析判断.
【详解】
因为是的重心，是的外心，是的垂心，
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以，
对于选项A：，故选项A不正确；
对于选项B：因为是的重心，为的中点，所以，
又因为，则，
即，故选项B正确；
对于选项C：设点是的外心，所以点到三个顶点距离相等，
即，故选项C正确；
对于选项D：
，故选项D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用已知条件得，利用向量的线性运算结合可得出向量间的关系.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 幂函数在上单调递减，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质即可列关系式求解.
【详解】由题意可得，解得，
故答案为：
14. 已知甲､乙､丙三人投篮的命中率分别为，，，若甲､乙､丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至少有一人命中的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求出结果.
【详解】甲､乙､丙三人投篮的命中率分别为，，，
甲､乙､丙各投篮一次，则他们都没有命中的概率为，
则至少有一人命中的概率为.
故答案为：.
15. 已知实数，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】把变形为，再利用乘“1”法和基本不等式求出结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
当且仅当时即时，取等号.
故答案为：.
16. 已知函数，若方程有4个不同的实数根且，则的取值范围为__________；的取值范围为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分析函数的性质，并作出函数图象，结合方程根的意义及对勾函数单调性求解即得.
【详解】函数的图象对称轴是，当时，函数在上单调递增，
函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，
当时，函数在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，
由，得，因此方程的根即为直线与函数图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数的图象有4个交点，
因此方程有4个不同的实数根，的取值范围是；
显然，当时，或，于是，
由，得，即，则，
显然函数在上单调递增，从而，即，
则，所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及同一函数的几个不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 平面内给定两个向量，.
（1）若，求实数；
（2）若向量为单位向量，且，求的坐标.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据平行关系，列出方程，求出实数；
（2）根据平行关系和模长，列出方程组，求出的坐标.
【小问1详解】
，，
因为，
所以，解得；
【小问2详解】
设向量，因为向量为单位向量，所以①，
又因为，
所以②，
由①②解得或，
所以或.
18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.
设全集，__________，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合；
（2）对集合中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.
【小问1详解】
若选①：，，
即，等价于，解得，
，
因为，所以，
，
；
若选②：，，解得，，
因为，所以，
，
；
若选③：，解得，，
因为，所以，
，
；
【小问2详解】
由（1）知，
，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集.
（i）若，即，此时，
所以，等号不同时取得，解得.
（ii）若，即，则，不合题意舍去；
（iii）若，即，此时，
所以，等号不同时取得，解得.
综上所述，的取值范围是.
19. 已知且.
（1）求函数的解析式，并写出函数图象恒过的定点；
（2）若，求证：.
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）用换元法令，代入函数解析式即可求出；
（2）作差，利用指数函数的单调性即可证明.
小问1详解】
令，得，则，
所以
令，得，且，
因此，函数图象恒过的定点坐标为.
【小问2详解】
证明：因为
又因为，当且仅当时等号成立，
所以
又由，可得，
所以，即
即.
20. 某高中为了解木校高一年级学尘的综合素养情况，从高年级的学生中随机抽取了n名学生作为样本，进行了“综合素养测评”，根据测评结果绘制了测评分数的频率分布直方阁和频数分布表，如下图.
（1）求的值；
（2）由频率分布直方图分别估计该校高一年级学生综合素养成绩的中位数（精确到0.01）､平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）在选取的样本中，从低于60分的学生中随机抽取两人，求抽取的两名学生成绩属于同一组的概率.
【答案】（1），，
（2）平均数，中位数为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合频率和频数之间的关系分析求解；
（2）根据中位数、平均数的定义结合频率分布直方图运算求解；
（3）求低于60分的各组人数，利用列举法结合古典概型分析求解.
【小问1详解】
由图知第三组的频率为0.25，又由第三组的频数为10，所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：每组的频率依次为，
平均数，
设中位数为，且，可知，
所以，解的.
【小问3详解】
记事件：从低于60分的学生中随机抽取两人成绩属于同一组，
由（1）知样本中位于内的有两人，分别记为；
位于内的有四人，分别记为；
从低于60分的学生中随机抽取两人的样本空间
，，
共包含15个样本点，
所以共包含7个样本点，
所以，即从低于60分的学生中随机抽取两人成绩属于同一组的概率为.
21. 某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气．已知每制备氦气所需的原料成本为百元．若氦气日产量不足，日均额外成本为（百元）；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．
（1）写出总成本（百元）关于日产量的关系式
（2）当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．
【答案】（1）
（2）当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元
【解析】
【分析】（1）根据生产天数要求，可确定的取值范围；计算可得日产量不足和大于等于时，氦气的平均成本，由此可得关系式；
（2）分别在、的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求得最小值，综合两种情况可得结论.
【小问1详解】
若每天生产氦气，则需生产天，，则；
若氦气日产量不足，则氦气的平均成本为百元；
若氦气日产量大于等于，则氦气的平均成本为百元；
.
【小问2详解】
当时，（当且仅当，即时取等号），
当时，取得最小值；
当时，，令，则，
，则当，即时，取得最小值；
综上所述：当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元.
22. 已知函数，且满足.
（1）求实数的值；
（2）若函数图像与直线的图像只有一个交点，求的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由即可求出k的值.
（2）将函数的图像与直线的图像只有一个交点，转化为只有一个解进行求解.
（3）由题意知，，利用换元法，令，，转化为，，讨论三种情况，其中时，再讨论对称轴 ，分和两种讨论求解.
【小问1详解】
因为，即
所以，故.
【小问2详解】
由题意知方程只有一个解，即方程
只有一个解，令，则函数的图像与直线有且只有一个交点
任取且，则，所以即有
所以，
故在上为减函数，
又因为，
所以，故.
【小问3详解】
令，又因为所以，则
（i）当时，在上为增函数，
所以不符合题意
（ii）当时，对称轴为，
所以在上为增函数，
故解得（舍）
（iii）当时，开口向下，对称轴为，又因为
若，即时，解得
若，即时，解得（舍）
综上所述，.
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