四川省泸州市泸县第五中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸州市泸县第五中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线l：在x轴和y轴上的截距分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的一般是方程以及截距的定义求解.
【详解】令，则，解得；
令，则，解得；
直线l：在x轴和y轴上的截距分别是，，
故选：D.
2. 某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学参加这项活动，则他获奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】设同学随机抽取得到的两位数的十位数字为，个位数字为.
依题意，若，则，有1种情况；若，则，有2种情况.
以此类推……，
若，则，有8种情况，共计有种情况，
其中满足获奖的情况是，即，
也即获奖情况只有，这4种情况，
所以该班同学参加这项活动获奖的概率为.
故选：D
3. 如图，在空间四边形中，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形，利用向量的线性运算即可求出结果.
【详解】，
故选：C.
4. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 内切B. 相交
C. 外切D. 相离
【答案】D
【解析】
【分析】由圆与圆的位置关系性质，计算圆心距离及两半径之和比较即可得.
【详解】由圆，可得圆心为，半径，
由圆，可得圆心为，半径，
则两圆心距离为，
，则，故两圆相离.
故选：D.
5. 已知直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的条件可求出a的值，再根据a的值判断两直线是否平行，即可得答案.
【详解】当时，，解得或．
当时，与重合，不符合；
当时，与不重合，符合，
故“”是“”的充要条件．
故选：C
6. 在数列中，，则等于（ ）
A. 445B. 765C. 1080D. 3105
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果.
【详解】依题意由可得为定值，
因此可知数列是以为首项，公差为的等差数列，
即可得，所以当时，，当时，，
所以
.
故选：B
7. 在椭圆中，已知焦距为4，椭圆上的一点P与两个焦点，的距离的和等于8，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用余弦定理求，结合面积公式运算求解.
【详解】由题意可知：，，，即，
在中，由余弦定理得：，
即，解得，则，
所以的面积，
故选：D．
8. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作斜率为的直线与C在第一象限内相交于点P，过点P作于点M，连接MF交C于点N，若，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q，则由已知条件结合抛物线的定义可得，设直线PF的倾斜角为，则，求出，再结可求得结果.
【详解】如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q，
则，轴．
因为，所以．
设直线PF的倾斜角为，则，
所以，
解得或（舍去），
所以，
所以，
所以，即．
故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 事件与事件相互独立
C. 与和为
D. 事件A与事件B互斥
【答案】ABC
【解析】
【分析】分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项.
【详解】，
在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确
，故A正确
，故C正确
事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.
故选：ABC
10. 已知是数列的前项和，，则（ ）
A. 是等比数列B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用递推关系求得，逐项验证即可.
【详解】因为，①
当时，则，
当时，，②
①②得
，
则，
故是以1为首项，公比为的等比数列，
且，故A正确；
又，故B正确；
，故C错误；
由题中，，故D正确，
故选：ABD.
11. 在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（ ）
A. 若，则平面ACDB. 当最小时，
C. 若，则D. 当最大时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于：若，则点即为点，进而可得结果；对于、：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断；对于：若，可得点在线段上（包括端点），结合垂直关系分析判断.
【详解】由，平面平面，平面平面，平面，得平面，
又N在侧面上（包含边界），设，且，
于是
，
而，则，且，
对于，若，则，点即为点，显然平面，错误；
过作，垂足为，得，，

由平面，平面，得，而，平面，
则平面，因此，
对于，显然当点与点重合时，最小，此时，则，正确；
对于，若，则，即点在线段上（包括端点），
由平面，平面，得，正确；
对于，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时，
于是，正确.
故选：BCD.
12. 已知为双曲线：上位于第一象限内一点，过点作x轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则的面积为9
C.
D. 的最小值为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意结合四边形的形状分析A，B；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，利用与之间的关系求最值判断选项D.
【详解】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形，如图：
由双曲线：可知：，，，
对于A，因为，
所以，
所以四边形为矩形，
所以，故A正确；
对于B，据双曲线定义可知：，，
若，则四边形为矩形，
则，所以，
即，
所以，所以，
所以，故B正确；
对于C，由双曲线的方程可知，
在中，
又因为双曲线渐近线方程为：，
所以
所以，即，故C错误；
对于D，，
当且仅当时，取到最小值为8，故D正确.
故选：ABD
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为_________.
【答案】0.14##
【解析】
【分析】根据频率分布直方图求出，据此可求解.
【详解】由题知：
故该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为.
故答案为：0.14
14. 已知直线 的一个方向向量为，则直线的倾斜角__________
【答案】##
【解析】
【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角.
【详解】记直线 的倾斜角为，
由题知，又,
所以，即.
故答案为：
15. 过点与圆相切的直线方程为____________．
【答案】或
【解析】
【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为，可知点在圆外，
当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切；
当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即，
则，解得，故方程为；
综上所述：直线方程或.
故答案为：或.
16. 已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为______（写成集合或区间形式）．
【答案】
【解析】
【分析】设P坐标为，根据求出，故点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，分圆M与直线AB相切和两种情况，求出离心率的取值范围.
【详解】直线AB方程为，设点P的坐标为，
，故，
所以点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，
① 圆M与直线AB相切，则原点到直线的距离等于半径，
，即，，
方程两边同除以得，，解得，
故，
②若，，解得，
综上，的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】椭圆离心率是最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 猜灯谜是我国元宵节传统特色活动．在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知，甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为，．
（1）任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求丙猜对该难度的每道灯谜的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式求解即可；
（2）设事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”，先求出甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率，再由对立事件的性质和相互独立事件的乘法公式求解即可；
【小问1详解】
设事件A=“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B=“任选一道灯谜，乙猜对”，
事件C=“任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对”．
则，，故，，
因为事件A与事件B相互独立，
所以．
【小问2详解】
设事件D=“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对”，
事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”，
因为事件A、事件B、事件C两两独立，那么
．
所以，，所以．
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取计算得到，利用得到，得到通项公式.
（2）确定，设，，相减计算得到答案.
【小问1详解】
当时，由，得；
当时，因为，所以，
则，可得.
故是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.
【小问2详解】
，则，
两边都乘以，得，
以上两个式子相减，
可得：，
故.
19. 如图，在多面体中，平面平面，平面和均为正三角形，为线段的中点．
（1）求证：面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用面面垂直推出线面垂直，再由线面垂直的性质推出线线平行，继而推得线面平行；
（2）通过构建空间直角坐标系，求得相关点的坐标，相关平面的法向量坐标，最后利用空间向量夹角公式求得两平面所成的锐二面角余弦值.
【小问1详解】
如图，取中点，连接，在正和正中，，
则，而平面平面，
平面平面平面，平面，
于是平面,平面，又平面，故有，
而．因此四边形平行四边形，则，
又面面，从而面.
【小问2详解】
由（1）知，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则,
因，设平面的一个法向量为，
则，令，得.
因,设平面的一个法向量为，
则令，得.
于是，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
20. 已知圆经过点、，并且直线：平分圆．
（1）求圆的方程；
（2）过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求k的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）联立直线与圆的方程得到，从而化简得到关于k的方程，解之即可得解.
【小问1详解】
设圆C的标准方程为，
因为直线m：平分圆C的面积，
所以直线过圆心，即，
则，解得，
圆的方程为；
【小问2详解】
由题意直线的方程为，
联立，消去得，
设，
则，得，
故，
而，
所以
，
故有，解得，满足，
所以.
21. 已知抛物线C：焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形面积求得得抛物线方程；
（2）设，代入抛物线方程相减，利用中点坐标求得直线的斜率，进而可得直线方程．
【小问1详解】
由题可得，代入抛物线方程得，，
∴，
∴的面积，
∴，
∴所求抛物线的标准方程为；
【小问2详解】
易知直线不与轴垂直，设所求方程为：，
设，由，在抛物线上得：,
两式相减化简得：，
又∵，，代入上式解得：.
故所求直线的方程为：.
即
22. 已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是定值，定值为
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义及焦点三角形的周长得到，从而求出离心率；
（2）解法一：设且，则有，由向量的线性关系得到，再联立直线的方程与椭圆方程，消元，求出、同理得到，再代入计算可得；解法二：依然采用设点，根据向量线性关系得到，再根据点在椭圆上，代入方程得到，同理得到，从而得解.
【小问1详解】
依题意点、、三点共线，点、、三点共线，
则的周长为，
则的周长为，
所以，即，
椭圆的离心率为．
【小问2详解】
解法一：设且，则有，即，
由题由，
可得，则，
由题设直线，联立，
化简整理可得
显然成立，故，，
同理可得，
（定值）.
解法二：设且，则由，即有①，
由题，由，可得，
则，，
点在椭圆上，则，则将上式代入整理得②，
②-①整理化简得，同理可得，
（定值）.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.