四川省雅安市雅安中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省雅安市雅安中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解二次不等式化简集合A，再利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：D.
2. 函数的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦函数的值域算出结果.
【详解】因为，
所以，
所以最小值为，
故选：B
3. 已知偶函数，当时，，则（ ）
A. B. C. 7D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】函数为偶函数，有，代入解析式求解即可.
【详解】是偶函数，当时，，
则.
故选：B
4. 若角的终边经过点，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知得出为第二象限角，求出满足条件的一个的值，即可得出答案.
【详解】由点位于第二象限可得，角为第二象限角.
又，
则当时，有.
所以，与终边相同的角的集合为.
因为满足，不满足，不满足，不满足.
故选：A.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦函数的性质可得，结合充分条件和必要条件的定义判断即可、。
【详解】正弦函数在上单调递增，，则，
所以时不能得到，而时一定有，
“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的性质，对数函数的运算，即可判断选项.
【详解】，即，
，所以，
，即，
，所以，
综上可知，.
故选：C
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据将所求角用两角差的正切展开代入求值.
【详解】
.
故选：B
8. 已知函数有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数与，从而将问题转化为与，和与的图象交点问题，结合图形即可得解.
【详解】令，
令，
作出与的大致图象，如图，
显然与的图象至多有2个零点，与的图象至多有2个零点；
因为有4个零点，
所以，解得.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用参数分离法，构造了函数与，从而数形结合即可得解.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若臭氧含量与时间（单位：年）的函数关系式为，其中为臭氧的初始含量，则（ ）
A. 随时间的增加，臭氧的含量减少B. 随时间的增加，臭氧的含量增加
C. 当时，D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性，即可判断A、B项；代入，即可判断C、D.
【详解】对于A、B项，因函数单调递增，单调递减，
所以，复合函数的单调递减.
所以，随时间的增加，臭氧的含量减少，故A正确，B错误；
对于C、D项，当时，.故C正确，D错误.
故选：AC.
10. 下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由诱导公式可判断AC，由二倍角公式、辅助角公式可分别判断BD.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11. 将函数的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称
【答案】BC
【解析】
【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.
【详解】依题意可得，
A，当时，，则不为对称轴，A错误；
B，当时，，则为对称中心，B正确；
C，当时，，则为对称轴，C正确；
D，当时，，则不是对称中心，D错误；
故选：BC
12. 已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）
A. 是周期为2的周期函数
B. 当时，
C. 的图象与的图象有两个公共点
D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知可得，即可得出A项；根据已知求出时的解析式，进而根据周期性，得出函数在上的解析式，即可判断B项；根据A、B的结论作出函数的图象以及的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断C项；先根据解析式，判断得出函数在上单调递增，即可根据周期性，得出D项.
【详解】对于A项，由已知可得，
所以，是周期为2的周期函数，故A正确；
对于B项，，则.
由已知可得，.
又，
所以，.
又的周期为2，所以.
，则，，
所以，.故B错误；
对于C项，由A、B可知，当时，；
当时，，且的周期为2.
作出函数以及的图象，
显然，当时，的图象与的图象没有交点.
又，，，
由图象可知，的图象与的图象有两个公共点，故C项正确；
对于D项，，则，.
又的周期为2，所以在上单调递增.
当时，，显然在上单调递增.
且，
所以，在上单调递增.
根据函数的周期性可知，在上单调递增.故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】要使函数有意义，
则应有，解得，
所以，函数的定义域为.
故答案为：.
14. 如图，这是某公园一条扇形闭合路，其中弧所对的圆心角为2.4，，则这条扇形闭合路的总长度为__________．
【答案】352
【解析】
【分析】根据弧长公式，可计算扇形的周长.
【详解】根据弧长公式可知，的长度为，
所以扇形闭合路的总长度为.
故答案为：
15. 若，则的最__________（填“大”或“小”）值是__________．
【答案】 ①. 大 ②.
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，
所以，
而，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：大；.
16. 若函数在上恰好存在6个不同的满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先由题意得，再得到的范围，再结合方程有两个不同的根，列不等式即可.
【详解】因为，
则由，得，则，
因为，所以，令，即，
因为恰好存在6个不同的满足，
而从左到右的六个零点为，，，，，，
所以，解得.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）求值：．
（2）已知，化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】利用指数幂运算与对数运算即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以
（2）因为，
所以
.
18. 已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）判断的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）
（2）为奇函数，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用换元法即可求得函数解析式;
（2）利用奇偶性定义判断函数奇偶性即可.
【小问1详解】
因为，
令，则，
则，
所以.
【小问2详解】
为奇函数，理由如下：
因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数.
19. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象的最值可求得,根据周期可求得，继而利用图象上点求出的值；
（2）求得函数的解析式后，整体代换，令，解出即可，
【小问1详解】
因为，
由图象可知，,
,
所以，
此时，
又图象过点，
所以，
故，又，
所以，
故，，.
【小问2详解】
由知，，
令
得
所以函数的单调递增区间为.
20. 已知函数．
（1）求在上的最大值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用整体法求最大值；
（2）利用齐次式化简求值；
（3）利用配凑角结合两角差的余弦公式计算.
【小问1详解】
，
，
则，故在上的最大值为；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
由（1）当则，
，
故.
21. 已知函数．
（1）若的值域为，求的取值范围；
（2）设对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，分，，根据的值域为，由的值域包含求解；
（2）将对恒成立，转化为，对恒成立求解.
【小问1详解】
解：令，
当时，，满足的值域为，
当时，的值域包含，
则，解得，
综上：实数的取值范围是；
【小问2详解】
因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即，对恒成立，
令，，
则，所以，
所以的取值范围是.
22. 已知函数．
（1）试问在和这两个区间内是否都有零点？说明你的理由．
（2）若方程只有两个不同的实数解，比较与的大小．
【答案】（1）在和这两个区间内都有零点，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用零点存在定理进行判断即可得解；
（2）利用换元法，结合对数的运算得到是方程的两个实数解，再利用奇函数的对称性推得，从而利用基本不等式即可得解.
【小问1详解】
在和这两个区间内都有零点，理由如下：
因为，
所以，，
，，
则，，
所以和这两个区间内都有零点.
【小问2详解】
因为，
则由，得，即
令，则，即，
两边取对数，得，则，
因为是方程的两个不同的实数解，
所以是方程的两个实数解，
则是与的图象的两个交点的横坐标，
对于，有，解得或，则其定义域为，
又，
所以是上的奇函数，
易知是上的奇函数，
所以与的图象的两个交点关于原点对称，
则，故，即，
而，当且仅当，即时，等号成立，
所以.