2023-2024学年贵州省贵阳一中高一（上）质检数学试卷（二）(含解析）

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这是一份2023-2024学年贵州省贵阳一中高一（上）质检数学试卷（二）(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|1≤x≤9}，B={x|0A. {2,3,4,5}B. {1,2,3,4,5}C. {x|1≤x≤5}D. {x|1≤x<6}
2.命题“∃x>0，2x2=5x−1”的否定是
( )
A. ∀x>0，2x2≠5x−1B. ∀x≤0，2x2=5x−1
C. ∃x>0，2x2≠5x−1D. ∃x≤0，2x2=5x−1
3.已知扇形的半径为4cm，面积为4cm2，则此扇形的圆心角的弧度数是( )
A. 2B. 1C. 12D. 4
4.若ab<0，则化简a −ba+b −ab的结果是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
5.已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(12,0)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)=−x+12，则f(32)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 32
6.已知a=243，b=425，c=2513，则a，b，c的大小关系是( )
A. b7.函数f(x)=(x+1x)ln|x|图象的大致形状为( )
A. B. C. D.
8.设D是含数3的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转45°后与原图象重合，则在以下各项中，f(3)的可能取值只能是( )
A. 3B. 3C. −3D. 0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若A⋂B=B，则A⊆B
B. 若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件
C. 若a>b>0，则b+1a+1>ba
D. 若0<α<π2，0≤β≤π2，则2α−β3的取值范围是π6≤2α−β3≤π
10.下列命题中正确的是( )
A. 当a，b∈R时，ab≤a2+b22
B. 若x>0，则函数f(x)=x2+4x的最小值等于4 x
C. 若2x+2y=1，则x+y的取值范围是(−∞,−2]
D. (3−a)(a+6)(−6≤a≤3)的最大值是92
11.已知函数f(x)=|x−1|,x≤25−x,x>2，则( )
A. f(f(−4))=4
B. 不等式f(x)>0解集为(−∞,5)
C. 方程f(x)= 3有两个解
D. 若a12.如图所示，若将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A始终落在边CD.(不与点C，D重合)，记为点A′，点B折叠以后对应的点记为点B′，EF为折痕.设点A′和点D间的距离为xcm，折痕EF的长度为L(x)cm，四边形AEFB的面积为S(x)cm2，则下列结论正确的是( )
A. L(x)在(0,8)上先增后减B. S(x)在(0,8)上先减后增
C. L(x)在(0,8)上存在最大值D. S(x)在(0,8)上存在最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知α=−409π，β与α的终边相同，且β∈(−π2,π2)，则β= ______ ．
14.函数f(x)=ln(x2−2x−3)的单调递增区间是______．
15.已知函数f(x)=−x2+2,x≤1,x+1x−1,x>1,当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b−a的最大值是______．
16.设函数f(x)=ln(|x|+2023)−1x2+2023，则使得f(x)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)若lga2=m，lga3=n，求a2m−3n的值；
(2)求(278)−23+lg9127+7lg72−lg82的值．
18.(本小题12分)
(1)若sinα=35,α∈(π2,π)，求csα和tanα的值；
(2)若tanα=2，求sin2α−2sinαcsα+2的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是一次函数，且满足f(x−1)+f(x)=4x．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数g(x)=f(x)−1f(x)−3在(1,+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明．
20.(本小题12分)
某公园为了加强园区文化建设，计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD放置一组文化雕刻石，规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形EFGH为石雕放置区，且A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB=x(单位：米)，石雕放置区域EFGH的面积为S(单位：平方米)．
(1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；
(2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(2x+1)+kx是偶函数．
(1)求实数k的值；
(2)若函数f(x)的图象恒在直线y=12x+b的上方，求实数b的取值范围．
22.(本小题12分)
设定义在实数集R上的函数f(x)，f(x)恒不为0，若存在不等于1的正常数k，对于任意实数x，等式f(k+x)=k2f(x)恒成立，则称函数y=f(x)为P(k)函数．
(1)若函数f(x)=2x为P(k)函数，求出k的值；
(2)设1①比较g(2lna)与ae的大小；
②判断函数g(x)=ax是否为P(k)函数，若是，请证明；若不是，试说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由已知可得，A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
又B={x|0所以A⋂B={1,2,3,4,5}．
故选：B．
列举法得出A，然后根据交集的运算求解，即可得出答案．
本题考查集合交集的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，是基础题．
【解答】
解：命题“∃x>0，2x2=5x−1”的否定是“∀x>0，2x2≠5x−1 ”
故选A．
3.【答案】C
【解析】解：设扇形的圆心角为α，
由扇形的面积S=12αR2可得，α=2SR2=2×442=12．
故选：C．
根据扇形的面积公式，求解即可得出答案．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：a −ba+b −ab=a −aba2+b −abb2
=a|a| −ab+b|b| −ab=(a|a|+b|b|) −ab．
因为ab<0，
所以a，b异号，a|b|+|a|b=0，
所以a|a|+b|b|=a|b|+|a|b|a||b|=0，
所以，a −ba+b −ab=0．
故选：B．
先化简得出a −ba+b −ab=(a|a|+b|b|) −ab.然后根据已知范围，即可得出答案．
本题主要考查了根式的化简，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由已知可得，f(12)=−12+12=0．
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以，f(−12)=f(12)=0．
又f(x)的图象关于点(12,0)对称，
所以，f(32)=−f(−12)=0．
故选：B．
根据已知求出f(12)=0.进而根据偶函数的性质以及函数的对称性，即可得出答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵243>2,425=245<2，
∴b∵243=1613<2513，
∴a∴b故选：A．
根据分数指数幂的运算及指数函数的单调性，幂函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了分数指数幂的运算，指数函数和幂函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
f(−x)=(−x−1x)ln|−x|=−(x+1x)ln|x|=−f(x)，
则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当x=2时，f(2)=52ln2>0，
排除C，
故选：D．
先判断函数的奇偶性，然后判断当x=2时的符号是否对应进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性和特征值的符号是否对应是解决本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：若f(3)= 3，则构造如图甲的函数图象，图象上不存在关于x轴对称的点，符合函数的定义，所以f(3)的取值可能是 3．
若f(3)=3，则函数图象上的点A1和A7关于x轴对称(如图乙)，不符合函数的定义；
同理若f(3)=−3，f(3)=0都不符合函数的定义．
故选：A．
直接利用定义函数的应用求出结果．
本题考查函数的定义，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A项，因为A⋂B=B，故B⊆A，故A错误；
对于B项，当ab2>cb2时，显然有b2>0，所以a>c；
但是当a>c时，若b=0，则ab2=cb2=0，
所以ab2>cb2是a>c的充分不必要条件，故B正确；
对于C项，b+1a+1−ba=a(b+1)−b(a+1)a(a+1)=a−ba(a+1)，
因为a>b>0，
所以a−b>0，a(a+1)>0，
所以a−ba(a+1)>0，即b+1a+1−ba>0，所以b+1a+1>ba.故C正确；
对于D项，因为0<α<π2，所以0<2α<π，
因为0≤β≤π2，所以−π2≤−β≤0，−π6≤−β3≤0，
所以−π6≤2α−β3≤π.故D项错误．
故选：BC．
根据交集的运算结果，得出A，B的关系进而判断出A项的真假；举例即可说明B项的真假；作差即可判断C项的真假；根据不等式的性质，即可求出2α−β3的范围判断出D项的真假．
本题考查命题真假的判断及不等式的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：当a，b∈R时，重要不等式ab≤a2+b22成立，故A正确；
B选项中对于均值不等式的运用出错，不满足“一正二定三相等”中的“积为定值”条件，故B错误；
由于2x+y=2x×2y≤(2x+2y2)2=(12)2=14，当且仅当x=y时等号成立．
因此2x+y≤2−2，x+y≤−2，
即x+y的取值范围是(−∞,−2]，故C正确；
由于−6≤a≤3，∴3−a≥0，a+6≥0
根据均值不等式得 (3−a)(a+6)≤3−a+a+62=92，
当且仅当3−a=a+6，即a=−32时等号成立，
即 (3−a)(a+6)有最大值为92，故D正确．
故选：ACD．
利用基本不等式知识即可逐项判断，需注意“一正二定三相等”．
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A：f(−4)=|−4−1|=5，∴f(f(−4))=f(5)=5−5=0，故A错误；
对于B、C、D：作f(x)的图象如下，
不等式f(x)>0解集为(−∞,1)⋃(1,5)，故B错误；
1< 3<3，由图知，y= 3的图象与f(x)的图象有且仅有2个交点，
∴方程f(x)= 3有两个解，故C正确；
令f(a)=f(b)=f(c)=t，y=t图象与f(x)的图象相交于如图所示3点，
∵5−x=1，解得x=4，
∴4≤c<5，
易知y=|x−1|的对称轴为x=1，
∴a+b=2×1=2，
∴a+b+c∈[6,7)，故D正确．
故选：CD．
利用分段函数求函数值，直接可判断A选项；对于B、C、D，作f(x)的图象即可求解，关于C，将方程解的个数问题可转化为图象交点的个数问题，关于D，注意图象对称性．
本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：如图，连接AA′，设DA′=x，0则AA′= x2+64，由对称性得AO=12 x2+64．
由题意得EA′=AE，∴△AEA′为等腰三角形，∴∠EAA′=∠EA′A，
又∵AA′⊥EF，∴∠EOA=90°，又∵∠ADA′=90°，
∴△AOE～△ADA′，可得AE=AO⋅AA′AD=116(x2+64)．
过点E作EG⊥BC于G，
则EG=AB=AD，∵在Rt△EGF中，∠GEF+∠EFG=90°，
在Rt△AOE中，∠AEO+∠EAO=90°，
又∵∠AEO+∠GEF=90°，
∴∠GEF=∠EAO，
又∵△EGF，△AA′D都是直角三角形，
∴△EFG≅△AA′D，∴FG=DA′=x，
EF=AA′=L(x)= x2+64,BF=116(x2+64)−x．
∴S(x)=12(AE+BF)AB=12(x2−8x+64)．
∵L(x)在(0,8)上单调递增，故A，C都错；
∵S(x)在(0,4)上单调递减，(4,8)上单调递增，
∴当x=4时，S(x)有最小值，故B，D都对．
故选：BD．
设DA′=x，0本题主要考查函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】−4π9
【解析】解：因为α=−409π=−2×2π−4π9，
β与α的终边相同，且β∈(−π2,π2)，
所以，β=−4π9．
故答案为：−4π9．
变形可得α=−2×2π−4π9，结合已知，即可得出答案．
本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
14.【答案】(3,+∞)
【解析】解：令t=x2−2x−3>0，求得x<−1，或x>3，故函数的定义域为{x|x<−1，或x>3 }．
根据f(x)=g(t)=lnt，本题即求二次函数t在定义域内的增区间．
再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为(3,+∞)，
故答案为：(3,+∞)．
令t=x2−2x−3>0求得函数的定义域，结合f(x)=g(t)=lnt，本题即求二次函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
15.【答案】3+ 3
【解析】解：作出f(x)的图象如右：由题意，当b=xB，a=xA时，b−a最大，
令−x2+2=1，解得x=−1或1(舍)，故xA=−1；
令x+1x−1=3，解得x=2± 3(舍去2− 3)，故xB=2+ 3，
故b−a的最大值为xB−xA=3+ 3．
故答案为：3+ 3．
作出函数f(x)的图象，据图确定a，b的最值，求出b−a的最大值．
本题考查分段函数的性质、图象的应用，属于中档题．
16.【答案】(−∞,13)∪(1,+∞)
【解析】解：由已知函数定义域为R，
且f(−x)=ln(|−x|+2023)−1(−x)2+2023
=ln(|x|+2023)−1x2+2023=f(x)，
所以，f(x)为偶函数．
则由f(x)又x≥0时，f(x)=ln(x+2023)−1x2+2023，
函数y=ln(x+2023)在[0,+∞)上递增，
函数y=x2+2023>0且在[0,+∞)上递增，
所以，函数y=1x2+2023在[0,+∞)上递减，函数y=−1x2+2023在[0,+∞)上递增，
所以，函数f(x)=ln(x+2023)−1x2+2023在[0,+∞)上递增．
所以，由f(|x|)所以，x2<(2x−1)2，
整理可得，3x2−4x+1>0，解得x<13或x>1．
故答案为：(−∞,13)∪(1,+∞)．
先根据定义法求出f(x)为偶函数，将不等式转化为f(|x|)0，求解即可得出答案．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由lga2=m，lga3=n，可得am=2，an=3，
所以a2m=(am)2=4，a3n=(an)3=27，
所以a2m−3n=a2ma3n=427．
(2)(278)−23+lg9127+7lg72−lg82=[(32)3]−23+lg323−3+2−lg232
=(32)−2−32lg33+2−13lg22=49−32+2−13=1118．
【解析】(1)根据指对互化得出am=2，an=3，进而根据指数幂的运算性质，化简求值即可得出答案；
(2)根据指数幂的运算性质，以及对数的运算性质、对数恒等式，化简求值即可得出答案．
本题考查指数、对数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)由已知sinα=35,α∈(π2,π)，
可得csα=− 1−sin2α=−45，
所以tanα=sinαcsα=−34．
(2)∵sin2α+cs2α=1，
∴sin2α−2sinαcsα+2=sin2α−2sinαcsαsin2α+cs2α+2
=sin2αcs2α−2sinαcsαsin2αcs2α+1+2
=tan2α−2tanαtan2α+1+2
=4−44+1+2=2．
【解析】(1)根据同角三角函数基本关系以及角的范围，求解即可得出答案；
(2)根据“1”的代换化为齐次式，分子分母同时除以cs2α，化为只含有tanα的式子，代入即可得出答案．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由已知可设f(x)=ax+b(a≠0)，
由f(x−1)+f(x)=4x，得a(x−1)+b+ax+b=4x，
整理可得(2a−4)x+2b−a=0，
所以2a−4=02b−a=0，解得a=2b=1，
所以f(x)=2x+1；
(2)由(1)得g(x)=f(x)−1f(x)−3=xx−1=1+1x−1，g(x)在(1,+∞)上单调递减，
证明：任取x1，x2∈(1,+∞)，且x1>x2，
则g(x1)−g(x2)=1+1x1−1−(1+1x2−1)=x2−x1(x1−1)(x2−1)，
因为x1>x2>1，所以x1−x2<0，x1−1>0，x2−1>0，
所以g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)所以g(x)在(1,+∞)上单调递减．
【解析】(1)设f(x)=ax+b(a≠0)，代入得出方程组，求解即可得出答案；
(2)先求出g(x)=1+1x−1.然后任取x1，x2∈(1,+∞)，且x1>x2，作差整理得出g(x1)−g(x2)<0，即可得出证明．
本题考查定义法证明函数的单调性的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为AB=x，所以AD=100x,EF=x−2,FG=100x−1，
所以S=(x−2)(100x−1)=102−200x−x，
因为0所以S=102−200x−x，x的取值范围为[5,20]；
(2)S=102−200x−x≤102−2 x⋅200x=102−20 2，
当且仅当x=10 2∈[5,20]时取等号，
当AB=10 2米时，S取得最大值，最大值为102−20 2．
【解析】(1)由已知得到AD=100x，进一步得到EF，FG的长度用x表示，即可得到S；
(2)利用基本不等式即可求得最大值．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意，由题得f(−x)=f(x)，
即lg2(2−x+1)−kx=lg2(2x+1)+kx，
即lg2(2−x+1)=lg2(2x+1)+2kx，
即lg2(2−x+1)=lg2[22kx(2x+1)]，
即2−x+1=22kx(2x+1)，即1=2(2k+1)x，
即(2k+1)x=0对x∈R恒成立，
∴2k+1=0，故k=−12；
(2)由(1)知f(x)=lg2(2x+1)−12x，
则不等式可化为lg2(2x+1)−12x>12x+b恒成立，
即不等式b因为lg2(2x+1)−x=lg22x+12x=lg2(1+12x)，
又2x>0恒成立，所以，12x>0，12x+1>1，
所以，lg2(2x+1)−x=lg2(1+12x)>lg21=0．
所以，b≤0，即实数b的取值范围是(−∞,0]．
【解析】(1)根据偶函数的性质得出f(−x)=f(x)，求出f(−x)的解析式，代入整理化简即可得出答案；
(2)将不等式转化为b本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=2x为P(k)函数，
所以f(k+x)=k2f(x)对任意实数x都成立，即2k+x=k2⋅2x，即2k=k2，
所以k=2或k=4;
(2)①因为1又因为g(x)=ax在R上为增函数，所以g(2lna)>g(e)=ae;
②若g(x)=ax是P(k)函数，则存在不等于1的正常数k，
使等式ak+x=k2ax对一切实数x恒成立，即关于k的方程ak=k2有解，
令ℎ(k)=ak−k2，则函数ℎ(k)=ak−k2在1,e上的图象是一条不间断的曲线，
ℎ(1)=a−1>0,ℎ(e)=ae−e2=g(e)−e2根据零点存在性定理，可知关于k的方程ak=k2在1,e上有解，
从而g(x)=ax是P(k)函数．

【解析】本题考查函数的新定义问题，属于较难题．
(1)根据题意，列出方程，即可求解参数值;
(2)①根据函数单调性比较2lna与e的大小，进而比较g(2lna)与ae的大小;
②根据题意，列出方程，证明方程ak=k2有解，令ℎ(k)=ak−k2，判断ℎ(k)在1,e上存在零点，即可证明g(x)=ax是P(k)函数．

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