【专项练习】全套专题数学八年级上册专题07 全等三角形能力提升题（压轴题）（解析版）

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专题07 全等三角形能力提升题（压轴题）华师版数学八年级上册期末考试，通常用“全等三角形能力提升题”，作为压轴题。1．（1）如图1，已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析【详解】证明：（1）如图1，∵直线m，直线m，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴；（2）如图2，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴．2．直角三角形中，，直线过点．(1)当时，如图①，分别过点，作于点，于点．试说明；(2)当，时，如图②，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒．①　　，当在路径上时，　　；（用含的代数式表示）②当与全等时，求的值．【答案】(1)证明见详解；(2)①，；②当秒或秒或秒时【详解】（1）解：∵直角三角形中，，，，∴，，∴，在与中，，∴，∴．（2）解：①由题意得，，，则，由折叠的性质可知，，∴．故答案为：，；②由折叠的性质可知，，∵，，∴，∴当时，与全等，当点沿路径运动时，，解得，（不合题意），当点沿路径运动时，，解得，，当点沿路径运动时，由题意得，，解得，，当点沿路径运动时，由题意得，，解得，，综上所述，当秒或秒或秒时，与全等．3．如图（），已知点在上，和都是等腰直角三角形，，且为的中点．(1)求证：为等腰直角三角形；(2)将绕点再逆时针旋转时（如图（）所示的位置），为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，证明见解析【详解】（1）如图，延长交于点．，．．在和中， ，．，．是等腰直角三角形，且是底边的中线．，．为等腰直角三角形．（2）为等腰直角三角形．理由如下：如图（），作交的延长线于点，连接，．，， ，．在和中，，．，是等腰直角三角形，且是底边的中线．，．为等腰直角三角形．4．（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，，E、F分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是      ．（2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）10【详解】（1）解：如图1，在和中，∵，∴∴∵∴∴在和中，∵，∴∴∵∴故答案为：（2）解：结论仍然成立；理由：如图2，延长到点G．使．连接，在和中，∵，∴∴∵∴∴在和中，∵，∴∴∵∴；（3）解：如图3，延长到点G，截取，连接，在与中，∵，∴∴∵∴∴在与中，∵，∴∴∴的周长5．（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，这样就把集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　　；则中线的取值范围是　　；（2）问题解决：如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，此时：　　（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，以C为顶点作，边分别交于E，F两点，连接，此时：　　（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在图③的四边形中，且（3）中的结论仍然成立，则　　（用含α的代数式表示）．【答案】（1）；；（2）＞；（3）=；（4）【详解】解：（1）在与中，，∴，∴在中，即∴∴故答案为：（2）如图，延长至点G，使，连接∵点D是的中点，∴∵∴∴∵∴在中，∴故答案为：＞；（3），如图，延长至点G，使，连接，∵∴又∵∴∴∵∴∴∴又∵∴∴∵∴故答案为：＝；（4）由（3）同理可得∴若则∴∴∴故答案为：．6．已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点【问题解决】(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；【类比探究】(2)如图2，已知．①当射线在内，求的度数②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；【答案】(1)见解析；(2)①②；的度数会变化，理由见解析【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，∵，∴是等边三角形，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，即，∵在和中，∴，∴，∴；（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：∵，，∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∴；②的度数会变化，理由如下：在延长线上取一点E，使得，如图所示：同理①的方法可证：，∴，∴．7．(1)感知：如图，平分，，易知：（不需证明）(2)探究：如图，平分，，求证：．(3)应用：如图，四边形中，，，，，求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【详解】（1），，，平分，，在和中，≌，；（2）作于，于，如图所示：平分，，，，，，，在和中，，≌，；（3）连接，作于点，如图所示：，，，，在和中，≌，，，在和中，，≌，，，．8．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】(1)如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中一组全等三角形 (2)如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是 ．【理解与应用】(3)如图3，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长．(4)如图4，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)证明见解析【详解】（1）解：．是的中线，，在和中，，；（2）解：延长至点，使，连接，如图所示：在与中，，，，在中，根据三角形三边关系可得，即，的取值范围是；（3）解：延长到，使，连接，如图所示：，，，，是中线，，在和中，，，，，，，，，；（4）证明：延长到，使，连接，如图所示：，是的中线，，在与中，，，，，又，=，在与中，，，．9．在中，，，是的角平分线，于点．(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；(2)点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；(3)如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)见解析，；(3)【详解】（1）证明：如图1所示：在中，，，，，平分，，，于点，，，是等边三角形；（2）结论：．证明：如图2所示：延长使得，连接，，，是的角平分线，于点，，，又，是等边三角形，，在和中，，，．（3）结论：．证明：如图3所示，延长至，使得，由（1）得，，于点，，，是等边三角形，，，，，，即，在和中，，，，，，．10．如图，已知等边，直线，点为垂足，点是直线上的一个动点，线段绕点顺时针方向旋转60°得线段，联结、．(1)如图1，当点在线段上时，说明的理由；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点，求的度数；(3)定义：有一个内角是的等腰三角形称作黄金三角形，联结，当是黄金三角形吋，直接写出为______度．【答案】(1)见解析；(2)；(3)132或92或12或24【详解】（1）∵是等边三角形，∴,∵线段绕点顺时针方向旋转得线段，∴是等边三角形，∴，，∴，即∴，∴∴，∴；（2）解：∵是等边三角形，∴,，∵线段绕点顺时针方向旋转得线段，∴是等边三角形，∴，，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，（3）由（1）可知，在的的垂线上运动，如图，是黄金三角形吋，当时，时，∴，∴，如图，当点在点上方时，,如图，当时，，如图，当点在的下方时，，综上所述，当是黄金三角形吋，为或或或．故答案为： 或或或．11．（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：．（2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段、、它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段、、它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）结论不成立，应当是，证明见解析【详解】证明：（1）如图1，延长至，使，连接，∵在与中，，∴，∴，，∴，∴，又，易证，∴，∵，∴；（2）（1）中的结论仍然成立，证明：如图2，延长至，使，连接，∵，，∴，在与中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在与中，，∴，∴，即，∴；（3）（1）中的结论不成立，应当是，证明：如图3，在上截取，使，连接，∵，，∴，∵在与中，，∴，∴，，∴，∴，∵，易证，∴，∵，∴．12．如图1，中，于点G，以A为直角顶点，分别以、为直角边，向作等腰和等腰，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为P、Q．(1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若连接交的延长线于H，由（1）中的结论你能判断与的大小关系吗？并说明理由．(3)在（2）的条件下，若，请直接写出　　．【答案】(1)，证明见解析；(2)，理由见解析；(3)288【详解】（1）解：，证明如下：是等腰直角三角形，，，，，，，，，在和中，，，，同理，则，；（2）解：，理由如下： ，，，在和中，， ，；（3）解：，，， ， ，， ．即288．13．如图，在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连结．(1)如图1，当点D在线段BC上时，如果，则________；(2)设，．①如图2，当点D在线段BC上移动时，，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动时，，之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论．【答案】(1)；(2)①；②当点在射线上时：，当点在射线的反向延长线上时：．【详解】（1）解：∵∴，∴；在和中， ，∴；∴∴故答案为：；（2）解：①由（1）可知：，即：；②当点在射线上时，如图， 同（1）法可证：；∴，∴，∴； 当点在射线的反向延长线上时，如图，同（1）法可证：；∴，∴∴．综上：当点在射线上时：，当点在射线的反向延长线上时：．14．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下：在和中，平分≌（___________）在括号内填写全等判定方法字母简称（___________）在括号内填写理由依据【问题探究】如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：；【拓展延伸】如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】[问题情境] ， 全等三角形对应边相等；[问题探究]见解析；[拓展延伸]，见解析【详解】解：[问题情境]：在和中，，≌，全等三角形的对应边相等．故答案为：，全等三角形对应边相等；[问题探究]证明：延长交延长线于， 平分，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，．[拓展延伸]解：结论：理由如下：过点作，交的延长线于点，与相交于， ，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，≌，，在和中，，≌，，．15．已知，中，，，过A任作一直线，作于D，于E，观察三条线段之间的数量关系．(1)如图1，当经过中点时，此时　　；(2)如图2，当不与线段相交时，三者的数量关系为　　，并证明你的结论．(3)如图3，当与线段相交，交点靠近B点时，三者的数量关系为　　．证明你的结论，并画图直接写出交点靠近C点时，三者的数量关系为　　．【答案】(1)＝；(2)，证明见解析；(3)，【详解】（1）∵，，经过中点，∴，∴点D，点E与的中点重合，∴，故答案为：=．（2）如图2：，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．（3）如图3，，理由如下： ∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．如图4，，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．16．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接CE．(1)如图1，当点D在线段上，如果，则　　度；(2)如图2，当点D在线段上，如果，则　　度；(3)设①如图3，当点D在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线上移动，请直接写出之间的数量关系，不用证明．【答案】(1)；(2)；(3)①，理由见解析；②当点D在线段及的延长线上时，；当点D在的延长线上时，【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：；（3）①，理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；②如图4，当点D在的延长线上时，，证明方法同①；如图5，当点D在的延长线上时，，理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．17．已知为等边三角形，取的边中点，连接，如图1，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转的角度，其中．(1)如图2，当，连接，求证：；(2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接会交于一点，记交点为点交于点交于点，连接，请问是否会平分？如果是，求出，如果不是，请说明理由；(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段和之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)不会BF平分，理由见解析；(3)，理由见解析【详解】（1）证明：∵都是等边三角形，，，在和中，，；（2）解：不是，理由如下：如图3，过点作于，过点作于，都是等边三角形，，，在和中，，，，又，，，，，，，当平分时，则，，，，与题干相矛盾，不会平分；（3）解：，理由如下：如图4，在上截取，连接，，∴是等边三角形，，，在和中，，，，．18．（1）如图①，中，，，点D为BC的中点，求AD的取值范围；（2）如图②，在四边形ABCD中，，E、F分别在BC、CD上，且，，M为EF的中点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【详解】（1）如图①，延长AD到点G，使，连接CG，∵点D为BC的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴AD的取值范围是，（2）证明：如图②，延长BM到点H，使，连接HF、BD、HD，∵M为EF的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，且，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．19．如图，已知 ，射线分别和直线，交于A、B，射线分别和直线，交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合）(1)如图①，如果，，　　．若，，，请直接写出，，之间的数量关系 　　．(2)如图②，若于点A，，，，当为多少时，，请判断此时与的数量与位置关系，并说明理由．(3)请用尺规作图作出的角平分线，其中P为角平分线与的交点，若此时点P为线段的中点，请你在备用图中再画出合适的辅助线以能展现你的做题思路，并直接写出线段的数量关系，不用再说明理由．【答案】(1)；；(2)，，理由见解析；(3)作图见解析；．【详解】（1）解：过点P作，交于点Q，如图①，，，，，，，，，，，同理可得：，，故答案为：；；（2）解：，，理由如下：如图②，若，则，，，，，，，，，；（3）解：，理由如下：以点D为圆心，以任意长度为半径画弧，交，于F、H，分别以H、F为圆心，以大于的长为半径画弧，相交于Q、T两点，连接，即为的角平分线，令交于P，交于G，如图③，在和中，，，，是的角平分线，，，，，，，．20．如图1，为等腰直角三角形，即，，．点在线段上（不与重合），以为腰长作等腰直角，即，且于．(1)求证：；(2)连接交于，若，求的值；(3)如图2，过作交的延长线于点，过点作交于，连接，当点在线段上运动时（不与重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【答案】(1)见解析;(2)2;(3)式子的值不会变化，值为1【详解】（1）证明：∵为等腰三角形，，点在线段上（不与重合），以为腰长作等腰直角，于．∴，∴，在和中，，∴；（2）∵，∴，∵，∴．在和中，，∴，∴，∴∴；（3）式子的值不会变化．如下图2所示：作交于点，∵∴，，∴，∵为等腰直角三角形，∴，在和中，，∴，∴∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴21．为等腰直角三角形，，点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，．(1)如图1，作于，求证：；(2)如图1，在（1）的条件下，连接交于，求的值；(3)如图2，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．【答案】(1)见解析;(2)(3)不会发生变化，，理由见解析【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，．，，，，，在和中，，；（2）解：如图1，，，，为等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，，；（3）解：的值不变．在上截取，如图2，在和中，，，，，，而，，，在和中，，，，．22．如图 ，在正方形 中，点 为 边上任意一点（点 不与 ， 重合），点 在线段 上，过点 的直线 ，分别交 ， 于点 ，．(1)求证：；(2)如图，当点为中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线，与交于点，连接．求证：；(3)如图，当点为延长线上的动点时，如果（）中的其他条件不变，直线 分别交直线，于点，．结论“”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)成立，理由见解析【详解】（1）过点作 ，∴．在正方形中，，∴四边形是矩形∴，∵，∴．在中：，在中：∴在与中， ∴．∴．（2）连接，，,由正方形的轴对称性可得∴，∵，是的中点,∴∴，∴，且∴，且∴∵点是和的公共斜边的中点，∴，∴（3）与的数量关系是，理由是：连接 , 同理得：，，∵ ,∴ ,∵，∴ ,∴ ,∴ ,在和中，为斜边，为的中点，∴，∴23．阅读下面材料，完成（1）﹣﹣（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：中，，是延长线上一点，是的中点，为上一点，过点作 ,交的延长线于，连接，且．求证．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“延长到点，使，连接，可以得到两个阴影三角形全等．”小伟：“继续连接，经过进一步推理，可以得到与的数量关系．”小强：“根据等腰三角形的两个底角相等，继续添加适当的辅助线，可以得出结论……”(1)求证：；(2)探究与的数量关系，并证明；(3)求证：．【答案】(1)见解析;(2)；证明见解析;(3)见解析【详解】（1）证明：如图1，延长到点，使，连接， 是中点， ， （对顶角相等）， 在与中有： （SAS），故命题得证．（2）；理由：如图2，连接、，，，，，，，，，（SSS），，故答案为：．（3）如图3，延长、交于点，，，，即为 的角平分线，，∴， ，，又为等腰三角形， 也为等腰三角形，且为顶角，又为 的角平分线，（等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合），故命题得证．