【专项练习】全套专题数学八年级上册专题08 三角形最值问题（解析版）

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08最值问题1．如图，点P是的平分线上一点，于点E，点F为射线上一点．若，则长的最小值是（　 　 ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】解：∵点到直线垂线段最短，∴时长有最小值，∵点P是的平分线上一点，于点E，，∴时,故选：C．2．如图：等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（      ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：连接，．是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，，，的长为的最小值，的周长的最小值为．故选：C．3．如图，等边三角形的边长为2，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（     ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】解：连接交于点，，，共线，过点作直线，，与关于直线对称，，，，，，，，关于直线对称，当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长，故选：B．4．如图，中，，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值为（     ）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】B【详解】解：∵垂直平分，∴关于对称，设交于，∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长，的最小值是5.故选：B．5．如图，在中，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（　 　）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【详解】解：垂直平分，，，当，，在同一直线上时，，即的长度的最小值，的最小值为12，故选：．6．如图，在中，，，垂足为，点，分别为，上的动点，且，，则的最小值是（     ）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【详解】解：过作于，交于，连接，则最小根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短，，，和关于直线对称，，即，  ∵，，∴，即，故选：B．7．如图，在中，，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（     ）A． B．4 C．5 D．【答案】A【详解】解：过点B作于点Q，交 于点P，如图所示：，是的平分线，，垂直平分，，要使取最小值，则当时，为最小值，，又，，，故选：A．8．如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【详解】解：是等边三角形，，∵在等边三角形中，D为AC的中点，∴BD为的中线，，，，，如图，作点关于的对称点Q'，连接PQ'交于，连接，此时的值最小，最小值EQ'=PQ'，，，DQ'=2，∴CQ'=，=AQ'=7，，是等边三角形，∴PQ'=，的最小值为7，故选：A．9．如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是（     ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】解：如图，连接，∵与关于直线l对称，∴，∴，，∴，在和中，，，，∴，∴，∴，由两点之间线段最短可知，当点P与点C重合，即点B，P，共线时，取得最小值，最小值为，即的最小值为4．故选：A．10．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（     ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E，∵平分 ∴在上，且∴，∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线，∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，∵ 的面积为 10 ∴∴故选B．11．如图，在中，，是的中点，垂直平分，点是直线上一个动点，连接，．若，，则的最小值是（    ）A．12 B．13 C．15 D．20【答案】B【详解】解：连接，垂直平分，，，当、、三点在同一直线上，最短，最短距离为长．，，，即的最小值是13，故选：B．12．如图， 中，，，， 平分 ，如果 、 分别为 、 上的动点，那么 的最小值是（     ）A．2.4 B．3 C．4 D．4.8【答案】A【详解】过点作于，交于点，过点作于点，∵平分，∴，∴，∵中，，，，，，∵，∴，∴，即的最小值是故选A．13．如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（     ）A．7 B．6 C．5 D．10【答案】C【详解】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为，延长两线交于点G，∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴；∵，∴，∴的最小值为5，故选D．14．如图，在中，，，，、、分别是边、、上的动点，连接、、，则的最小值是______．【答案】【详解】在中，∵，∴∵∴当点、与点重合，且点运动至时，值最小．∴∵∴∴．故答案为：．15．如图，点为内部一定点，点、分别为边、上动点，当周长最小值等于时，则_______．【答案】【详解】如图，作关于，的对称点，连接．则当是与的交点时，的周长等于．又∴当周长最小值等于时，是等边三角形，∴，根据对称性可知故答案为：16．如图，是等边三角形，，在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，则的周长最小值是_____________．【答案】【详解】解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，∴是等边三角形，∴，∵是等边三角形，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的周长为，∴当最小时，的周长最小，当，时，最小，过作于，∴，∴，∴的最小值为，∴的周长最小值是．故答案为：．17．如图，等边三角形中，是边上的中线，F是边上的动点，E是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为________°．【答案】60【详解】解：过E作，交于N，连接交于F，连接，∴，∵是等边三角形， E是边的中点．∴， ∴， 为等边三角形，∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 则此时的值最小，的周长最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵，  ∴，，∴ 由轴对称的性质可得：，∴，故答案为：18．如图，在等边中，平分，为上一动点，为的中点，连接、，且的最小值为，则______．【答案】13【详解】解：如图，连接，，首先根据等边三角形的性质得到垂直平分，然后根据垂直平分线的性质得到当点，，在一条直线上时，取值最小，最后根据等边三角形的性质求解即可．∵是等边三角形中的平分线，∴垂直平分，∴，∴，由两点间线段距离最短可知，当点，，在一条直线上时，取值最小，最小值为，∵为等边三角形，为的中点，∴．故答案为：13．19．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为______．【答案】8【详解】解：连接，，∵腰的垂直平分线分别交，边于F，E点∴∴的周长为∴周长的最小值为∵等腰三角形，点D为边的中点∴，∵，即∴解得∴周长的最小值为．故答案为：8．20．有一个四边形场地，则的最大值为_____．【答案】25【详解】解：以为边向外作等边三角形，连接，如图所示：则，∵，∴是等边三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；当C、B、E三点共线时，最大，∴的最大值为25，故答案为：25．21．如图，长方形中，，，E为边上的动点，F为的中点，连接、，则的最小值为_____．【答案】15【详解】作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值．【分析】解：作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值．∵长方形中，，F为的中点，∴， ∴， ∴，即的最小值为15．故答案为：15．22．如图，在中，，，点是边上的一个动点，连接，以为边作，使，为的中点，连接，则线段的最小值为______．【答案】2【详解】解：如图，取中点，连接，，，点是中点，点是中点，∴，，，∴，∴，，，，在和中，，≌，∴，有最小值，也有最小值，当时，有最小值，，，，∴，线段的最小值为．故答案为：．23．如图，中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，则的最大值为________．【答案】【详解】解：在中，，，，，，，当最小时，最大，当时最小，又，解得，的最小值为，的最大值为，故答案为：．24．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是________．【答案】【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点，过点作于点，∵是的平分线，∴，则此时有最小值，最小值为的长，∵，，，，又∵，∴，∴的最小值是．故答案为：25．如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______．【答案】【详解】解：如图，取的中点G，连接，∵线段绕点逆时针旋转得到，∴，又∵是等边三角形，∴，即，∴，∵是等边三角形的高，∴，∴，又∵旋转到，∴，在和中，，∴（），∴，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，此时，∴，∴，∴．∴线段长度的最小值是．故答案为：．26．如图，将沿折叠，使顶点C恰好落在边上的点M处，点D在上，点P在线段上移动，若，则周长的最小值为________．【答案】【详解】解：如图，连接，由翻折的性质可知，，垂直平分，∴，∵，，∴，，∴M点为上一个固定点，则长度固定，∴，∵周长，∴要使得周长最小，即使得最小，∵，∴满足最小即可，当P、B、C三点共线时，满足最小，此时，P点与D点重合，，∴周长最小值即为故答案为：12．27．如图，在中，， ，，点分别在边上，且，则的最小值为__________．【答案】【详解】解：过点作，截取，连接，过作，交的延长线于，则，∴，在和中，，∴，∴，∴的最小值，即为的长，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即的最小值为．故答案为：．28．如图，A、B两点在直线外的同侧，A到的距离，B到的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于___________．【答案】10【详解】解：如图，延长交于点，过点B作，∵，∴当点P运动到点时，最大，即为的长．∵，∴，∴，∴的最大值等于10．故答案为：10．29．如图，在中，，．的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，当周长的最小值为7时，此时的面积是_____．【答案】10【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴A与B关于对称，连接，交于点P，∵，∴，当A、P、F三点共线时，周长最小，∵周长的最小值为7，∴，∵F为边的中点，，，∴，，∴，∴．故答案为：10．30．如图，等腰的直角边长为4，D、E分别为边上两个动点，且，则的最小值__________【答案】【详解】解：由题意可得如图所示：过点A作，且，连接，如图所示，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴当为最小时，即为最小，∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接，交于点M， ∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴∴CD+BE的最小值为；故答案为∶ ．31．(1)如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点）， ， ，垂足分别为A，B， 米， 米，现在菜农要在 上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出 的最小值．(2)借助上面的思考过程，请直接写出当 时，代数式的最小值＝_____．【答案】(1)250米；(2)17【详解】（1）作点C关于 的对称点F，连接 交 于点P，连接 ，点P即为所求；作 交 的延长线于E．在 中，∵ 米， 米，∴（米），∴ 的最小值为250米；（2）先作出点C关于 的对称点F，连接 ，作 交 的延长线于E．使 ， ， ，DF的长就是代数的最小值，∵∴代数式的最小值为17．故答案为：17．32．在中，，，，的中垂线交于D，交于点E．(1)如图1，连接，请求出的长；(2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长；(3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，则的最小值为　 　．【答案】(1)；(2)5；(3)【详解】（1）∵是的中垂线，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即（2）∵是的中垂线，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为5；（3）的最小值为理由：连接，过B作于M，交直线于，过作于，如图3所示：∵是的中垂线，∴，∴，∵，，∴，则点M与关于对称，此时，即的值最小＝，由（2）得，，∴，∵，∴的面积，∴即的最小值为故答案为：．33．如图，在中，，的垂直平分线交于 N，交于M，连接．(1)尺规作图：作的平分线与交于点D，与交于点E；(2)在（1）的条件下，若，求的度数；(3)若，，在直线上是否存在点P，使由P，B，C构成的的周长值最小？ 若存在，标出点P的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析；(2)；(3)存在；的周长的最小值为14cm【详解】（1）解：即为所求作的角平分线，如图所示：（2）解：∵，，∴，∴，∵垂直平分，，∴，∵平分，∴，∴．（3）解：存在；的周长的最小值为14cm．∵垂直平分，，∴当点P与点M重合时，的周长最小，∵，，的周长的最小值为：．34．如图，在中，，的垂直平分线与，分别相交于点E，D，连接．(1)若，则的度数为______；(2)若，的周长为14．①求的长；②在直线上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)30°；(2)①BC=6；②存在，PB+CP的最小值为8【详解】（1）在中，，，，垂直平分，，．故答案为：30°．（2）①垂直平分，．的周长为14，，．．②存在．当P点与D点重合时，的值最小，此时，．即的最小值为8．35．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．【知识运用】(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米．(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ．【答案】(1)41；(2)见解析，的距离为16千米；(3)15．【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E，∵，，∴，，∴千米，千米，∴千米，∴（千米），即两个村庄的距离为41千米，故答案为：41；（2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求，设千米，则千米，在中，，在中，，∵，∴，解得，即的距离为16千米；（3）解：如图3，，，，，，设，则，作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，则是的最小值，即代数式的最小值，∵，，，∴代数式最小值为：，故答案为：15．