北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 综合复习与测试（全册）（2）（专项练习）

这是一份北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 综合复习与测试（全册）（2）（专项练习），共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是
A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图
2．解方程，可用配方法将其变形为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABC
C．D．
7．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CFB．∠FAC＝∠EACC．AB＝4D．AC＝2AB
8．一次函数y＝ax+b和反比例函数y在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
9．某电子产品经过连续两次降价，售价由元降到了元．设平均每次降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
12．如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___．
13．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m．
14．在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是__________．
15．如图，中，点，，分别为，，的中点，点，，分别为，，的中点，若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____．
16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是_____．
17．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ =________．
18．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分）
19．（12分）解方程：
(1) (2)

20．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
21．（8分）学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次调查的学生共有______人；
在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整；
在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．
22．（10分）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
23．（10分）如图，在中，点是边上的一点.
（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的值.
24．（10分）如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，判断四边形的形状，并说明理由．
25．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 结合图象，写出当时，满足的x的取值范围；
(3) 将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的一次函数图像无交点．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点．
求直线AB的函数表达式；
过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动．
①若直线交直线OC于点E，则线段的长为________（用含有m的代数式表示）；
②当时，S与m的关系式为________；
③当时，m的值为________．
参考答案
1．C
【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.
解：观察几何体，可得三视图如图所示：
可知俯视图是中心对称图形，
故选C.
【点拨】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.
2．D
【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
解：，
移项得：，
配方得：，
即：；
故选：D．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
3．B
解：根据平行线分线段成比例可得，
代入计算可得：，
即可解EC=2，
故选B．
4．B
【分析】将A、B、C三点坐标分别代入反比例函数的解析式，求出的值比较其大小即可
解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入得，，
∴
故选B
【点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
5．D
【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率，
故选D．
【点拨】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
6．D
解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
7．D
【分析】根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明，可得再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论．
解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
8．A
【分析】先由一次函数的图象确定a、b的正负，再根据a-b判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的．
解：图A、B直线y=ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0、b＞0，
∵y=0时，x=-，即直线y=ax+b与x轴的交点为（-，0）
由图A、B的直线和x轴的交点知：-＞-1，
即b＜a，
所以b-a＜0，
∴a-b＞0，
此时双曲线在第一、三象限，故选项B不成立，选项A正确；
图C、D直线y=ax+b经过第二、一、四象限，
∴a＜0，b＞0，
此时a-b＜0，双曲线位于第二、四象限，
故选项C、D均不成立；
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数的性质．解决本题用排除法比较方便．
9．B
【分析】可根据：原售价×（1-降价的百分率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程.
解：设平均每次降价的百分率为，则依题意得：，故选B.
【点拨】本题考查列一元二次方程，解题的关键读懂题意，掌握原售价×（1-降价的百分率）2=降低后的售价.
10．C
【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
同理可证，，
，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．
11．6
【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
12．
【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果.
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键.
13．3
解：如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴，
即，
解得：AB=3m，
故答案为：3
14．．
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），
∴点A1的坐标是：，
即A1．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
15．
【分析】根据三角形的中位线定理建立面积之间的关系,按规律求解，再根据概率公式进行求解即可．
解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半,并且这两个三角形相似,
那么第二个△DEF的面积=△ABC的面积
那么第三个△MPN的面积=△DEF的面积=△ABC的面积
∴若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为:
故答案为：
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，概率公式,解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第三个三角形的面积与第一个三角形的面积的关系，以及概率公式．
16．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×k＝2+2+k，
∴k＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
17．或
【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；由相似三角形的性质列比例式求解即可．
解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴，
①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴，
∴，
∴x=，
∴AQ=．
②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y．
∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA，
∴，
∴，
∴y=．
综上所述，满足条件的AQ的值为或．
【点拨】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
18．6
【分析】取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF，从而可得答案．
解：如图，

取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，


过A作于H，则由







为BC的中点，




即的最小值为6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查的是利用轴对称求最小值问题，考查了锐角三角函数，三角形的相似的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)(2)．
【分析】（1）利用配方法解方程，
（2）利用因式分解法解方程．
解：（1）解：，
移项得：，
配方得：，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
或，
．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）．
【分析】（1）求出△的值即可证明；
（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．
解：（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：

由，得，解得．
【点拨】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．
21．(1)50(2)健美操项目所对应的扇形圆心角的度数为108°，补全统计图见分析(3)选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为
【分析】（1）用参加篮球的20人数除以所占的百分比来求出本次调查的总人数；
（2）用360度乘健美操项目人数除以总人数来求出健美操项目所对应的扇形圆心角的度数，再利用总人数分别减去篮球、健美操、键球人数得到跳绳的人数，并补全统计图即可；
（3）画出列表，从中得到共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种，
再利用概率公式求解．
(1)解：由图形可知，参加篮球的20人数占40%，
所以本次调查的学生共有（人），
故答案为：50；
(2)解：健美操项目所对应的扇形圆心角的度数：，
喜欢跳绳的学生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
(3)解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种，
所以，从一班2人，二班2人中任取2人，来自同一班级的概率为，
答：选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为．
【点拨】本题主要考查了条形统计图和扇形统计，用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键．
22．4m
【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．
解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4m．
【点拨】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．
23．（1）见分析；（2）.
【分析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得；
(2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可.
解：(1)如图所示；
(2)∵，
∴.
∴.
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.
24．(1)见分析(2)四边形是菱形．理由见分析
【分析】（1）证△ABO≌△DEO（AAS），得OB=OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB=CD，再证AB=BD，然后由菱形的判定即可得出结论．
（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵点O是的中点
∴
在和中
∴（AAS）
∴
∴四边形是平行四边形
（2）四边形是菱形.
理由：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴四边形是菱形
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
25．(1)一次函数的表达式为(2)(3)
【分析】（1）将、两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的即可；
（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图像即可判断反比例函数的系数，进而得到反比例函数的解析式．
（1）解：由题意得：，，
∴，
∴，
由题意得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：由图像可知，当时，
一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的值为，
当时，满足的x的取值范围为；
（3）解：一次函数的图像平移后为，
函数图像经过第一、三象限，
要使正比例函数与反比例函数没有交点，
则反比例的函数图像经过第二、四象限，则反比例函数的，
当时，满足条件，
反比例函数的解析式为 ．
【点拨】本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
26．(1)y＝﹣x+9；(2)①m；②m2；③或15﹣2．
【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；
（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；
②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC，利用三角形面积公式可得出本题结果；
③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可．
（1）解：将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，
∴，
解得．
∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；
（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，
令y＝0，则x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝12，OB＝9，
∴AB＝15；
如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，
∴CF∥OA，
∴∠OAB＝∠FCC′，
∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，
∴△CFC′∽△AOB，
∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，
∵CC′＝m，
∴CF＝m，C′F＝m，
∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），
∵C（8，3），
∴直线OC的解析式为：y＝x，
∴E（8﹣m，3﹣m）.
∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．
故答案为：m．
②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），
解得m＝ ，
∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，
此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；
故答案为：m2．
③分情况讨论，
当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；
令S＝m2＝ ，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；
当≤m＜5时，如图2，
设线段A′D′与直线OC交于点M，
∴M（m，m），
∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，
D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；
∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）
＝﹣m2+m﹣12，
令﹣m2+m﹣12＝；
整理得，3m2﹣30m+70＝0，
解得m＝ 或m＝＞5（舍）；
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；
当10≤m＜15时，如图4，
此时A′B＝15﹣m，
∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），
∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，
令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．
故答案为：或15﹣2．
【点拨】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积、相似三角形的性质与判定、一元二次方程、分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．