2023-2024学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）一个不透明的袋子里装有6个红球和3个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．2
3．（3分）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，点A为CD中点，∠BAD=45°，∠AMC=75°，则∠CAD的度数是（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
4．（3分）用配方法解方程x2+7x﹣5＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）关于二次函数的图象，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（1，2）
C．抛物线与x轴有两个交点分别是（3，0）和（﹣3，0）
D．当（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的点，则当x1＜x2＜1时，则y1＜y2
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则边A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）
C．（﹣1，﹣2）或（1，2）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
7．（3分）如图，设计一长30cm,宽20cm的彩旗，图中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度比为2：1，若使彩条所占面积是彩旗的，设竖彩条宽度为x cm,则根据题意可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×30×20
B．（30﹣x）（20﹣2x）＝（1﹣）×30×20
C．（30﹣2x）（20﹣4x）＝×30×20
D．（30﹣2x）（20﹣4x）＝（1﹣）×30×20
8．（3分）在同一平面直角坐标系内二次函数y＝ax2+bx+a（a≠0）与一次函数y＝bx+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC，则下列选项错误的是（ ）
A．∠P+2∠D＝180°B．∠COB＝∠DAB
C．∠DBA＝∠ABPD．∠DBO＝∠ABP
10．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，，若四边形BDEF的面积为16，则△ADE的面积是（ ）
A．4B．C．2D．
11．（3分）如图，在△ABC的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接EF，DE，DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP．下列说法正确的是（ ）
A．点B、P、O、E四点共线
B．点O是△DEF三条角平分线的交点
C．若△ABC是等边三角形，则
D．若∠A＝70°，则∠DFE＝50°
12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，-3）和（0，-2）之间．下列结论中：①＞0；②-2＜b＜-；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）半径为6的圆内接正三角形的边长为 ．
14．（3分）不透明袋子中装有3个球，其中有2个绿球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出2个球，则两个都取到绿球的概率为 ．
15．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3有最 点（填“高”或“低”），这个点的坐标是 ；把这个抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到的新抛物线是 ．
16．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=25°，则∠EDC的度数是 ．
17．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别为边BC，CD上动点，且BE+DF=4，连接BF，AE交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点B、C均在格点上．点A是圆与格线的交点，D为AC边上的一个格点，过D点作DE⊥AB于点E．
（Ⅰ）线段DB的长度为 ；
（Ⅱ）请用无刻度直尺在网格中作出△ABC外接圆的圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（Ⅲ）请用无刻度直尺在网格中作出过C点的圆的切线CF．（保留作图痕迹，不要求写作法）
三、解答题（本大题共7小题。共66分。解答应写出文字说明、具体步骤或推理过程）
19．（8分）（Ⅰ）用适当方程解一元二次方程：x2+6x+5＝0；
（Ⅱ）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个实数根x1，x2．若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣6时，求k值及方程的解．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CA⊥AB，延长CO交⊙O于点D，弦DE⊥AB于点F，且∠CDE=∠BAD．
（Ⅰ）求∠ADE和∠CAD度数大小；
（Ⅱ）若，求CD和DE的长．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（Ⅰ）求证：FG是⊙O的切线；
（Ⅱ）若BG＝1，，求BF的长．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为BC边中点，连接DE，过A点作AF⊥DE交DE于点G，交CD于点F．
（Ⅰ）求证：△ADG∽△DEC；
（Ⅱ）若AB＝6，时，求DG的长度．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,点P是边BC上由B向C运动（不与点B、C重合）的一动点，P点的速度是1cm/s,设点P的运动时间为t s,过P点作AC的平行线交AB于点N，连接AP．
（Ⅰ）线段AN＝ ；线段PN＝ ；（请用含t的代数式表示）
（Ⅱ）当t为何值时△APN∽△ABP；
（Ⅲ）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻t的值，使得△APN的面积有最大值？若存在，请求出t的值，并计算最大面积；若不存在，请说明理由．
24．（10分）将等腰直角△AOB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，2），B（2，0），点C，D分别在边OA，OB上，且OC=OD，连接CD．现将△COD绕O点顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），点C，D旋转后的对应点为C′，D′．
（Ⅰ）如图1，当C'D'⊥x轴时，则旋转角α＝ °；△BOD'可以看作是△AOC'绕点 顺时针旋转 °后得到的；直线AC'与BD'所夹角为 °．
（Ⅱ）如图2，当旋转角α＝15°时，点A，D'恰好共线，求△COD的各边长．
（Ⅲ）将（Ⅱ）中的△COD旋转，当旋转角α为何值时△ABD′的面积最大值？最大值是多少？（直接写出结果）．
25．（10分）如图，二次函数y=ax2-ax+c（a≠0）图象交坐标轴于点A（4，0），B（0，-2），点P为线段OA上一动点．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB、抛物线于点Q和点C，求线段CQ的最大值及此时△ABC的面积；
（Ⅲ）当2BP+AP取最小值时，求此时点P的坐标及2BP+AP的最小值．
2023-2024学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．
故选：D．
2．【答案】B
【解答】解：由题意可得，
从袋中任意摸出一个球是红球的概率为＝，
故选：B．
3．【答案】C
【解答】解：∵∠BAD＝45°
∴∠BCD＝45°，
∵∠AMC＝75°，
∴∠B＝∠AMC﹣∠BCD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵点A为CD弧中点，
∴∠D＝∠ACD＝30°，
∴∠DAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故选：C．
4．【答案】A
【解答】解：x2+7x﹣4＝0，
x2+7x＝5，
x2+3x+＝5+，
（x+）6＝，
故选：A．
5．【答案】C
【解答】解：A．由a＝﹣，所以A选项不符合题意；
B．抛物线y＝﹣2+2的顶点坐标为（1，2）；
C．y＝6时，﹣7+2，解得x1＝﹣3，x2＝3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，（3，所以C选项符合题意；
D．抛物线y＝﹣2+2的对称轴为x＝2，则当x1＜x2＜7时，y1＜y2，所以D选项不符合题意．
故选：C．
6．【答案】D
【解答】解：∵点A（﹣3，6），相似比为，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，6）或（1，
故选：D．
7．【答案】D
【解答】解：若设每个横彩条的宽度为2x cm，则每个竖彩条的宽度为x cm，宽为20﹣2×4x＝（20﹣4x）的矩形，
根据题意得：（20﹣4x）（30﹣2x）＝（1﹣）×20×30．
故选：D．
8．【答案】A
【解答】解：A、二次函数图象开口向上，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，
故A正确；
B、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜7，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，
故B错误；
C、二次函数图象开口向上，
∴a＞0，b＜3，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，
故C错误；
∵D、二次函数图象开口向上，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，
故D错误；
故选：A．
9．【答案】D
【解答】解：A．∠OAP＝∠OBP＝90°，又因为∠D＝，故A正确；
B．因为弦BD⊥AC；
C．根据垂径定理，则∠ADB＝∠ABD，得∠ABP＝∠D；
D．证出∠ABP＝∠D．
故选：D．
10．【答案】A
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，∠ADE＝∠B．
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠B，
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴．
∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
设S△ADE＝k，则S△EFC＝4k，S△ABC＝9k，
∴S四边形DBCE＝4K﹣K＝8K，
∴S四边形BDEF＝8k﹣2k＝4k＝16，
∴k＝4．
∴△ADE的面积是7．
故选：A．
11．【答案】C
【解答】解：连接OD，OE．
∵圆O为△ABC的内切圆，
∴点O为△ABC三个内角平分线的交点，
由尺规作图可知，BP为∠ABC的平分线，
∴射线BP一定过点O，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，BO不一定垂直AC，
∴B，P，O，E不一定共线．
故A选项错误，不符合题意；
由题意知，圆O为△DEF的外接圆，
∴点O是△DEF三条垂直平分线的交点，
故B选项错误，不符合题意；
若△ABC是等边三角形，则点D，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
故C选项正确，不符合题意；
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠A＝110°，
∴∠DFE＝∠DOE＝55°，
故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
12．【答案】B
【解答】解：①∵函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交负半轴，
∴c＜3，故，正确
②∵顶点坐标（1，n）＝1，
∴b＝﹣2a＜5，a＝﹣，
∴B点（3，8）关于对称轴x＝1对称点为（﹣1，
∴当x＝﹣7时，y＝a﹣b+c＝0b，
∵﹣3＜c＜﹣2，
∴﹣4＜＜﹣2，
∴﹣2＜b＜，错误．
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝08﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正确．
④当x＝5，时，y＝a+b+c＝n，
∵a＝﹣，c＝b，
∴n＝2b，
∴2c﹣a＝，
∵b＜0，
∴＞4b，错误．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．【答案】．
【解答】解：如图：△ABC是等边三角形，过点O作OD⊥BC于D，OC，
∴BD＝CD＝BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝5∠A＝120°，
∴，
∵半径为6，即OB＝OC＝6，
∴BD＝OB•sin∠BOD＝6×＝3，
∴，
即直径为6的圆的内接正三角形的边长为：．
故答案为：．
14．【答案】．
【解答】解：∵袋子中共有3个球，其中绿球有2个，
∴从袋子中随机取出5个球，它是绿球的概率是，
故答案为：．
15．【答案】高，（﹣1，﹣3），y＝﹣2（x+3）2+1．
【解答】解：∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，有最高点，﹣4）
把这个抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到的新抛物线是y＝﹣3（x+3）2+2，
故答案为：高，（﹣1，y＝﹣2（x+4）2+1．
16．【答案】50°．
【解答】解：如图，
，
∵DE⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∵∠CAD＝25°，
∴∠ADE＝180°﹣∠CAD﹣∠AFD＝65°，
∵旋转，
∴∠B＝∠ADE＝65°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝65°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝50°．
故答案为：50°．
17．【答案】2﹣2．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，
∴BE+DF＝CF+DF＝4，
∴BE＝CF，
∵∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠BAE+∠ABG＝∠CBF+∠ABG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
如图，取AB的中点M，GM，
∵M是AB的中点，AB＝5，
∴AM＝MB＝MG＝2，
在Rt△ADM中，MD＝＝；
在△MGD中，∵DG≥MD﹣MG＝3，
∴GD的最小值是2﹣2，
故答案为：2﹣2．
18．【答案】（Ⅰ）3；
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）见解析．
【解答】解：（Ⅰ）线段DB＝＝3，
故答案为：3；
（Ⅱ）如图，点O即为所求；
（Ⅲ）如图，直线CF即为所求．
三、解答题（本大题共7小题。共66分。解答应写出文字说明、具体步骤或推理过程）
19．【答案】（Ⅰ）x1＝﹣5，x2＝﹣1；
（Ⅱ）k＝﹣4，x1＝4，x2＝﹣1．
【解答】解：（Ⅰ）x2+6x+7＝0，
（x+5）（x+7）＝0，
∴x+5＝4或x+1＝0，
∴x4＝﹣5，x2＝﹣8；
（Ⅱ）∵方程x2﹣3x+k＝4有两个实数根x1，x2，
∴x4+x2＝3，x7x2＝k，
∵（x1﹣4）（x2﹣1）＝﹣3，
∴x1x2﹣（x5+x2）+1＝﹣4，
∴k﹣3+1＝﹣4，
∴k＝﹣4，
∴x2﹣7x﹣4＝0，
（x﹣7）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝8，
∴x1＝4，x5＝﹣1．
20．【答案】（Ⅰ）∠ADE＝60°，∠CAD＝120°；
（Ⅱ）6．
【解答】解：（Ⅰ）如图，CD交⊙O于点M，
∵AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点F，
∴＝2，
∴∠DME＝2∠BAD，
∵∠CDE＝∠BAD，
∴∠DME＝8∠CDE，
∵DM是⊙O的直径，
∴∠DEM＝90°，
∴∠DME+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∵OF⊥DF，
∴∠DOF+∠CDE＝90°，
∴∠DOF＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA＝∠DOF，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠ADE＝∠ODA+∠CDE＝60°，
∵CA⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAD＝∠CAB+∠OAD＝120°；
（Ⅱ）如图，过点A作AN⊥CD于点N，
∵∠CAD+∠C+∠ADC＝180°，∠CAD＝120°，
∴∠C＝30°＝∠ADC，
∴AC＝AD，
∵AN⊥CD，
∴CD＝2DN，
在Rt△ADN中，AD＝2，
∴AN＝AD＝，
∴DN＝＝7，
∴CD＝2DN＝6．
21．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）BF＝3．
【解答】（1）证明：如图1，连接OF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠B，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
又∵OF是半径，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OE，
∵CF＝．
又∵OH⊥CF，
∴CH＝FH，
∴CH＝，
∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥GF，OF⊥GF，GE＝GF，
∴四边形GFOE是正方形，
∴OE＝GF＝OF＝OC，
∴OC＝，
∵csC＝csB＝，
∴＝，
∴BF＝7或﹣3（不合题意，舍去）．
22．【答案】（Ⅰ）证明见解答过程．
（Ⅱ）2．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠ADG+∠CDE＝90°，∠C＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AGD＝90°＝∠C，
∴∠GAD+∠ADG＝90°，
∴∠GAD＝∠CDE，
∴△ADG∽△DEC；
（Ⅱ）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝4，
∵E为BC边中点，
∴CE＝BC＝2，
∴DE＝＝2，
∵△ADG∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝2．
23．【答案】（Ⅰ）5﹣t；t；
（Ⅱ）当t＝时，△APN∽△ABP；
（Ⅲ）t＝2时，△PAN的面积最大，最大值为．
【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，
∴AB＝＝6（cm），
∵PN∥AC，PB＝t，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BN＝t，PN＝t，
∴AN＝AB﹣BN＝5﹣t．
故答案为：5﹣t；t；
（Ⅱ）∵△APN∽△ABP，
∴＝，
∴AP2＝AN•AB，
∵AP＝＝，
∴38+（4﹣5）5＝（5﹣t）•5，
解得：t＝或0（不合题意，
∴当t＝时，△APN∽△ABP；
（Ⅲ）由题意：S△APN＝•PN•PC＝•（t﹣4）2+，
∵﹣＜2，
∴t＝2时，△PAN的面积最大．
24．【答案】（1）45°，O，90，90；
（Ⅱ）OC＝OD＝，CD＝2；
（Ⅲ）4．
【解答】解：（Ⅰ）∵OC＝OD，∠COD＝90°，点C，D′，
∴OC′＝OD′，∠C′OD′＝∠COD＝90°，
∵C′D′⊥x轴，
∴OB平分∠C′OD′，
∴∠COC′＝45°，
故答案为：45°，O，90；
（Ⅱ）如图1，
作OE⊥AD′于E，
由（Ⅰ）知：△C′OD′是等腰直角三角形，
∴∠OC′D′＝45°，
∴∠OAE＝∠OC′D′﹣∠AOC′＝45°﹣15°＝30°，
∴OE＝OA＝1，
∴OD＝OC＝OC′＝OE＝，
∴CD＝OC＝2；
（Ⅲ）如图5，
∵OD＝，
∴点D′在以O为圆心，为半径的圆上运动，
∴当OD⊥AB时，且离AB距离最大时，最大值为：．
25．【答案】（Ⅰ）抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2，顶点的坐标为：（，﹣）；
（Ⅱ）CQ的最大值为：，△ABC的面积为：；
（Ⅲ）4+2．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x7﹣x﹣3，
则顶点的坐标为：（，﹣）；
（Ⅱ）由点A、B的坐标的x﹣2，
设点Q（x，x﹣2），x2﹣x﹣2），
则CQ＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣2+，
故CQ的最大值为：，
此时△ABC的面积＝CQ×AO＝；
（Ⅲ）过点A作直线AH使直线AH和x轴负半轴的夹角为30°，过点B作BP⊥AH交AH于点H，