阶段性检测3.1（易）（范围：集合至立体几何）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知复数（为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形，设其边长为，中心为O，则下列选项中不正确的是（ ）

A．B．
C．和是一对相反向量D．
6．若函数在处有极大值，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．
7．已知函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：）（ ）次.
A．8B．9C．10D．11
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．是递增数列
B．
C．当时，
D．当或4时，取得最大值
10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与向量共线，则
11．如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，，为棱的中点，则（ ）

A．与平面所成的角的余弦值为
B．
C．平面
D．三棱锥的体积为
12．已知函数（），则（ ）
A．若，则函数在上单调递增
B．若在上有最小值，则在上有最大值
C．过原点有且仅有一条直线与的图象相切
D．若函数存在大于1的极值点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数满足，则_____．
14．已知等差数列，为其前n项和，若，，成等比数列，则的最小值为_____．
15．已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为_____．
16．已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)证明：；
(2)若，，求的面积.
18．设数列的前n项和为，．
(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．
(2)若数列的前m项和，求m的值，
19．已知函数（，）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为.
(1)求的解析式及最小值；
(2)若函数在区间（）上有且仅有1个零点，求的取值范围.
20．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．

(1)证明:平面．
(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列.

(1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对于任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．