第10练 对数与对数函数-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.（人A必修一P126习题4.3T6（1）变式）已知,则（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】B
【解析】因为,所以,所以.故选.
2.（人A必修一P140习题4.4T1变式）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意,解得．故选A．
3. （人A必修一P126习题4.3T6变式）若,则
【答案】
【解析】.
4. （人A必修一P140习题4.4T10变式）声音大小（单位：）取决于声波通过介质时所产生的压力（简称声压,单位：）变化.已知声压x与声音大小y的关系式为.根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定,新建企业工作地点噪音容许标准为85.若某新建企业运行时测得的声音大小为60,符合《工业企业噪声卫生标准》规定,则此时声压为
【答案】0.02
【解析】由题意可得,所以1g,解得.
二、考点分类练
(一)指数幂的运算
5．（2022届重庆南开中学高三质量检测）浮萍是我国南方常见的一种水生植物,生长速度非常快．最快每30个小时浮萍铺在水面的面积就可以扩大为原来的2倍．李大爷承包了一块面积为3亩（1亩≈666.7平方米）的鱼塘,为养殖草鱼购买了一些浮萍．最初,浮萍铺在水面上大约有1平方米,如果浮萍始终以最高效繁殖,大约（ ）天后,浮萍可以铺满整个鱼塘．（不考虑草鱼对浮萍的损耗．结果四舍五入到整数,参考数据：）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【解析】由题,鱼塘面积共平方米,浮萍天后在水面上的面积大约有平方米,故浮萍铺满整个鱼塘的天数满足,两边取对数化简有,解得,故大约14天后,浮萍可以铺满整个鱼塘,故选B
6.（多选）（2022届广东省汕头市高三二模）设a,b,c都是正数,且,则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】设,则,,,
所以
,
即,所以,所以,故D正确；
由,所以,故A正确,B错误；
因为,,
又,所以,即,C正确.
7．（2022届四川省攀枝花市高三5月统考）已知,,则________．
【答案】．
【解析】因为,,所以,,
．
(二)指数函数的图象及应用
8.（2022届四川省成都市石室中学高三下学期三诊）设为指数函数（且）,函数的图象与的图象关于直线对称．在,,,四点中,函数与的图象的公共点只可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【答案】D
【解析】由题意,知．逐一代入验证,点代入中,求得：,不合要求,舍去；
点代入中,解得：,将代入中,,Q点不在上,不合要求,舍去；点代入中,解得：,将代入中,,解得：,故与矛盾,舍去；代入中,,解得：,将代入中,,解得：,满足题意.故仅点N可能同时在两条曲线上．故选D．
9.（多选）（2022届重庆市第八中学高三下学期调研）在同一直角坐标系中,函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】当时,在单调递增且其图象恒过点,在单调递增且其图象恒过点,则选项B符合要求；当时,在单调递减且其图象恒过点,
在单调递减且其图象恒过点,则选项D符合要求；综上所述,选项B、D符合要求.故选BD.
10．已知函数,若函数有个零点,则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】在上单调递增且值域为；在上单调递减且值域为；
在上单调递增且值域为；故的图象如下：
由题设,有个零点,即有7个不同解,
当时有,即,此时有1个零点；
当时有,即,
∴有1个零点,有3个零点,此时共有4个零点；
当时有或或,
∴有1个零点,有3个零点,有3个零点,此时共有7个零点；
当时有或或,
∴有1个零点,有3个零点,有2个零点,此时共有6个零点；
当时有或,
∴有3个零点,有2个零点,此时共有5个零点；
综上,要使有7个零点时,则,(),故选BD
(三)指数函数的性质及应用
11．（2022届四川省内江市高三第三次模拟）设,,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得：,
,故选D
12.（2022届湖北省二十一所重点中学高三下学期第三次联考）设集合,,下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于集合,因为与互为反函数,所以,互相关于对称,而,所以,只需要即可,因为,所以,,得,设,得,所以,,,单调递增；,,单调递减,所以,,得到,所以,；
对于集合,化简得,设,,因为,
可设,,
单调递减,又,所以,当时,,,,单调递减,利用洛必达法则,
时,,
所以,,所以,；
由于,,所以,D正确,故选D
13．（2022届江西省赣州市于都县高三二模）若函数在上是减函数,则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意可得且,因为函数在上是减函数,所以,
所以,即,是减函数,由于在上是减函数,所以,
所以的取值范围是.
三、最新模拟练
14．（2022届江西省高三二轮复习验收考试）已知函数则（ ）
A．在R上单调递增,且图象关于中心对称
B．在R上单调递减,且图象关于中心对称
C．在R上单调递减,且图象关于中心对称
D．在R上单调递增,且图象关于中心对称
【答案】D
【解析】当时,,
当时,,
时,,
即对任意实数x恒有,,故图象关于中心对称；
当时,单调递增；当时,单调递增,且图像连续,
故在R上单调递增,故选D.
15．（2022届安徽省高三下学期适应性考试）已知是奇函数,若恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】是奇函数,恒成立,
即恒成立,
化简得,,即,
则,解得,又且,,
则,所以,
由复合函数的单调性判断得,函数在上单调递减,又为奇函数,
所以在上单调递减；由恒成立得,
恒成立,
则恒成立,
所以恒成立,解得.故选B.
16．（2022届安徽省蚌埠市高三下学期第三次教学质量检查）设,,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由,可得,故,即,,即,又时,,,故,综上.故选D.
17．（多选）（2022届江苏省淮安市六校高三上学期联考）已知,且,,若,则下列不等式可能正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】∵,∴若,则,即．∴,故A正确．,故D正确．若,则,∴,,故BC错误, 故选AD
18．（多选）关于函数（）,下列说法正确的有（ ）
A．,至少有两个零点B．,只有两个零点
C．,只有一个零点D．,有三个零点
【答案】CD
【解析】函数（）有零点有解,
有解,
令,方程有解,
对C,当,即时,与没有交点,
根据绝对值函数的图象可得：方程有1个解,故C正确；
对D, 当,即时,与有两个交点,,
根据绝对值函数的图象可得：方程有3个解,故D正确；
根据简易逻辑知识可知A,B错误；故选CD
19．已知,则__________．
【答案】3
【解析】因为,,所以,
令,则,因为当时,,
所以在上单调递增,所以,
所以,即,所以．
20．（2022届河北省高三下学期4月全过程纵向评价）几何分布（Gemetric distributin）是一种离散型概率分布,定义：在n次伯努利试验中,试验k次才得到第一次成功的机率,即前次失败,第k次成功的概率,因此实验次数k服从几何分布．现甲参加射击考核,甲每次命中的概率为0.68,考核通过的规则为命中即可获得“通过”,故考核通过的射击次数服从几何分布,若每次射击需要一发子弹,则甲至少需要申请______发子弹保证有98％的概率获得“通过”．（参考数据：）
【答案】4
【解析】设甲申请了发子弹,则能获得“通过”的概率
,
令,即,即,
两边取以10为底的对数得,
即,即,
即,故．
21．（2022届福建省福州市协作体高三上学期期中联考）已知函数
(1)求的定义域并判断的奇偶性；
(2)求函数的值域；
(3)若关于的方程有实根,求实数的取值范围
【解析】 (1)由题意可得,
由,得,
所以的定义域为,
因为定义域不关于原点对称,
所以为非奇非偶函数,
(2),
因为,所以,所以,
所以,
所以,
所以的值域为,
(3)关于的方程有实根,即在上有实根,
令,
因为在上单调递减,而在上单调递增,
所以在上单调递减,
所以在上的最小值为,最大值为,
所以,
所以当时,方程有实根
四、高考真题练
22. （2021新高考Ⅱ卷） 已知,,,则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,即.故选C.
23．(2021全国卷Ⅰ)设,,．则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,
所以;
下面比较与的大小关系．
记,则,,
由于
所以当0所以在上单调递增,
所以,即,即;
令,则,,
由于,在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减,所以,即,即b综上,,故选B．
24.(2020全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85．设a=lg53,b=lg85,c=lg138,则( )
Aa【答案】A
【解析】由题意可知、、,
,；
由,得,由,得,,可得；
由,得,由,得,,可得．
综上所述,．
故选A．
25.（2018全国卷III）设,,则（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】 ,,
又,所以,.又,所以.故选B.
26.（2020新高考山东卷T6）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天B. 1.8天
C. 2.5天D. 3.5天
【答案】B
【解析】因,,,所以,所以,
设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为天,则,所以,所以,所以天.故选B.
五、综合提升练
27.定义“正对数”：,现有四个命题：
①若,,则；
②若,,则；
③若,,则；
④若,,则.
则所有真命题的序号为
A．①②③B．①②④C．③④D．②③④
【答案】D
【解析】对于①,当,时,满足,,而,
,,命题①错误；
对于②,当,时,有,
从而,,；
当,时,有,从而,,
.
当,时,,命题②正确；
对于③,由“正对数”的定义知,且．
当,时,,而,则；
当,时,有,,而,
,则．
当,时,有,,而,则．
当,时,,则．
当,时,,命题③正确；
对于④,由“正对数”的定义知,当时,有.
当,时,有,
从而,,
；
当,时,有,从而,,；
当,时,有,从而,
,；
当,时,,,
,,
从而,命题④正确．
正确的命题是②③④．故选D．
28.若实数,则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】令,则在上恒成立,所以函数在上单调递减,
对于选项A：因为,所以,
即原不等式等价于,因为,所以,从而可得,故选项A正确；
对于选项C：,
由于函数在上单调递减,所以,即,
因为,所以,取,则,故选项C错误；
对于选项D：,与选项A相同,故选项D正确.
对于选项B：,因为,
所以等价于,因为,
因为,
所以不等式成立,故选项B正确；故选ABD
29.（2022届重庆市第八中学高三下学期调研）已知函数,若对于图像上的任意一点,在的图像上总存在一点,满足,且,则实数___________.
【答案】
【解析】设点,,点,
当,,由,
知,即,即,
又,知,即,
将式代入,得,
由于,,有,
因此有,即,即,
由于,,∴式可知不满足条件,则有,
代入式得,
∴,故．
当时,点,根据指数函数与对数函数的性质知,此时,显然满足条件；
故答案为．
30.（2022届上海市川沙中学高三上学期月考）已知函数.
（1）解不等式；
（2）设均为实数,当时,的最大值为1,且满足此条件的任意实数及的值,使得关于的不等式恒成立,求的取值范围；
（3）设为实数,若关于的方程恰有两个不相等的实数根,且,试将表示为关于的函数,并写出此函数的定义域.
【解析】（1）由题意,函数,
则不等式等价于或,
即或,即不等式的解集为.
（2）当时,的最大值为1,所以,
要使得不等式恒成立,
只需,即对任意恒成立,
因为,所以恒成立,
由,所以,
当且仅当时,即时等号成立,所以,
即的取值范围是.
（3）由函数,可得,
①若,则方程可变为,
即且；
②若,则方程可变为,
即且,
于是分别是方程的两个根,且,
,
故,其中定义域为.