第21练 解三角形-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.（人A必修二P52习题2.4T1变式）若在,则三角形的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】由以及余弦定理得,化简得,所以三角形的形状一定是等腰三角形.故选B
2.（人A必修二P52习题2.4T8变式）小李从地面D点看楼顶点A的仰角为30°,沿直线前进72米到达E点,此时看点C的仰角为45°,若,则楼高AB约为（ ）
A．58米B．68米C．78米D．88米
【答案】A
【解析】设,则由题意可得,所以,解得,所以楼高.
故选A.
3. （人A必修二P52习题2.4T6变式）在△中,,,,则________
【答案】
【解析】由余弦定理得,.
4. （人A必修二P52习题2.4T22变式）已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面积为,求的值．
【解析】 (1)因为,由正弦定理得：,
因为,所以,又因为,,
所以．
(2)由（1）及余弦定理知,
整理得：①
由面积公式,整理得②,
②相加得,所以．
二、考点分类练
(一)利用正弦余弦定理解三角形
5．（2022届河南省多校联盟高考终极押题）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则（ ）
A．B．5C．8D．
【答案】A
【解析】由题意可知, ,得,,,由余弦定理可得：,整理得： ,,故选A
6. （多选）在锐角中,角所对的边分别为,且,则下列结论正确的有（ ）
A．B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】AD
【解析】在中,由正弦定理可将式子化为
,
把代入整理得,
,
解得或,即或(舍去).
所以.
选项A正确.
选项B：因为为锐角三角形,,所以.
由解得,故选项B错误.
选项C：,
因为,所以,,
即的取值范围.故选项C错误.
选项D：
.
因为,所以, .
令,,则.
由对勾函数的性质知,函数在上单调递增.
又,,所以.
即的取值范围为.故选项D正确.
故选AD.
7. （2022届江西省萍乡市高三三模）已知分别为锐角的内角的对边,若,则面积的最大值为_________．
【答案】
【解析】因为,由正弦定理可得：,所以.
又为锐角三角形,所以.
由余弦定理得：（当且仅当a=b时等号成立）
即,
所以（当且仅当a=b,即为等边三角形时等号成立）.
所以面积的最大值为.
8. （2022届广西南宁市高三5月诊断）已知△ABC中,分别为内角的对边,且.
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点,是 的角平分线,且,,求 的面积.
【解析】 (1)在△ABC中,由正弦定理及得：,..
由余弦定理得,
又,所以
(2) 是的角平分线,,
由可得
因为,,即有,,
故
(二)几何图形中的解三角形
9．空间四边形ABCD的对角线,,M,N分别为AB,CD的中点,,则异面直线AC和BD所成的角等于（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】B
【解析】取BC的中点P,连接MP,NP,则且,且．
故或其补角即为异面直线AC和BD所成的角.由余弦定理可知,,
而为三角形内角,故,故异面直线AC和BD所成的角为．故选B．
10.（2022届山东省济南市高三5月三模）如图,某市拟建造一个扇形体育公园,其中,千米．现需要在,OB,上分别取一点D,E,F,建造三条健走长廊DE,DF,EF,若,,则的最大值为______千米．
【答案】
【解析】∵在四边形中,,,,∴,
在△中,由余弦定理得,即,
,,当且仅当时取等号,
,,即,.
11. （2022届湖北省华中师大一附中高三高考前测试）为了测量一个不规则公园两点之间的距离,如图,在东西方向上选取相距的两点,点在点A的正东方向上,且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上,点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上,点在它的北偏西方向上,则之间的距离为______km.
【答案】2
【解析】由题意可知,, ,
故在中,,
故 ,,
在中,,
故 ,,
所以在中,,则
(三)实际应用中的解三角形
12．（2022届安徽省阜阳市高三上学期期末）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O,半径为r的球,其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面,且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为,观测该卫星的仰角为,则下列关系一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示,,由正弦定理可得,即,化简得,故选A
13. （2022届江西师范大学附属中学高三三模）滕王阁,位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸,始建于唐朝永徽四年,因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色”而流芳后世．如图,小明同学为测量滕王阁的高度,在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB,高为,在它们的地面上的点M（B,M,D三点共线）测得楼顶A,滕王阁顶部C的仰角分别为和,在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为,则小明估算滕王阁的高度为（ ）（精确到）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得,在中,,
在中,,,
所以,由正弦定理,
得,
又,
在中,.
故选D.
14. （2022届浙江省嘉兴市高三4月二模）2022年北京冬奥会闭幕式上,呈现了大雪花（火炬）被中国结紧紧包裹的画面,体现了中国“世界大同,天下一家”的理念,数学中也有类似“包裹”的图形.如图,双圆四边形即不仅有内切圆而且有外接圆的四边形,20世纪80年代末,国内许多学者对双圆四边形进行了大量研究,如：边长分别为a,b,c,d的双圆四边形,则其内切圆半径,外接圆半径.现有边长均为1的双圆四边形,则___________.
【答案】
【解析】由题意知：,故,,,故.
三、最新模拟练
15．（2022届云南省昆明市高三考前适应性训练）在中,内角A、B、C所对的边分别为、、,,,则（ ）
A．B．C．1D．1或
【答案】A
【解析】将代入,得,化简得,解得,因为,所以,得,所以,
故选A．
16. （2022届安徽省合肥市高三最后一卷）已知在中,．若与的内角平分线交于点,的外接圆半径为,则面积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由及正弦定理可得,
,所以,,则,所以,,
所以,的外接圆直径为,
设内角、、的对边分别记为、、,则,所以,,
设的内切圆半径为,则,所以,,
因此,,
因为,
所以,,当且仅当时,等号成立,
因此,面积的最大值为.故选C.
17. （2022届华大新高考联盟名校5月押题卷）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图,已知某地冬至正午时太阳高度角（即）大约为15°,夏至正午时太阳高度角（即）大约为60°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a,则表高（即AC的长）为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】．
在中,,在中,．
由,得,
故选D．
18. （多选）（2022届河北省石家庄市高三5月模拟）已知中,为外接圆的圆心,为内切圆的圆心,则下列叙述正确的是（ ）
A．外接圆半径为B．内切圆半径为
C．D．
【答案】BCD
【解析】在中,,所以,设外接圆半径为,则,则,故A错误；设内切圆半径为,则,解得,故B正确；
因为,,
所以
,故C正确；
设内切圆与三角形分别切于,则设,
,解得,所以,
则,,
所以,故D正确.
故选BCD.
19. （2022届内蒙古呼伦贝尔市满洲里市高三三模）在中,角、、的对边分别是、、,,的面积为,则的最小值是_______.
【答案】
【解析】由及正弦定理可得,
,则,,可得,
由三角形的面积公式可得,可得,
由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,
故的最小值为.
20.（2022届河北省衡水市部分学校高三联考）在中,角的对边分别为,且__________．
(1)求角；
(2)若,求的面积的最大值．
在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中并作答．
【解析】 (1)选择条件①：
解法一：因为,
所以,
所以,
即,
即．
因为,
所以．
又,
所以．
解法二：因为,
所以,
即,
所以．
又,所以．
选择条件②：
因为,
所以,
所以,
即,
所以．
又,所以．
选择条件③：
因为,
所以,
所以．
又,所以．
(2)因为,由（1）知：
所以,
故,当且仅当时,取等号,
所以,
即的面积的最大值为．
21．(2022届陕西省西安地区八校高三5月联考)如图,在平面四边形ABCD中,E为AD边上一点,,,.
(1)若,求的值；
(2)若,求BE的长.
【解析】 (1)过B作于F.
∵,,
∴,在直角中,,
∴,
∴.
(2)连接BD.在中,,,,由余弦定理,得
在中,,,由余弦定理,得.
在中,,,由余弦定理,得.
∵,得
∴,得,（负值舍去）.
∴.
四、高考真题练
22．（2021新高考全国卷Ⅰ）记的内角,,的对边分别为,,．已知,点在边上,．
（1）证明：；
（2）若,求．
【解析】（1）证明：由正弦定理知,,
,,
,,即,
．；
解法二：证明：由正弦定理知,
（2）解法一：由（1）知,
,,,
在中,由余弦定理知,,
在中,由余弦定理知,,
,
,即,得,
,,或,
在中,由余弦定理知,,
当时,（舍；当时,；
综上所述,．
23. （2021新高考全国卷Ⅱ）在中,角、、所对的边长分别为、、,,.．
（1）若,求的面积；
（2）是否存在正整数,使得为钝角三角形?若存在,求出的值；若不存在,说明理由．
【解析】（1）因为,则,则,故,,
,所以,锐角,则,
因此,；
（2）显然,若为钝角三角形,则为钝角,
由余弦定理可得,
解得,则,
由三角形三边关系可得,可得,,故.
24．（2020新高考山东卷）在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值；若问题中的三角形不存在,说明理由．
问题：是否存在,它的内角的对边分别为,且,,________?
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
【解析】解法一：
由可得：,
不妨设,
则：,即.
选择条件①的解析：
据此可得：,,此时.
选择条件②的解析：
据此可得：,
则：,此时：,则：.
选择条件③的解析：
可得,,
与条件矛盾,则问题中的三角形不存在.
25．(2020年全国卷Ⅱ)中,sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3,求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得：,
,
,
（2）由余弦定理得：,
即．
（当且仅当时取等号）,
,
解得：（当且仅当时取等号）,
周长,周长的最大值为．
26．(2019年全国卷Ⅰ)的内角的对边分别为．设．
(1)求；
(2)若,求．
【解析】（1）由已知得,故由正弦定理得．
由余弦定理得．因为,所以．
（2）由（1）知,由题设及正弦定理得,
即,可得．
由于,所以,故
．
五、综合提升练
27．（2022届江苏省扬州市高邮市高三3月质量检测）在锐角中,角,,的对边分别为,,,为的面积,且,则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中,由余弦定理得,
且的面积,
由,得,化简得,
又,,联立得,
解得或（舍去）,
所以,
因为为锐角三角形,所以,,所以,
所以,所以,所以,
设,其中,所以,
由对勾函数单调性知在上单调递减,在上单调递增,
当时,；当时,；当时,；
所以,即的取值范围是．故选C.
28. （多选）设的三个内角,,所对的边分别为,,．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若,则是等边三角形
B．若,则是等边三角形
C．若,则是等边三角形
D．若,则是等边三角形
【答案】BCD
【解析】A,若,
由正弦定理可知：任意都满足条件,因此不一定是等边三角形,不正确；
B,若,
由正弦定理可得：,
∴,
∵,∴,
∴是等边三角形,正确．
C,若,
由正弦定理可得：,∴,
∵,∴,
∴是等边三角形,正确．
D,若,∴,
时,是等边三角形；
时,研究函数的单调性,
,时,,
∴函数在上单调递减,因此不成立．
综上可得：是等边三角形,正确．故选BCD．
29. （2022届江西省景德镇市高三第二次质检）1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形,求作一点,使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时,所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°）,该点称为费马点.已知中,其中,,P为费马点,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】如图,根据题意,设,,则,,在中,由余弦定理有…①
在中,由正弦定理有,
在中,由正弦定理有,
故,则,由①,…②,
且,
设,则,由题意,,所以,而,由对勾函数的性质可知.
由②,,易知函数在上单调递减,于是.
30. （2022届河南省安阳市高三模拟）如图,在平面四边形ABCD中,,,．
(1)若,求的面积；
(2)若,求BC．
【解析】 (1)由可得,又故,故
(2)设,则,,在中,由正弦定理可得,即,交叉相乘化简得,即,利用降幂公式有,利用辅助角公式有,故,利用诱导公式可得,故,又,解得,又由正弦定理有,故