2023-2024学年湖南省岳阳市临湘六中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市临湘六中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=9x+4B. y=5x2+4xC. y=x6D. y=3x
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2x2=5x−1B. x+1x=2
C. (x−3)(x+1)=x2−5D. 3x−y=5
3.若反比例函数y=k−1x的图象经过点(−1,−2)，则k的值是( )
A. −1B. 1C. −3D. 3
4.反比例函数y=1−2mx(m为常数)当x<0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A. m<0B. m<12C. m>12D. m≥12
5.用配方法解方程x2+4x−1=0，下列配方结果正确的是( )
A. (x+2)2=5B. (x+2)2=1C. (x−2)2=1D. (x−2)2=5
6.关于x的一元二次方程(m−1)x2+5x+m2−3m+2=0，常数项为0，则m值等于( )
A. 1B. 2C. 1或2D. 0
7.函数y=kx和y=−kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.已知方程x2−3x+2=0的两根是x1，x2，则1x1+1x2的值是( )
A. 1B. 2C. 1.5D. 2.5
9.精准扶贫战略的实施，必须形成严密的政策与法律实施体系.习近平总书记在党的十九大报告中进一步强调“坚持精准扶贫、精准脱贫”.去年某乡镇精准扶贫项目共获利a万元，计划明年精准扶贫项目获利比去年翻一翻(即为去年的2倍)，若设每年的平均增长率为x，则以下关系正确的是( )
A. a(1+x)=2aB. 2a(1−x)=aC. a(1+2x)=2aD. a(1+x)2=2a
10.如图，点A在双曲线y1=2x(x>0)上，点B在双曲线y2=kx(x<0)上，AB/​/x轴，点C是x轴上一点，连接AC，BC.△ABC的面积是4，则k的值为( )
A. −6
B. −8
C. −10
D. −12
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.把一元二次方程3x(x−3)=4化为一般形式是______ ．
12.已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是______ ．
13.若关于x的方程(m−4)x|m−2|+2x−5=0是一元二次方程，则m= ______ ．
14.若关于x的一元二次方程ax2−4x+2=0有两个实数根，则a的取值范围是 ．
15.已知一元二次方程x2−14x+48=0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
16.如图是反比例函数y=3x和y=kx(k>3)在第一象限的图象，直线AB/​/x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB=4，则k=______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(2022−π)0−|2− 12|+(12)−2+4× 32．
18.(本小题6分)
解方程：
(1)x2−2x−1=0；
(2)3x(x−1)=2x−2．
19.(本小题6分)
已知，关于x的一元二次方程x2−(2a−1)x+a2−a=0，求证：方程有两个不相等的实数根．
20.(本小题8分)
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求k的值；
(2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
21.(本小题8分)
台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
22.(本小题9分)
如图，一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y=k2x(k2≠0)的图象交于点A(2,3)，B(n,−1)，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出不等式k1x+b≥k2x的解集．
23.(本小题9分)
关于x的一元二次方程x2−3x−mx+m−1=0
(1)试判断该方程根的情况并说明理由；
(2)若x1，x2是该方程的两个实数根，且3x1−x1x2+3x2=12，求该方程的解．
24.(本小题10分)
如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)的图象交于A(−1,a)，B两点，与x轴交于点C．
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴上，且S△ACP=32S△BOC，求点P的坐标．
25.(本小题10分)
在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：BQ=______，PB=______(用含t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的定义，注意：形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数，叫反比例函数．根据反比例函数的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A.是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B.不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
D、是反比例函数，故本选项符合题意．
2.【答案】A
【解析】解：A.方程2x2=5x−1是一元二次方程，选项A符合题意；
B.方程x+1x=2是分式方程，选项B不符合题意；
C.原方程整理得2x−2=0，该方程为一元一次方程，选项C不符合题意；
D.3x−y=5是二元一次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
利用一元二次方程的定义，即可找出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=k−1x的图象经过点(−1,−2)，
∴−2=k−1−1，解得k=3，
故选：D．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将(−1,−2)代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，即可求出k的值．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点，将点代入函数表达式列出关于系数k的方程是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意得：1−2m<0，
解得：m>12．
故选：C．
反比例函数y=1−2mx(m为常数)当x<0时，y随x的增大而增大，即反比例系数小于0，据此即可求得m的取值范围．
正确理解反比例函数的性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题，是最基本的要求．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
在本题中，把常数项−1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
【解答】
解：把方程x2+4x−1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x=1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=1+4
配方得(x+2)2=5．
故选A．
6.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2+5x+m2−3m+2=0，常数项为0，
∴m−1≠0m2−3m+2=0，
解得：m=2．
故选：B．
根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)，特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
7.【答案】D
【解析】解：在函数y=kx(k≠0)和y=−kx+2(k≠0)中，
当k>0时，函数y=kx(k≠0)的图象位于第一、三象限，函数y=−kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当k<0时，函数y=kx(k≠0)的图象位于第二、四象限，函数y=−kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，x1+x2=3，x1⋅x2=2，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=32=1.5．
故选：C．
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
本题考查一元二次方程根与系数的关系；掌握根与系数关系定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：依题意有：a(1+x)2=2a．
故选：D．
根据等量关系：计划明年精准扶贫项目获利比去年翻一翻(即为去年的2倍)，列出方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，
∵AB/​/x轴，点A双在曲线y1=2x(x>0)上，点B在双曲线y2=kx(x<0)上，
∴S△AOM=12×|2|=1，S△BOM=12×|k|=−12k，
∵S△ABC=S△AOB=6，
∴1−12k=6，
∴k=−10．
故选：C．
根据AB/​/x轴可以得到S△ABC=S△AOB=6，转换成反比例函数面积问题即可解答．
此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，熟记反比例函数面积与k的关系是解本题的关键．
11.【答案】3x2−9x−4=0
【解析】解：去括号得，3x2−9x=4，
移项得，3x2−9x−4=0，
故答案为：3x2−9x−4=0．
把方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式即可．
本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
12.【答案】−3
【解析】解：根据题意，将x=1代入方程得到：1+m+2=0，
解得：m=−3，
故答案为：−3．
将x=1代入方程得到关于m的方程，解得即可．
本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
13.【答案】0
【解析】解：∵方程(m−4)x|m−2|+3x+5=0是一元二次方程，
∴m−4≠0|m−2|=2，
解得m=0．
故答案为：0．
根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
14.【答案】a≤2且a≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2−4x+2=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=42−4×a×2=16−8a≥0，
解得：a≤2，
∵方程ax2−4x+2=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a≤2且a≠0，
故答案为：a≤2且a≠0．
由关于x的一元二次方程ax2−4x+2=0有有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式△≥0，a≠0，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0.同时考查了一元二次方程的定义．
15.【答案】20
【解析】解：令菱形的对角线分别为：x1，x2，
∵一元二次方程x2−14x+48=0的两个根是菱形的两条对角线长，
∴x1+x2=14，x1x2=48，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的边长为： (x12)2+(x22)2
= x12+x224
= (x1+x2)2−2x1x24
= 142−2×484
= 196−964
=5，
则菱形的周长为：4×5=20．
故答案为：20．
令菱形的对角线分别为：x1，x2，由根与系数的关系可得x1+x2=14，x1x2=48，再由菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求得菱形的边长，从而可求解．
本题主要考查根与系数的关系，菱形的性质，解答的关键是熟记根与系数的关系及菱形的性质：对角线互相垂直平分．
16.【答案】11
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示△BOC、△AOC的面积，利用S△BOC−S△AOC=S△AOB构造方程即可．
【解答】
解：如图，设直线AB与y轴交于点C，
由反比例函数比例系数k的几何意义可知，
S△BOC=12k，
S△AOC=32，
∵S△BOC−S△AOC=S△AOB=4，
∴12k−32=4，
∴k=11．
故答案为11．
17.【答案】解：原式=1− 12+2+4+2 3
=1−2 3+6+2 3
=7．
【解析】根据实数的运算法则，零指数幂、负整数指数幂的性质计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握实数运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)x2−2x−1=0，
x2−2x=1，
x2−2x+1=2，
(x−1)2=2，
x−1=± 2，
所以x1=1+ 2，x2=1− 2；
(2)3x(x−1)=2x−2，
3x(x−1)−2(x−1)=0，
(x−1)(3x−2)=0，
x−1=0或3x−2=0，
所以x1=1，x2=23．
【解析】(1)先利用配方法得到(x−1)2=2，然后利用直接开平方法解方程；
(2)先移项得到3x(x−1)−2(x−1)=0，再利用因式分解法把方程转化为x−1=0或3x−2=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
19.【答案】证明：∵Δ=【−(2a−1)】 2−4×1×(a2−a)=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【解析】先计算判别式的意义得到Δ=(2a−1)2−4×1×(a2−a)>0，然后根据判别式的意义得到结论．
本题考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当Δ>0时，方程总有两个不相等的实数根”．
20.【答案】解：(1)把B(12,20)代入y=kx中得：
k=12×20=240；
(2)如图，

设AD的解析式为：y=mx+n．
把(0,10)、(2,20)代入y=mx+n中得：
10=n20=2m+n，
解得：m=5n=10，
∴AD的解析式为：y=5x+10，
当y=15时，15=5x+10，x=1．
15=240x，
解得：x=16，
16−1=15．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于15℃的时间有15小时．
【解析】(1)直接将点B的坐标代入即可；
(2)观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y=20，所以计算AD和BC两段当y=15时对应的x值，相减就是结论．
本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
21.【答案】解：(1)设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
3000×(1+x)2=4320，
解得x1=0.2，x2=−2.2(不合题意，舍去)，
答：捐款增长率为20%．
(2)4320×(1+20%)=5184元．
答：第四天该单位能收到5184元捐款．
【解析】(1)解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×(1+每次增长的百分率)2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；
(2)第三天收到捐款钱数×(1+每次增长的百分率)=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×(1+每次降价的百分率)2=第三天收到捐款钱数．
22.【答案】解：(1)将A(2,3)代入y=k2x得3=k22，
解得k2=6，
∴y=6x．
把B(n,−1)代入y=6x得−1=6n，
解得n=−6，
∴点B坐标为(−6,−1)．
把A(2,3)，B(−6,−1)代入y=k1x+b
得3=2k1+b−1=−6k1+b，
解得k1=12b=2，
∴y=12x+2．
(2)把x=0代入y=12x+2得y=2，
∴C(0,2)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12⋅|yC|⋅|xA|+12⋅|yC|⋅|xB|
=12×2×2+12×2×6=8．
(3)x≥2或−6≤x<0．
【解析】(1)将点A(2,3)坐标代入反比例函数y=k2x(k2≠0)解出k2，再将B(n,−1)坐标代入反比例函数解析式得到B的坐标，待定系数法得到一次函数解析式即可；
(2)利用解析式求出OC=2，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC计算即可；
(3)根据图象直接写出不等式k1x+b≥k2x的解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象可直接得到不等式的解集．
23.【答案】解：(1)该方程有两个不相等的实数根，
理由是：x2−3x−mx+m−1=0，
x2+(−3−m)x+m−1=0，
Δ=(−3−m)2−4×1×(m−1)
=m2+2m+13
=(m+1)2+12，
∵不论m为何值，(m+1)2≥0，
∴Δ>0，
即该方程有两个不相等的实数根；
(2)∵x1，x2是方程x2−3x−mx+m−1=0的两个实数根，
∴x1+x2=3+m，x1x2=m−1，
∵3x1−x1x2+3x2=12，
∴3(x1+x2)−x1x2=12，
∴3(3+m)−(m−1)=12，
解得：m=1，
方程为x2−4x=0，
解得：x1=0，x2=4．
【解析】(1)求出Δ=(−3−m)2−4×1×(m−1)=(m+1)2+12，再根据根的判别式内容得出答案即可；
(2)根据根与系数的关系得出x1+x2=3+m，x1x2=m−1，再代入3x1−x1x2+3x2=12得出3(3+m)−(m−1)=12，再求出m即可，最后求出方程的解即可．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式和根与系数的内容是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)把点A(−1,a)代入y=x+4，得a=3，
∴A(−1,3)
把A(−1,3)代入反比例函数y=kx
∴k=−3，
∴反比例函数的表达式为y=−3x
(2)联立两个函数的表达式得
y=x+4y=−3x
解得
x=−1y=3或x=−3y=1
∴点B的坐标为B(−3,1)
当y=x+4=0时，得x=−4
∴点C(−4,0)
设点P的坐标为(x,0)
∵S△ACP=32S△BOC
∴12×3×|x−(−4)|=32×12×4×1
解得x1=−6，x2=−2
∴点P(−6,0)或(−2,0)
【解析】(1)利用点A在y=−x+4上求a，进而代入反比例函数y=kx求k．
(2)联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．
25.【答案】解：(1)2tcm；(5−t)cm；
(2)由题意得：(5−t)2+(2t)2=52，
解得：t1=0，t2=2；
当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；
(3)存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2.理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6=30(cm2)，
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30−26=4(cm2)，
(5−t)×2t×12=4，
解得：t1=4(不合题意舍去)，t2=1．
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB的长度．(1)根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；
(2)根据勾股定理可得PB2+BQ2=QP2，代入相应数据解方程即可；
(3)根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．
【解答】
解：(1)∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=(5−t)cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ=2tcm；
(2)见答案；
(3)见答案．