广东省大湾区2023-2024学年高三上学期1月联合模拟考试（一）数学试卷（Word版附答案）

这是一份广东省大湾区2023-2024学年高三上学期1月联合模拟考试（一）数学试卷（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知为奇函数，则a＝，已知直三棱柱的侧棱长为2，，，下列图象中，函数的图象可能是等内容，欢迎下载使用。
本卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A．B．或C．D．
2．复数z满足，则z＝（ ）
A．B．C．D．
3．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（ ）
A．10种B．20种C．25种D．32种
4．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列为等差数列，为其前n项和，，则（ ）
A．28B．14C．7D．2
6．已知为奇函数，则a＝（ ）
A．B．1C．D．2
7．已知双曲线的右焦点为F，过点F作直线l与C交于A，B两点，若满足的直线l有且仅有1条，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．或2
8．已知直三棱柱的侧棱长为2，，．过AB，的中点E，F作平面α与平面垂直，则平面α截该三棱柱所得截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列图象中，函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．为了解居民对社区环保工作的满意度，居委会从社区全体居民中随机抽取若干居民进行评分调查（满分为100分）．根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在内的居民有180人．则（ ）
A．
B．调查的总人数为4000
C．从频率分布直方图中，可以估计本次评分的中位数大于平均数
D．根据以上抽样调查数据，可以认为该社区居民对社区环保工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超过全体居民的20%”的规定
11．已知直线l：与抛物线C：相交于A，B两点，点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．
12．已知函数，则（ ）
A．
B．当时，
C．存在，当时，
D．若直线与的图象有三个公共点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若角α的终边在第四象限，且，则______．
14．某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为______．
15．已知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，令，则取最小值时，x＝______．
16．已知为函数图象上一动点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知锐角的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，．
（1）求；
（2）若，求AD的长．
18．（12分）已知数列和满足：，，（λ为常数，且）．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若和时，数列的前n项和取得最大值，求．
19．（12分）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按照如下规则摸球：从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白．
（1）你认为较大可能选择的是哪个盒子？请做出你的判断，并说明理由；
（2）如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X，求X的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．
20．（12分）如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．
（1）求点B到平面的距离；
（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为定值？若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，，s为常数）密切相关，请解决下列问题：
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，
①证明有唯一极值点；
②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论．
2024届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．714．15．6.7516．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）解：（1）由，得，
由余弦定理：，
解得或（舍），
所以．
（2）法1：由（1），由知，．
由余弦定理：
所以．
法2：由，即，
得，
所以，
所以．
18．（12分）解：（1）因为，即，
所以，
而，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，所以．
因为当和时，数列的前n项和取得最大值，所以，
即，解得．
所以．
经检验，当时，，当时，，所以先增后减，
在和时取得最大值，符合题意．
此时．
19．（12分）解：法1：（1）记摸球结果是一红一白为事件A，
假如选择的是第一个盒子，则，
假如选择的是第二个盒子，则，
∵，所以，可以认为选择的是第一个盒子。
（2）（1）中判断结果：选择的盒子为1号盒子．
记“任选一个盒子，选到1号”为事件B；记“任选一个盒子，从盒中摸球，结果为一红一白为事件C”；记“在摸球结果为一红一白的条件下，选到的盒子为1号”为D，
则，
X的数学期望．
法2：（1）记摸球结果是一红一白为事件A，记“任选一个盒子，选到1号”为事件B，记“任选一个盒子，选到2号”为事件C，
，
，
∵，
所以，若摸球的结果是一红一白，则选择的是1号盒子的可能性更大．
（2）判断正确的次数为X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且满足
所以X的数学期望．
20．（12分）解：（1）在平行六面体中，是三棱柱，
，
设点B到平面的距离为d，则，所以，
即点B到平面的距离为1．
（2）在中，，，所以ABCD是菱形，连接BD交AC于O，则，
由（1）知点B到平面的距离为1，所以平面．
设点在直线AC上射影为点H，，
则，且，，
所以O和H重合，即．
以O为坐标原点，OA，OB，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
根据，，则，
，设平面的一法向量为，
则取，则，
设直线与平面所成角为α，则
，
，
所以直线与平面所成角正弦值为，
21．（12分）解：（1）∵由题，，又∵，∴，，
∵，∴椭圆C的方程为．
（2）设两定点为，，其中，
当直线l的方程为时，易知两定点到直线l的距离之积为3．
①当直线l不垂直于x轴时，直线l：，
∵联立方程组整理为，
其中，所以，
∵两定点到直线的距离分别为，，
∴，
即，或，
∴或对任意恒成立，
显然对任意不恒成立．
若对任意恒成立，则所以
∴两定点为，．
②当直线轴时，∵l的方程为或，
也满足两定点为，到l的距离之积为3，
综上所述，存在两定点为，．
22．（12分）
解：（1），
令，，
，当时，
在区间上单调递减，
又，
所以，当时，，即，所以在上单调递减．
（2）①由（1）得：，
令，，
令，可得：，依题意：
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
又，所以，又因为
所以，存在唯一，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以，存在唯一极大值点，且．
②结论：在上单调递增．
证明：由①知：当时，存在唯一极大值点，
任意，且，依题意：的极大值点为，记为；
的极大值点为，记为；
则为的零点，为的零点，则，
由①知：，
由得：
，
由于，，所以．
根据①的分析可知，，，即，即题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
A
B
D
B
C
题号
9
10
11
12
答案
CD
ACD
ABD
ACD