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辽宁省部分高中2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析）
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这是一份辽宁省部分高中2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了 己知随机变量，则，3B， 二项式展开式的常数项为等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题，共60分）
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1. 己知随机变量，则（ ）
A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.7
2. 二项式展开式的常数项为（ ）
A. B. 70C. D.
3. 下列有关回归分析的说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数越大，则两变量相关性就越强.
B. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线.
C. 回归直线方程不一定过样本中心点.
D. 回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系.
4. 直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线两条渐近线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有多少种（ ）
A. 90种B. 150种C. 180种D. 240种
7. 小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（ ）
A. B. C. D.
8. 某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏，有7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，假设他每次掷中的概率是，且每次投掷之间相互独立，则小明在此次游戏中得7分的概率是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（ ）
A.
B. 展开式中的系数为280
C. 展开式中所有项的系数和为
D. 展开式中的第二项为
10. 已知正方体的棱长为为棱中点，为棱上的动点（包括端点），下面说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体截得多边形是正方形
B. 长度的最大值为6
C. 存在点，使得
D. 当为棱中点时，点到直线的距离为
11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，点在准线上的射影分别为点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若为线段的中点且，则点到轴的距离为4
C. 若，则直线的斜率为
D.
12. 有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出次骰子后，下列结论正确的是（ ）
A. 第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为
B. 第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是
C. 第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率
D. 第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 设随机变量的方差，则的值为__________.
14. 某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.
15. 现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有__________种.
16. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆，则其蒙日圆方程为__________，若为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则面积的最大值为__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 某市为了了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：
根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”.根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“学生体育运动时间与学生性别因素有关联”
附：，
（其中.
18. 如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的大小.
19. 某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.
（1）应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：
②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：
20. 在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.
（1）求曲线方程；
（2）直线与交于两点，求过两点且与直线相切的圆的方程.
21. 某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
（1）根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；
（2）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.
（参考数据：）
22. 过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.
（1）求双曲线C标准方程；
（2）若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积.
分钟
性别
女生
10
30
50
10
男生
5
20
50
25
不合格
合格
合计
女生
男生
合计
0.15
010
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
旅游消费支出
频数
12
388
452
138
10
2023—2024学年度上学期期末考试高二试题
数学
命题人：本溪高中 陈静 盘锦高中 黄简 审题人：本溪高中 陈静 盘锦高中 黄简
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题，共60分）
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1. 己知随机变量，则（ ）
A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由正态分布的性质计算即可得.
【详解】由，，则，
故.
故选：C.
2. 二项式展开式的常数项为（ ）
A. B. 70C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，令得出后代入计算即可得.
【详解】，
令，即，故，
即展开式的常数项为.
故选：D.
3. 下列有关回归分析的说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数越大，则两变量的相关性就越强.
B. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线.
C. 回归直线方程不一定过样本中心点.
D. 回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系.
【答案】D
【解析】
【分析】由知识点：两变量的相关性就越强，则相关系数越接近或，当相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关；回归直线方程一定过样本中心点；回归直线是基于样本数据使残差平方和最小的拟合直线，可得正确答案.
【详解】由知识点：两变量的相关性就越强，则相关系数越接近或可知A不正确；由回归直线是基于样本数据使残差平方和最小的拟合直线可判断B不正确；由回归直线方程一定过样本中心点可知C不正确；由当相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关可得D正确.
故选:D
4. 直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的数量积运算公式,利用坐标法即可求解.
【详解】由，得，所以，
三棱柱是直棱柱，所以平面，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示直角坐标系，由，
可得，，，，
所以，，
设直线与夹角，则，
因为，，，所以，
所以直线与夹角的余弦是.
故选：B.
5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线两条渐近线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用离心率求出的关系，再求出渐近线方程，进而求出双曲线两条渐近线的夹角.
【详解】双曲线的离心率为，解得，，所以.
双曲线两条渐近线方程分别是和，它们倾斜角分别是和，
从而双曲线两条渐近线的夹角为.
故选：B
6. 2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有多少种（ ）
A. 90种B. 150种C. 180种D. 240种
【答案】A
【解析】
【分析】现将第一小组5人分层组，为一组1人两组2人，再将其分分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆即可得出答案.
【详解】现将第一小组5人分层组，为一组1人两组2人，
所以有种，再将其分分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆种，
所以共有种.
故选：A.
7. 小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先计算事件的概率，再利用条件概率计算即可.
【详解】由题意可知两家都没选择丹东凤凰山，即，
所以，
而有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则，
所以.
故选：D
8. 某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏，有7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，假设他每次掷中的概率是，且每次投掷之间相互独立，则小明在此次游戏中得7分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【详解】在游戏中恰好得7分可分为三类情况：
①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，
此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，
故概率为，
②若连中3次，额外加2分布，剩余4次，两次投中，两次没投中，
且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：
中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，
则概率为，
③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，
则概率为，
综上，该生在比赛中恰好得7分概率为．
故选：D
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得小明在游戏中得7分的三种情况，从而得解.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（ ）
A.
B. 展开式中的系数为280
C. 展开式中所有项的系数和为
D. 展开式中的第二项为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二项式定理及二项式系数的性质、二项展开式的通项公式、赋值法逐一进行判断.
【详解】由二项式系数性质，可得：.故A正确；
展开式通项为，
令，则的系数为：，故B错误；
令可得所有项的系数和为，故C正确；
展开式的第二项为：，故D错误.
故选：AC
10. 已知正方体的棱长为为棱中点，为棱上的动点（包括端点），下面说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体截得的多边形是正方形
B. 长度的最大值为6
C. 存在点，使得
D. 当为棱中点时，点到直线的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】先建立空间直角坐标系后求出所需各点坐标，对A：求出长度后可得；对B：表示出长度即可得，对C：借助向量数量积即可得；对D：借助空间向量求点线距即可得.
【详解】以为原点建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
则，，
，由，
故，故A错误；
可设，则，
由，故长度的最大值为，故B正确；
，，故，
则当时，有，即存在点，使得，故C正确；
当为棱中点时，，，有，
则，
故D正确.
故选：BCD.
11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，点在准线上的射影分别为点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若为线段的中点且，则点到轴的距离为4
C. 若，则直线的斜率为
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据抛物线的定义可判断A；设、，由焦点弦的性质判断B、C；首先证明，再利用基本不等式判断D.
【详解】因为抛物线：的焦点到准线的距离为4，所以，
则抛物线：，所以焦点，准线为，
对于A，由抛物线的定义可知，，，
所以，又因为轴，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，故A正确；
对于B，依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，
由，消去得，
显然，所以，，
则，，
则，解得，
又为线段的中点，则，
所以点到轴的距离为，故B正确；
对于C，过点作交点，
由于，不妨设，则，，
由抛物线的定义可知，， ，
则在直角中，，此时的倾斜角为，
根据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或，
则直线的斜率为或，故C错误；
对于D，所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时取得等号，故D正确.
故选：ABD.
12. 有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出次骰子后，下列结论正确的是（ ）
A. 第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为
B. 第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量期望是
C. 第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率
D. 第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率
【答案】AD
【解析】
【分析】计算出小球每次向左向右的概率后，结合概率公式与期望算法逐个计算即可得.
【详解】扔出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为；
对A：若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，
故其概率为，故A正确；
对B，设这个随机变量为，则的可能取值为、、、，
其中，，
故其期望
，
故B错误；
对C：第一次扔完骰子小球位于，即第一次向左移动，且第五次位于1，
则后续中小球向右3次，向左1次，故其概率为，
故C错误；
对D：第五次扔完骰子，小球位于1，即两次向左，三次向右，故其概率，
小球位于3，则四次向右，一次向左，故其概率，有，故D正确.
故选：AD.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 设随机变量的方差，则的值为__________.
【答案】12
【解析】
【分析】根据公式求解.
【详解】
故答案为：12
14. 某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据全概率公式求解即可.
【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”
则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为：
.
故答案为：.
15. 现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有__________种.
【答案】144
【解析】
【分析】相邻问题用捆绑法计算即可得.
【详解】采用捆绑法，将同一类的书放在一起后排列可得.
故答案为：144.
16. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆，则其蒙日圆方程为__________，若为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则面积的最大值为__________.
【答案】 ①. ②. 7
【解析】
【分析】根据半径为蒙日，即可得圆的方程，由定义可知，于是为蒙日圆的直径，过点，利用面积公式可将面积转化为蒙日圆半径，即可求解最值.
【详解】椭圆方程为：，蒙日圆半径为，由题可知，
所以蒙日圆方程为，
由于为其蒙日圆上一动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交､两点，
根据蒙日圆定义可知，于是为蒙日圆直径，过点，，
可知，
所以的面积为：，
当且仅当取等号，
故答案为：，7.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 某市为了了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：
根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”.根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“学生体育运动时间与学生性别因素有关联”
附：，
（其中.
【答案】表格见解析，有的把握认为学生体育运动时间与学生性别因素有关联
【解析】
【分析】根据卡方的计算，与临界值比较即可求解.
【详解】列联表：
因为，
所以有的把握认为学生体育运动时间与学生性别因素有关联.
18. 如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接由题意可得平面，即可得，结合题目条件可得，由线面垂直的判定定理即可得平面；
（2）建立空间直角坐标系后得出各点坐标，分别计算出平面与平面的法向量，借助向量即可得二面角的平面角的大小.
【小问1详解】
为的中点，连接，由题意得平面，
又平面，所以，
因为，所以，又平面，
所以平面；
【小问2详解】
以的中点为原点，分别以的方向为轴的正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，
由题意知各点坐标如下：
，由故，
，故，
因此，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由，即，令，可取，
由，即，令，可取，
于是，
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，
故二面角的平面角为.
19. 某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.
（1）应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：
②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：
【答案】（1）3人，2人，2人.
（2）①答案见解析；②，
【解析】
【分析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.
（2）①本小问符合超几何分布可以根据超几何分布公式求随机变量X的分布列.
②本小问符合二项分布可以根据二项分布公式求Y的期望和方差.
【小问1详解】
由已知选取的三个年级的人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取3人，2人，2人.
【小问2详解】
①随机变量X符合超几何分布，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.则
所以，随机变量的分布列为
②取一个学生就是一次试验，有“睡眠不足”和“睡眠充足”两个结果，抽3个学生相当于3次独立重复抽一个学生的试验，于是符合二项分布，所以
20. 在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）直线与交于两点，求过两点且与直线相切圆的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）借助抛物线定义即可得；
（2）联立直线与抛物线可得与交点横坐标有关韦达定理，该圆过两点，故圆心在线段的垂直平分线上，与相切，故半径与圆心到直线的距离相等，设出该圆方程，借助待定系数法计算即可得.
【小问1详解】
由题意得，
点到直线的距离等于它到定点的距离，
点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，
点的轨迹的方程为；
【小问2详解】
设，
由，得，故，
，得的中点坐标为，
所以的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，则，
解得或，
因此所求圆的方程为或.
21. 某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
（1）根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；
（2）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.
（参考数据：）
【答案】（1）15.925万
（2）
【解析】
【分析】（1），旅游费用支出在7000元以上的概率为，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7000元以上；
（2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，再由独立事件的乘法公式求解即可.
【小问1详解】
，
所以旅游费用支出在7000元以上的概率为
，
，估计有15.925万市民旅游费用支出在7000元以上
【小问2详解】
由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，
设3人总得分为4分为事件，则
即3人总得分为4分的概率.
22. 过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，结合即可求解，
（2）根据相切得判别式为0可得，进而联立直线方程可得的坐标，即可判断四边形为矩形，利用面积公式化简求解即可.
【小问1详解】
双曲线的渐近线方程为，
,
因为，所以，
故双曲线的方程为
【小问2详解】
当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线
，
故由，
从而，化简得
又因为双曲线的渐近线方程为，故由，
从而点.同理可得，，
故MN中点横坐标为，
所以为的中点，
故四边形MONQ为矩形
设四边形MONQ面积为，则
分钟
性别
女生
10
30
50
10
男生
5
20
50
25
不合格
合格
合计
女生
男生
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
不合格
合格
合计
女生
40
60
100
男生
25
75
100
合计
65
135
200
0
1
2
3
旅游消费支出
频数
12
388
452
138
10
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题，共60分）
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1. 己知随机变量，则（ ）
A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.7
2. 二项式展开式的常数项为（ ）
A. B. 70C. D.
3. 下列有关回归分析的说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数越大，则两变量相关性就越强.
B. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线.
C. 回归直线方程不一定过样本中心点.
D. 回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系.
4. 直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线两条渐近线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有多少种（ ）
A. 90种B. 150种C. 180种D. 240种
7. 小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（ ）
A. B. C. D.
8. 某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏，有7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，假设他每次掷中的概率是，且每次投掷之间相互独立，则小明在此次游戏中得7分的概率是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（ ）
A.
B. 展开式中的系数为280
C. 展开式中所有项的系数和为
D. 展开式中的第二项为
10. 已知正方体的棱长为为棱中点，为棱上的动点（包括端点），下面说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体截得多边形是正方形
B. 长度的最大值为6
C. 存在点，使得
D. 当为棱中点时，点到直线的距离为
11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，点在准线上的射影分别为点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若为线段的中点且，则点到轴的距离为4
C. 若，则直线的斜率为
D.
12. 有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出次骰子后，下列结论正确的是（ ）
A. 第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为
B. 第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是
C. 第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率
D. 第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 设随机变量的方差，则的值为__________.
14. 某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.
15. 现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有__________种.
16. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆，则其蒙日圆方程为__________，若为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则面积的最大值为__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 某市为了了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：
根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”.根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“学生体育运动时间与学生性别因素有关联”
附：，
（其中.
18. 如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的大小.
19. 某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.
（1）应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：
②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：
20. 在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.
（1）求曲线方程；
（2）直线与交于两点，求过两点且与直线相切的圆的方程.
21. 某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
（1）根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；
（2）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.
（参考数据：）
22. 过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.
（1）求双曲线C标准方程；
（2）若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积.
分钟
性别
女生
10
30
50
10
男生
5
20
50
25
不合格
合格
合计
女生
男生
合计
0.15
010
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
旅游消费支出
频数
12
388
452
138
10
2023—2024学年度上学期期末考试高二试题
数学
命题人：本溪高中 陈静 盘锦高中 黄简 审题人：本溪高中 陈静 盘锦高中 黄简
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题，共60分）
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1. 己知随机变量，则（ ）
A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由正态分布的性质计算即可得.
【详解】由，，则，
故.
故选：C.
2. 二项式展开式的常数项为（ ）
A. B. 70C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，令得出后代入计算即可得.
【详解】，
令，即，故，
即展开式的常数项为.
故选：D.
3. 下列有关回归分析的说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数越大，则两变量的相关性就越强.
B. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线.
C. 回归直线方程不一定过样本中心点.
D. 回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系.
【答案】D
【解析】
【分析】由知识点：两变量的相关性就越强，则相关系数越接近或，当相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关；回归直线方程一定过样本中心点；回归直线是基于样本数据使残差平方和最小的拟合直线，可得正确答案.
【详解】由知识点：两变量的相关性就越强，则相关系数越接近或可知A不正确；由回归直线是基于样本数据使残差平方和最小的拟合直线可判断B不正确；由回归直线方程一定过样本中心点可知C不正确；由当相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关可得D正确.
故选:D
4. 直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的数量积运算公式,利用坐标法即可求解.
【详解】由，得，所以，
三棱柱是直棱柱，所以平面，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示直角坐标系，由，
可得，，，，
所以，，
设直线与夹角，则，
因为，，，所以，
所以直线与夹角的余弦是.
故选：B.
5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线两条渐近线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用离心率求出的关系，再求出渐近线方程，进而求出双曲线两条渐近线的夹角.
【详解】双曲线的离心率为，解得，，所以.
双曲线两条渐近线方程分别是和，它们倾斜角分别是和，
从而双曲线两条渐近线的夹角为.
故选：B
6. 2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有多少种（ ）
A. 90种B. 150种C. 180种D. 240种
【答案】A
【解析】
【分析】现将第一小组5人分层组，为一组1人两组2人，再将其分分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆即可得出答案.
【详解】现将第一小组5人分层组，为一组1人两组2人，
所以有种，再将其分分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆种，
所以共有种.
故选：A.
7. 小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先计算事件的概率，再利用条件概率计算即可.
【详解】由题意可知两家都没选择丹东凤凰山，即，
所以，
而有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则，
所以.
故选：D
8. 某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏，有7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，假设他每次掷中的概率是，且每次投掷之间相互独立，则小明在此次游戏中得7分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【详解】在游戏中恰好得7分可分为三类情况：
①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，
此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，
故概率为，
②若连中3次，额外加2分布，剩余4次，两次投中，两次没投中，
且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：
中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，
则概率为，
③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，
则概率为，
综上，该生在比赛中恰好得7分概率为．
故选：D
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得小明在游戏中得7分的三种情况，从而得解.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（ ）
A.
B. 展开式中的系数为280
C. 展开式中所有项的系数和为
D. 展开式中的第二项为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二项式定理及二项式系数的性质、二项展开式的通项公式、赋值法逐一进行判断.
【详解】由二项式系数性质，可得：.故A正确；
展开式通项为，
令，则的系数为：，故B错误；
令可得所有项的系数和为，故C正确；
展开式的第二项为：，故D错误.
故选：AC
10. 已知正方体的棱长为为棱中点，为棱上的动点（包括端点），下面说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体截得的多边形是正方形
B. 长度的最大值为6
C. 存在点，使得
D. 当为棱中点时，点到直线的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】先建立空间直角坐标系后求出所需各点坐标，对A：求出长度后可得；对B：表示出长度即可得，对C：借助向量数量积即可得；对D：借助空间向量求点线距即可得.
【详解】以为原点建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
则，，
，由，
故，故A错误；
可设，则，
由，故长度的最大值为，故B正确；
，，故，
则当时，有，即存在点，使得，故C正确；
当为棱中点时，，，有，
则，
故D正确.
故选：BCD.
11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，点在准线上的射影分别为点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若为线段的中点且，则点到轴的距离为4
C. 若，则直线的斜率为
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据抛物线的定义可判断A；设、，由焦点弦的性质判断B、C；首先证明，再利用基本不等式判断D.
【详解】因为抛物线：的焦点到准线的距离为4，所以，
则抛物线：，所以焦点，准线为，
对于A，由抛物线的定义可知，，，
所以，又因为轴，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，故A正确；
对于B，依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，
由，消去得，
显然，所以，，
则，，
则，解得，
又为线段的中点，则，
所以点到轴的距离为，故B正确；
对于C，过点作交点，
由于，不妨设，则，，
由抛物线的定义可知，， ，
则在直角中，，此时的倾斜角为，
根据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或，
则直线的斜率为或，故C错误；
对于D，所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时取得等号，故D正确.
故选：ABD.
12. 有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出次骰子后，下列结论正确的是（ ）
A. 第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为
B. 第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量期望是
C. 第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率
D. 第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率
【答案】AD
【解析】
【分析】计算出小球每次向左向右的概率后，结合概率公式与期望算法逐个计算即可得.
【详解】扔出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为；
对A：若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，
故其概率为，故A正确；
对B，设这个随机变量为，则的可能取值为、、、，
其中，，
故其期望
，
故B错误；
对C：第一次扔完骰子小球位于，即第一次向左移动，且第五次位于1，
则后续中小球向右3次，向左1次，故其概率为，
故C错误；
对D：第五次扔完骰子，小球位于1，即两次向左，三次向右，故其概率，
小球位于3，则四次向右，一次向左，故其概率，有，故D正确.
故选：AD.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 设随机变量的方差，则的值为__________.
【答案】12
【解析】
【分析】根据公式求解.
【详解】
故答案为：12
14. 某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据全概率公式求解即可.
【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”
则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为：
.
故答案为：.
15. 现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有__________种.
【答案】144
【解析】
【分析】相邻问题用捆绑法计算即可得.
【详解】采用捆绑法，将同一类的书放在一起后排列可得.
故答案为：144.
16. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆，则其蒙日圆方程为__________，若为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则面积的最大值为__________.
【答案】 ①. ②. 7
【解析】
【分析】根据半径为蒙日，即可得圆的方程，由定义可知，于是为蒙日圆的直径，过点，利用面积公式可将面积转化为蒙日圆半径，即可求解最值.
【详解】椭圆方程为：，蒙日圆半径为，由题可知，
所以蒙日圆方程为，
由于为其蒙日圆上一动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交､两点，
根据蒙日圆定义可知，于是为蒙日圆直径，过点，，
可知，
所以的面积为：，
当且仅当取等号，
故答案为：，7.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 某市为了了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：
根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”.根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“学生体育运动时间与学生性别因素有关联”
附：，
（其中.
【答案】表格见解析，有的把握认为学生体育运动时间与学生性别因素有关联
【解析】
【分析】根据卡方的计算，与临界值比较即可求解.
【详解】列联表：
因为，
所以有的把握认为学生体育运动时间与学生性别因素有关联.
18. 如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接由题意可得平面，即可得，结合题目条件可得，由线面垂直的判定定理即可得平面；
（2）建立空间直角坐标系后得出各点坐标，分别计算出平面与平面的法向量，借助向量即可得二面角的平面角的大小.
【小问1详解】
为的中点，连接，由题意得平面，
又平面，所以，
因为，所以，又平面，
所以平面；
【小问2详解】
以的中点为原点，分别以的方向为轴的正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，
由题意知各点坐标如下：
，由故，
，故，
因此，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由，即，令，可取，
由，即，令，可取，
于是，
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，
故二面角的平面角为.
19. 某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.
（1）应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：
②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：
【答案】（1）3人，2人，2人.
（2）①答案见解析；②，
【解析】
【分析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.
（2）①本小问符合超几何分布可以根据超几何分布公式求随机变量X的分布列.
②本小问符合二项分布可以根据二项分布公式求Y的期望和方差.
【小问1详解】
由已知选取的三个年级的人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取3人，2人，2人.
【小问2详解】
①随机变量X符合超几何分布，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.则
所以，随机变量的分布列为
②取一个学生就是一次试验，有“睡眠不足”和“睡眠充足”两个结果，抽3个学生相当于3次独立重复抽一个学生的试验，于是符合二项分布，所以
20. 在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）直线与交于两点，求过两点且与直线相切圆的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）借助抛物线定义即可得；
（2）联立直线与抛物线可得与交点横坐标有关韦达定理，该圆过两点，故圆心在线段的垂直平分线上，与相切，故半径与圆心到直线的距离相等，设出该圆方程，借助待定系数法计算即可得.
【小问1详解】
由题意得，
点到直线的距离等于它到定点的距离，
点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，
点的轨迹的方程为；
【小问2详解】
设，
由，得，故，
，得的中点坐标为，
所以的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，则，
解得或，
因此所求圆的方程为或.
21. 某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
（1）根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；
（2）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.
（参考数据：）
【答案】（1）15.925万
（2）
【解析】
【分析】（1），旅游费用支出在7000元以上的概率为，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7000元以上；
（2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，再由独立事件的乘法公式求解即可.
【小问1详解】
，
所以旅游费用支出在7000元以上的概率为
，
，估计有15.925万市民旅游费用支出在7000元以上
【小问2详解】
由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，
设3人总得分为4分为事件，则
即3人总得分为4分的概率.
22. 过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，结合即可求解，
（2）根据相切得判别式为0可得，进而联立直线方程可得的坐标，即可判断四边形为矩形，利用面积公式化简求解即可.
【小问1详解】
双曲线的渐近线方程为，
,
因为，所以，
故双曲线的方程为
【小问2详解】
当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线
，
故由，
从而，化简得
又因为双曲线的渐近线方程为，故由，
从而点.同理可得，，
故MN中点横坐标为，
所以为的中点，
故四边形MONQ为矩形
设四边形MONQ面积为，则
分钟
性别
女生
10
30
50
10
男生
5
20
50
25
不合格
合格
合计
女生
男生
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
不合格
合格
合计
女生
40
60
100
男生
25
75
100
合计
65
135
200
0
1
2
3
旅游消费支出
频数
12
388
452
138
10
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