四川省成都市第七中学2024届高三上学期名校联盟诊断性测试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市第七中学2024届高三上学期名校联盟诊断性测试数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的并集运算和补集运算即可求解.
【详解】因为,
,
所以或，
于是.
故选：C.
2. 命题“”是“，或”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过命题相互是否推出判断充分不必要条件.
【详解】命题“”是“，或”的充分不必要条件.
即：“，或”，且“，或”.
① “，或”.
证明：用反证法.假设“，或”不成立，
则，且.
所以有，这与已知矛盾.
故假设错误，即，或成立.
②“，或”.
因为当时，满足条件，或，
此时，不满足.
故“，或”“”.
故选：A.
3. 等差数列满足，且，则（ ）
A. 35B. 37C. 41D. 43
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的性质求出公差d和，再由基本量法求出.
【详解】因为为等差数列，
所以，
又因为，
联立解得，
设公差，则，
所以，
所以.
故选：B.
4. 记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围，进而可得的范围i，则的范围可求.
【详解】根据三角形三边关系可得，即，
又，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，
所以，又为三角形的内角，
所以，
所以.
故选：C.
5. 已知，则（ ）
A. -8088B. -8090C. -8092D. -8094
【答案】D
【解析】
【分析】先得到，然后利用倒序相加来求和即可.
【详解】，
即
设①，
则②
①+②得
，
所以，
又，
所以.
故选：D.
6. 已知三棱锥中，，．若的中点分别为， 且满足．当三棱锥的体积最大时，其外接球体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取线段中点，连接，先证明面，进而可计算三棱锥，当时三棱锥的体积最大，进而可以求出三棱锥外接球半径，则体积可求.
【详解】取线段中点，连接，
因为，，
则，又面，
所以面，又面，
所以，
又因为的中点分别为，所以，
又因为，
所以，又面，
所以面，
又，
当，即时三棱锥的体积最大，
故此时三条线两两垂直，
其外接球半径为，
外接球体积为.
故选：B.
7. 已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，可得，得到，结合直角三角形的性质和勾股定理，求得，，得到最小时，同时取得最小值，即可求解.
【详解】如图所示，连接，可得，且垂足为
要使得取得最小值，
即，
又由，
，
显然，当最小时，同时取得最小值，
所以，当时，且，
所以.
故选：B.
8. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数可确定大小，构造函数可确定大小，进而可得答案.
【详解】设，
则，
即函数在上单调递增，
所以，
即，即
设，
则，令，
则，
明显在上单调递增，在上单调递减，
故在上单调递增，
所以，
所以在上单调递减
所以，即在上单调递减，
所以，即，即，
所以
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于比较大小，不能利用所学函数单调性进行比较的，通常需要根据式子结构以及数据结构构造函数来解决问题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数的最大值为2，且，．若，且，则（ ）
A. B. 的周期是
C. 的单调递增区间是D. 的零点是
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据条件求出的解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由已知，
由得或，又，
所以，
又由得，即，
当时，，
此时，得，则；
所以，A正确；
周期，B错误；
令，
解得，
即的单调递增区间是，C正确；
令,
解得，D错误.
故选：AC.
10. 有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（ ）
A. 只有1人未参加服务的选择种数是30种
B. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种
C. 只有1人未参加服务的选择种数是60种
D. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种
【答案】AD
【解析】
【分析】有1人未参加服务或恰有1人连续参加两天服务都要先从5人中选出1人，再从余下的人中选取服务于周六周日，根据分步乘法原理，即可求得答案.
【详解】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法，
再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法，
故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误；
恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六､周天两天，有种选法，
再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法，
故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确，
故选：AD
11. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A. 直径为的球体
B. 所有棱长均为四面体
C. 底面直径为，高为的圆柱体
D. 底面直径为，高为的圆柱体
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD.
12. 已知平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线．则（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线与轴交点为和
C. 面积的最大值为6
D. 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先求得所满足的方程并进行化简，A：以代，根据方程是否变化进行判断；B：令，求解出的值，则与轴的交点坐标可知；C：将方程看成关于的一元二次方程，根据求解出的取值范围，则面积的最大值可求；D：变形方程得到，由此求解出的范围，则的范围可求，故的取值范围可知.
【详解】设，因为，所以，
化简可得，即；
对于A：以代，则，即，
方程未变化，所以曲线关于轴对称，故A正确；
对于B：令，则，解得，
所以曲线与轴交点为和，故B错误；
对于C：将化为，
因为方程一定有解，所以，
解得，即，所以，故C正确；
对于D：因，解得，
所以，所以，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：曲线的方程为，①如果，则曲线关于轴对称；②如果，则曲线关于轴对称；③如果，则曲线关于原点对称.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知i为虚数单位，计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用复数的除法运算计算即可.
【详解】.
故答案为：.
14. 若多项式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.
【详解】，
，
所以，，，
所以，
故答案为：.
15. 已知平面向量满足，，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理求解长度，进而可判断点的轨迹为以为直径的圆，进而根据三点共线求解最值.
【详解】
令，，，中点为，中点为，为中点，
由，得，
即，即，
所以，即有，
即、,
故，
由，
即，
即有，故点的轨迹为以为直径的圆，
由，
，
故，
则，
故当、、三点共线，且点点、之间时，最小，
此时，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面向量的几何意义得到各向量所表示的有向线段的关系，从而将问题化为点到圆上的点的距离的最小值问题，由此得解.
16. 已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先作出函数图象，然后验证时的情况，对于，先验证的情况，对于，利用利用根的分布，结合函数的图象列不等式求解.
【详解】作出函数的图象如下：
令，则方程有两个不同实根，
当时，方程的根为，此时无实根，不符合题意，舍去；
当时，若方程有两相等实根，
则，解得或，
当时，方程的根，此时无根，不符合题意，舍去；
当时，方程的根，此时有两个不同实根，符合题意；
若方程有两个不同实根，设为，
所以，解得或
同时有或或
所以或或或
解得.
综上或
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
【答案】（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，
（2）有
【解析】
【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论.
【小问1详解】
根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则.
A家公司长途客车准点的概率为；
B家公司长途客车准点的概率为.
【小问2详解】
列联表
=，
根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
18 数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将递推关系变形得到，由此可知为等比数列，则的通项公式可求，故的通项公式可求；
（2）设的前项和为，先用错位相减法求解出，然后通过分组求和法求解出.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，所以，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
【小问2详解】
设的前项和为，
因为，
所以，
两式作差可得，
所以，
所以，
所以.
19. 记钝角的内角的对边分别为．若为锐角且．
（1）证明：；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件先确定出的关系，然后通过诱导公式化简，最后根据正弦定理进行化简并完成证明；
（2）根据正弦定理将表示为关于的三角函数形式，然后分析的范围，由此可求的取值范围，则周长的取值范围可知.
【小问1详解】
由条件可知：，所以，
因为，所以，所以，
因为
，
所以，
由正弦定理可知：.
【小问2详解】
因为且，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以周长的取值范围是.
20. 已知长方体中，，，为中点，且满足平面平面.
（1）若为棱上一点，且平面，求；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可直接建立空间直角坐标系，设出长度，借助题目条件平面平面，找出法向量即可得；
（2）求出两面的法向量计算即可得.
【小问1详解】
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，
则有、、、、、、、、，
则有、、、,
设平面与平面的法向量分别为、，
则有与，
可令、，则有、，
由平面平面，
则有，即，解得，
即，
设，则，由平面，
则有，即有，即，
即；
【小问2详解】
、，设平面的法向量为，
则有，令，则，
则，
则其正弦值为.
21. 已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．
（1）求实数的取值范围；
（2）求面积的最大值（为坐标原点）．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【详解】（1）可设直线AB的方程为，从而可知有两个不同
的解，再由中点也在直线上，即可得到关于的不等式，从而求解；（2）令，可
将表示为的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.
试题解析：（1）由题意知，可设直线AB的方程为，由，
消去，得，∵直线与椭圆有两
个不同的交点，∴，①，将AB中点代入直线
方程解得，②．由①②得或；（2）令
，则，且O到直线AB
的距离为，设的面积为，
∴，当且仅当时，等号成立，故
面积的最大值为.
考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.
22. 已知函数，其中．
（1）当时，若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论的零点个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将在区间上单调递增转化为在上恒成立，转化为最值求解即可；
（2）先求出均与直线相切时的值，然后利用指数函数的图像与的变化关系求解.
【小问1详解】
当时, ，
则，
因为在区间上单调递增，且，，
则在上恒成立，
即在上恒成立，又明显函数在上单调递增，
所以，即，
又明显函数在上单调递增，且，
所以，
所以；
【小问2详解】
当时，，
令，得，
令，这两个函数的图象关于直线对称
当均与直线相切时，如图：
设切点为，又，所以
则切线方程为，代入点得，
所以，
所以，
即当，的图象相切，只有一个交点，
则当，的图象不相交，没有交点，
当，的图象相交，有两个交点，
综上所述：
当时，有一个零点；
当时，无零点；
当时，有两个零点.
【点睛】方法点睛：导函数问题要学会转化：
对于第一问：函数在某区间上单调递增，转化为导函数不小于零恒成立；函数在某区间上单调递减，转化为导函数不大于零恒成立；
第二问：函数零点个数问题经常转化为函数图象的交点个数来解决.
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500