2024北京西城初三期末上数学试卷和答案

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北京市西城区 2023—2024 学年度第一学期期末试卷
九年级数学答案及评分参考2024.1
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9． (–2, 3) ．10． x1 = 5 ， x2 = –5 ．11．＞．12．9．
13．答案不唯一，如 y  x2 ．14．70，圆内接四边形的对角互补．
15． l – πd ．16．②③．
12
三、解答题（共 68 分，第 17-18 题，每题 5 分，第 19 题 6 分，第 20-23 题，每题 5 分，第 24-26 题，每题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）
17． x2 – 6x + 3 = 0 ．
解：a = 1，b = –6 ，c = 3 ．1 分
  b2  4ac  (6)2  4 1 3  24  0 ．2 分
6 ± 2 6
方程有两个不相等的实数根
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
B
B
C
D
D
D
–b ± b2 – 4ac
–(–6) ± 24
x ===
…3 分
2a
6
= 3 ．
2 ×12
6
6
原方程的根为x1  3 ，x2  3 ．5 分
18．解：（1）y = 2x2 – 4x + 5
= 2(x2 – 2x + 1 – 1) + 5
= 2(x – 1)2 – 2 + 5
= 2(x – 1)2 + 3 ．3 分
（2）答案不唯一，如：把抛物线 y  2x2 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度．…5 分
解：（1）掷一次正方体 M 时，所有可能出现的数字为 0，1，2，3，4，5，共 6 种结果，
并且这 6 种结果的可能性相等，其中出现的奇数为 1，3，5．
31
所以，P（出现“奇数”）  6  2 ．2 分
（2）用列表法列出所有可能的结果，其中符合题意的结果标记如下：
19
所以 P（能组成一月的一个日期）  36 ．6 分
解：（1）31 分
函数 y  x2  2x  c 的图象如图 1 所示．
图 13 分
–4 ≤y＜5．5 分
21．（1）证明：  (m  2)2  4 1 (m  1)1 分
= m2 + 4m + 4 – 4m – 4
= m2 ．
∵ 无论 m 取何实数，都有 m2 ≥0，
∴ 此方程总有两个实数根．…2 分
（2）解：解方程得 x = (m + 2) ± m ．
2
∴ x = m + 1 ，或 x = 1．3 分
∵ 此方程的一根是另一根的 2 倍，
M
N
0
1
2
3
4
5
0
00
10
20
30
40
50
1
01
11
21
31
41
51
2
02
12
22
32
42
52
6
06
16
26
36
46
56
7
07
17
27
37
47
57
8
08
18
28
38
48
58
∴ m + 1 = 2 ，或2(m + 1) = 1 ．
m = –
解得 m  1，或1 ．5 分
2
解：如图 2，连接 OA．
∵ AB 是 O 的弦，OC⊥AB，AB=6，
∴ AD = BD = AB = 3 ， ˆAC = BˆC ．…1 分
2
∴ ∠1=∠2．
∵ ∠ACB=120°，
∴ 31 = 32 = 1 (180° – 3ACB) = 30° ．图 2
2
∴ 3O = 231 = 60° ．2 分
∴ 33 = 90° – 3O = 30° ．
在 Rt△AOD 中，∠ODA=90°，∠3=30°，AD=3．设 OD=x，则 OA=2x，
OA2 – OD2
AD =
∴3x = 3 ．
= 3x ．
3
解得 x =．4 分
3
3
∴ OA = 2，即 O 的半径= 2．
…5 分
解：（1）画图见图 3；3 分
（2）C(2, 1) ；4 分
（3）90．5 分
24．（1）证明：如图 4．图 3
设3FAD = α ．
1
∵ 3FAD = 2 3ABC ，
∴ 3ABC = 2α ．
∵ AB=BC，
∴ 3BAC = 3C = 180°– 3ABC = 90° – α ．
2
∴ 3BAF = 3BAC + 3FAC = 90° ．
∴ AF⊥OA．…1 分
∴ AF 是 O 的切线．……………… 2 分图 4
（2）解：如图 4，连接 BD，作 AG⊥OD 于点 G，则∠AGO=∠AGD=90°．
∵ AB 是 O 的直径，
∴ ∠ADB=90°．…3 分
∵ AB=BC，
1
∴ AD = DC = 2 AC ．
设 O 的半径为 r．
∵ DF=4，
∴ OF = r + 4 ．
在 Rt△AOF 中，∠OAF=90°，OA= r，AF=8， OF = r + 4 ．
∵ OA2 + AF 2 = OF 2 ，
∴ r2 + 82 = (r + 4)2 ．
解得 r =6．4 分
∴ OA=OD=6，OF=10．
∴ AG = OA  AF = 6  8 = 24 ．
OF105
OA2 – AG2
在 Rt△AOG 中， OG =
1812
=
= 18 ．
6 – ()
5
2
24 2
5
∴ DG = OD – OG = 6 – 5 = 5 ．
在 Rt△ADG 中， AD =
AG2 + DG2
=
= 12 5 ．
( 24)2 + ()
12 2
55
5
24 5
5
∴ AC = 2AD =．…6 分
25．解：（1）画图见图 5．…2 分
唯一，如
（2）建立平面直角坐标系的方法不 图 5：
如图 6，以点 C 为原点，直线 HC 为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
∴ 拱线 N 上的点 A(7, 6.125) ，B(7, 6.125) ，C(0, 0) ，D(4, 2) ，E(5, 3.125) ，
F(6,–4.5) ．
图 6
2
选取拱线 N 上的 A，B，C 三点，求过这三点的抛物线对应的函数解析式．由已知可得 A，B 两点关于直线 HC 对称，点 C 为最高点，可设过 A，B，C三点的抛物线对应的函数解析式为 y  ax ．3 分
由抛物线过点 B(7, 6.125) ，可得解得 a = 0.125 ．
6.125  a  72 ．
∴ 过 A，B，C 这三点的抛物线对应的函数解析式为 y  0.125x2 ．
…4 分
当x = 4 时， y = –0.125 × 42 = –2 ；
当x = 5 时， y = –0.125 × 52 = –3.125 ；当x = 6 时， y = –0.125 × 62 = –4.5 ．
∴ D，E，F 三点都在抛物线 y  0.125x2 上．…6 分
26．解：（1）x = 1；1 分
（2） y = a(x –1）2 + 4 – a ．
2
∵ A(t, y1 ) ，B(t +1, y2 ) ，C(t + 3, y3 ) 都在抛物线 y = ax – 2ax + 4（a＞0）上，
∴ y1
= a(t –1)2 + 4 – a ， y
= at2 + 4 – a ， y
= a(t + 2)2 + 4 – a ．
2
3
∵ y1 ＞ y3 ≥ y2 ，
∴ y1 – y3 > 0 且 y3 – y2 ≥0．
y – y = a(t –1)2 – a(t + 2)2 = –3a(2t + 1) ， y – y = a(t + 2)2 – at2 = 4a(t + 1) ．
1332
1
由 a＞0， y1 – y3 > 0 ，可得2t  1  0 ，解得
t ．
2
由 a＞0， y3 – y2 ≥0，可得t  1≥0，解得t ≥ 1．
1
综上，1≤ t ．4 分
2
（3）0 < a < 16 ．6 分
3
解：（1）补全图形见图 7；1 分
45；2 分
图 7图 8
（2）DF=AM；3 分
证明：如图 8，取 AC 的中点 O，连接 OM，OD，记 DF 与 CP 的交点为 N．
∵ AC=BC，CM⊥AB 于点 M，
∴ AM=BM．
又∵ ∠ACB=90°，
∴ 在 Rt△ACB 中， CM =
∴ ∠1=∠ACM=45°．
∵ CM⊥AB，CD⊥AP，
AB
2 = AM ．
∴ Rt△ACM 与 Rt△ACD 有公共的斜边 AC．
AC
∴ OD = OM = 2 = OA = OC ．
∴ 点 D，M，C，A 在同一圆上，且此圆的直径为 AC．
∴ ∠2=∠1=45°．
∵ CE⊥MD 于点 E，
∴ 在 Rt△CDE 中， 3DCE = 90° – 32 = 45° ．
∴ ∠DCE=∠2=45°．
∴ CE= DE．
∵ DF∥AB，
∴ ∠DNC=∠AMC=90°．
∴ 33 = 90° – 3CME ， 34 = 90° – 3DMN ．
（3）2
又∵ ∠CME =∠DMN，
∴ ∠3=∠4．
在 Rt△CME 和 Rt△DFE 中，
33 = 34,

3MEC = 3FED = 90,

CE = DE,
∴ △CME≌△DFE．
∴ CM=DF．
∴ DF=AM．6 分
5
 2 ．7 分
解：（1）B，C；2 分
（2）①2；3 分
②当 α=30°时，设点 P 绕点 S 顺时针旋转 30°得到点 P  ，则 SP  SP ．如图 9，将 x 轴作一次“α 对称旋转”后得到直线 y  1 ，
又∵ QT⊥x 轴，点 P 经过一次“α 对称旋转”得到点 Q，
∴ 点 Q 的坐标为Q(1, 1) ．
∵ 点 P 绕点 T 逆时针旋转 30°得到点 Q，
∴ P'T = QT = 1 ， 3P'TQ = 30° ．
∴ 3STP' = 90° – 3P'TQ = 60° ．
又∵ 3TSP' = 30° ，
∴ 3SP'T = 180° – 3STP' – 3TSP' = 90° ．
∵ ST=2，
ST 2 – P'T 2
3
∴ SP' ==．
3
∴ SP = SP =．图 9
∴ 点 P 的坐标为 P(1  3, 0) ．…5 分
（3）0°＜α≤30° 或 150°≤α≤180°．7 分