重庆市第七中学2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题（一）（Word版附解析）

这是一份重庆市第七中学2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题（一）（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了 在等差数列中，为前项和，，则， 设等比数列的前项和为，若，则， 椭圆上的点到直线的最大距离是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A. 1B. 3C. 9D. 81
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.
【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以的值为1.
故选：A
2. 在等差数列中，为前项和，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由.
故选：A.
3. 已知圆的方程为，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据可求得结果.
【详解】因为表示圆，
所以，解得.
故选：C
【点睛】关键点点睛：掌握方程表示圆的条件是解题关键.
4. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可知，设等比数列首项为，公比，可知，由并根据等比数列的前项和公式得出，进而得出，从而可求出的结果.
【详解】解：由题可知，，则，
设等比数列的首项为，公比，可知，
因为，所以，
则，
所以，
故.
故选：B.
5. 在数列中，若，则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（ ）
A. 若是等方差数列，则是等差数列B. 若是等方差数列，则是等方差数列
C. 是等方差数列D. 若是等方差数列，则是等方差数列
【答案】B
【解析】
【分析】根据等方差数列的定义逐一进行判断即可
【详解】选项A中，符合等差数列的定义，所以是等差数列，A正确；选项B中，不是常数，所以不是等方差数列，选项B错误；选项C中，，所以是等方差数列，C正确；选项D中
，所以是等方差数列，D正确
故选：B
6. 椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆上的点P（4csθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．
【详解】设椭圆上的点P（4csθ，2sinθ）
则点P到直线的距离
d=，
，故选D．
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
7. 已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于两点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线倾斜角为，由，及，可求得，当点在轴上方，又，求得，利用对称性即可得出结果.
【详解】设直线倾斜角为，由，所以，由，
，所以，当点在轴上
方，又，所以，所以由对称性知，直线的斜率.
故选：B.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，半焦距为c，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件求出，再计算面积列式计算作答.
【详解】依题意，点，由双曲线对称性不妨取渐近线，即，
则，令坐标原点为O，中，，
又点O是线段的中点，因此，，则有，即，，，
所以双曲线离心率为
故选：D
二､多选题
9. 已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1+4a3＝S7，则以下结论正确的有（ ）
A. a14＝0B. S14最小C. S11＝S16D. S27＝0
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，由2a1+4a3＝S7，可得a14＝0，然后逐项分析即可得解.
【详解】因为数列{an}为等差数列，设其等差为d，由于2a1+4a3＝S7，
即6a1+8d＝7a1+21d，即a1+13d＝a14＝0，故A正确；
当时，Sn没有最小值，故B错误；
因为S16﹣S11＝a12+a13+a14+a15+a16＝5a14＝0，
所以S11＝S16，故C正确；
S27＝＝27（a1+13d）＝27a14＝0，故D正确.
故选：ACD.
10. （多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线的方程为B. 曲线关于轴对称
C. 当点在曲线上时，D. 当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【解析】
【分析】由抛物线的定义可知曲线的轨迹是抛物线，进而可判断A,根据抛物线的性质可判断B,C,D.
【详解】由题意可知：动点到定点与它到定直线：的距离相等，
由抛物线定义，知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，所以A，B正确；由知，点到直线的距离，所以C，D错误．
故选：AB．
11. 已知椭圆C：的左､右两个端点分别为，P为椭圆上一动点，M（1，1）则下列说法正确的是（ ）
A. △P的周长为8B. △P的最大面积为2
C. 存在点P使得D. |PM|+|P|的最大值为7
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，可得的周长为，故选项A正确；
对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为，故选项B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大， 为锐角，所以不存在点P使得，故选项C错误；
对D， ,所以选项D正确.
【详解】解：对A，由椭圆，可得的周长为：，故选项A正确；
对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故选项B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故选项C错误；
对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
12. 如图，棱长为1的正方体中为线段上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与所成的角可能是
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A选项， 建立坐标系，利用坐标法求解；对于B选项，由正方体的性质可知平面，进而可判断；对于C选项，利用等体积法求解即可判断；对于D选项，分别讨论所成的截面图形即可判断.
【详解】解：对于A选项，如图1，建立空间直角坐标系，
则，，
所以，
所以，令，
，
所以在区间上单调递减，
由于，，
所以，即直线与所成的角满足，
又因为，故，故直线与所成的角不可能是，故A选项错误；
对于B选项，由正方体的性质可知平面，所以平面平面，故B选项正确；
对于C选项，三棱锥的体积，是定值，故C选项正确；
对于D选项，设的中点为，当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为梯形，如图2；当点在点时，此时平面截正方体所得的截面正三角形；当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形，该三角形不可能为直角三角形，故D选项错误；

故选：BC
三､填空题
13. 已知直线与直线垂直，则__________
【答案】-3
【解析】
【详解】试题分析：因为直线与直线垂直，所以
考点：本题考查两直线垂直的充要条件
点评：若两直线方程分别为,则他们垂直的充要条件是
14. 在等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和为________
【答案】
【解析】
【分析】求出等比数列的通项公式，可得出的通项公式，推导出数列为等差数列，利用等差数列的求和公式即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以，，则，
所以，数列为等差数列，
故数列的前项和为.
故答案为：.
15. 已知双曲线（，），直线与的右支分别交于点、，与轴交于点.若，则的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形相似求出点B的坐标，代入双曲线方程可得a,b的关系，由此可得渐近线方程.
【详解】本题考查双曲线方程与几何性质.如图，作轴，垂足为，直线过，即过的右顶点，直线的倾斜角为，则，在中，，则，，又因为，，所以，，则，所以，解得，则的渐近线方程为.
故答案为：
16. 已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案．
【详解】由已知得，故，∵的面积为，
∴，∴，又，
∴，，∴，
又，∴，
∴.
即的取值范围为.
故答案为
【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题．
四､解答题
17. 已知公差不为0的等差数列，前项和为，首项为，且成等比数列.
（1）求和；
（2）设，记，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意解得等差数列的公差，代入公式即可求得和；
（2）把n分为奇数和偶数两类，分别去数列的前n项和.
【小问1详解】
设等差数列公差，由题有，
即，解之得或0，又，所以，
所以.
【小问2详解】
，
当为正奇数，，
当为正偶数，，
所以
18. 已知直三棱柱中，， ，E、F分别是、的中点，D为棱上的点.
（1）证明：；
（2）当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，
（2）求出平面DEF的法向量，利用空间向量求解
【小问1详解】
证明：因为三棱柱是直三棱柱，且，
所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
，，
设，则，
所以，所以，
所以
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线BF与平面DEF所成角为，则
，
所以直线BF与平面DEF所成角的正弦值为
19. 已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的准线方程，即可容易求得抛物线方程；
（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，利用OM的斜率为，结合韦达定理，即可求得直线的方程，再用面积公式即可求得结果.
【小问1详解】
由准线方程为知，，故；
则抛物线方程为.
【小问2详解】
由题知直线的斜率显然不为0，又其过点
故设直线l的方程为，，
联立抛物线方程，化简得
则，
由线段的中点为知，，
，代入韦达定理知，，
整理得：，解得，
故直线的方程为
则
.
故的面积为.
20. 已知等差数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的性质及题干条件，可求得，代入公式，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法，即可求得，即可得证.
【详解】解：（1）设数列的公差为，在中，令，得，
即，故①.
由得，所以②.
由①②解得，.
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）可得，
所以，
故，
所以.
因为，所以.
【点睛】数列求和的常见方法：
（1）倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可以用倒序相加法；
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
21. 三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，点在线段上.
（1）求证：；
（2）若点在上，满足，点满足，求实数使得二面角的余弦值为.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）证明平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【小问1详解】
证明：因为，，则且，
，平面，
所以为直线与平面所成的线面角，即，
，故，，
，平面，
平面，因此，.
【小问2详解】
解：设，由（1）可知且，，
因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，则，
由已知可得，解得.
当点为线段的中点时，二面角的平面角为锐角，合乎题意.
综上所述，.
22. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线C过点.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点M 的直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，是否存在直线AB，使得成立，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，直线AB的方程为：或.
【解析】
【分析】(1)根据给定渐近线方程及所过的点列式计算作答.
(2)假定存在符合条件的直线AB，设出其方程，借助弦长公式计算判断作答.
小问1详解】
依题意，，解得：，
所以双曲线C的标准方程是.
【小问2详解】
假定存在直线AB，使得成立，显然不垂直于y轴，否则，
设直线：，由消去x并整理得：，
因直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，设，
于是得，则有，即或，
因此，，解得，
所以存在直线AB，使得成立，此时，直线AB的方程为：或.